Das zentrale Modell der Umstülpung des Würfels
- Dez. 2001
Sie alle haben auf der linken Seite der Startseite der Website unablässig ein seltsames Objekt rotieren sehen. Worum handelt es sich dabei?
Eines Tages, wenn ich Zeit habe, werde ich auf der Website eine Beschreibung der Umstülpung der Sphäre einrichten, so wie ich sie in der Januarausgabe 1979 von Pour la science illustriert hatte, das heißt vor ... 22 Jahren. All das würde natürlich viele Details und eine Einführung erfordern. Eine Sphäre umstülpen, was heißt das? Eine Sphäre hat nicht dieselbe Bedeutung für den Mann auf der Straße und den Mathematiker-Geometer. Für den Mann auf der Straße definiert sich diese als der Ort der Punkte in einem dreidimensionalen Raum, die sich in einer Entfernung R von einem festen Punkt O desselben befinden. Ein Geometer wird weiterhin ein Objekt als „Sphäre" bezeichnen, das einer „verformten Sphäre" entspräche, einer Art „Kartoffel". Um all diese Konzepte mit mehr Präzision zu erfassen, besorgen Sie sich die CD Lanturlu mit dem Comic „Le Topologicon". Doch der Mathematiker geht noch weiter. Wenn eine Fläche als „regulär" bezeichnet wird, kann man in jedem ihrer Punkte eine Tangentialebene definieren. Das erlaubt es bereits, sich eine unendliche Vielfalt von Verformungen der „Ausgangssphäre" in eine unendliche Vielfalt von Kartoffeln vorzustellen, wobei zudem die Fläche der besagten Fläche beliebig sein kann. Dies vorausgesetzt, wird die Person, die diese Sphäre in einem „physischen Universum" verformt, auf die Unmöglichkeit stoßen, sie sich selbst durchdringen zu lassen. Wenn diese Durchdringungen oder auch nur diese Berührungen verboten sind, spricht man dann von Einbettungen der Sphäre S2. Doch ein Mathematiker gibt sich alle Rechte. Eine Sphäre ist für ihn ein „virtuelles" Objekt, bei dem Durchdringungen von Flächen möglich werden. Die folgende Reihe von Zeichnungen zeigt eine Sphäre, die sich „selbst durchdrungen" hat. Man nennt diese Darstellung der Sphäre dann eine Immersion.
Eine Immersion besitzt eine Menge von Selbstschnitt- oder Selbstintersektionspunkten (hier eine einfache kreisförmige Kurve). Die Tangentialebene muss sich stetig verändern. Dies vorausgesetzt, sieht man beim Betrachten der obigen Zeichnungen, dass die Operation tatsächlich einen Teil (durch die grüne Farbe dargestellt) vom Inneren der Sphäre nach außen wendet. Um eine solche Umstülpung zu vollenden, müsste man diese Art äquatorialer Wurst plattdrücken. Die Sache scheint a priori problematisch. Dieses Plattdrücken würde die Stetigkeit der Tangentialebene brechen. Die Operation würde also einen Schritt umfassen, der keine Immersion wäre.
Eines Tages bewies ein amerikanischer Mathematiker, Stephen Smale, dass „die Sphäre S2 nur eine einzige Immersionsklasse besaß". Die Folge dieses sybillinischen Satzes war, dass man eine Sequenz von Immersionen der Sphäre aneinanderreihen können müsste, die es erlaubt, von der „Standard-Sphäre" zu ihrer „antipodalen" Darstellung überzugehen, das heißt, bei der alle Punkte durch ihre Antipoden ersetzt worden wären. Kurz ... eine umgestülpte Sphäre, Vorder- und Rückseite. Raoul Bott war der Chef von Smale. So sehr der Beweis des Letzteren, rein formal, lückenlos erschien, so sehr sah niemand, wie man bei der Durchführung der Operation vorgehen sollte. Bott sagte ständig zu Smale: „Zeigen Sie mir, wie Sie vorzugehen gedenken", worauf Smale mit seinem berühmten Lispeln antwortete: „Ich habe nicht die geringste Ahnung". Smale erhielt später die Fields-Medaille, das Äquivalent zum Nobelpreis, aber für Mathematik. Nebenbei werden Sie sich vielleicht fragen, warum Nobel nie einen Nobelpreis für Mathematik hatte schaffen wollen. Die Antwort ist einfach: Seine Frau ist mit einem Mathematiker davongelaufen.
Die Dinge blieben viele Jahre lang so, bis ein amerikanischer Mathematiker namens Anthony Phillips 1967 im Scientific American eine erste Version dieser Umstülpung veröffentlichte, entsetzlich kompliziert. Die zweite wurde Anfang der siebziger Jahre von dem französischen (blinden) Mathematiker Bernard Morin erfunden. Ich war der Erste, der diese Folge von Transformationen zeichnete, die, wie bereits gesagt, Gegenstand eines nächsten, übrigens recht umfangreichen Artikels auf der Website sein wird. Wie dem auch sei, dies führt uns zu einer Nebenschlussfolgerung. Flächen können Gegenstand polyedrischer Darstellungen sein. Ein Würfel oder ein Tetraeder können als polyedrische Darstellungen der Sphäre betrachtet werden, insofern diese Objekte dieselbe Topologie haben. Zu diesem Punkt konsultieren Sie meinen Comic Le Topologicon. Außerdem wird man verstehen, dass, wenn es möglich ist, eine Sphäre umzustülpen, es ebenso möglich ist, einen Würfel umzustülpen. Die von Bernard Morin erfundene Transformation (die ich im Artikel vom Januar 1979 in Pour la Science illustriert habe) führt über ein zentrales Modell. In dieser Sequenz gibt es eine Symmetrie. Das nennt man „das zentrale Modell mit vier Ohren". Auch hier greife ich vor. Doch so wie die Sphäre sich für polyedrische Darstellungen eignen kann, gilt dasselbe für die aufeinanderfolgenden Schritte dieser Transformationen. Das Objekt, das Sie auf meiner Startseite rotieren sehen, ist somit die polyedrische Version des zentralen Modells der Umstülpung der Sphäre, ein Modell, das ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe. Der Vorteil dieser polyedrischen Modelle ist, dass man sie mit ebenen Flächen bauen kann. Man kann sie sogar nach Ausschneidebögen anordnen. Werfen Sie einen Blick auf die folgende Zeichnung (ich danke nebenbei meinem Freund Christophe Tardy, der die Elemente davon korrekt bemaßt hergestellt hat).
Dies ist eine Zeichnung, die in kleinem Format aus Ihrem Drucker käme, unbrauchbar.
Um diese Figur auf einem A4-Blatt zu drucken
Man muss dann vier Fotokopien davon auf starkem A4-Papier machen, zwei Blätter einer Farbe, zwei Blätter einer anderen
Dies ist ein Ausschneidebogen, von dem Sie hier eine Gesamtansicht haben. Aber um ihn zu drucken, ist es besser, Sie gehen zur Seite Ausschneidebogen. Drucken Sie sie. Dann gehen Sie, versehen mit diesem auf dem Normalpapier Ihres Druckers gedruckten Exemplar, zu einem Kopierer und fertigen vier identische Kopien dieser Zeichnung an, zwei auf zwei Blättern grünen Bristolkartons und zwei auf gelben. Sie werden in der Lage sein, mit Hilfe dieses Ausschneidebogens das zentrale Modell der Umstülpung des Würfels zu bauen.
Sie haben auf diesen ausgeschnittenen Elementen Buchstabenpaare: a, b c, d, e, f usw.... Es genügt, die Faltungen vorzunehmen, indem Sie die gleichen Buchstaben zur Deckung bringen und dann diese Flächen mit transparentem Klebeband zusammenfügen. Die folgenden Zeichnungen zeigen, wie man eines der vier Elemente montiert. Hier zunächst, wie man das Falten eines der vier Elemente beginnen muss:
Hier sind zwei dieser vier Elemente, aus verschiedenen Winkeln gesehen.
Diese fügen sich dann zusammen, um ein Objekt mit einer Symmetrie der Ordnung vier zu ergeben, wobei sich grüne und gelbe Elemente abwechseln. Um dies in 3D zu sehen, werfen Sie einen Blick auf die Realisierungen des Herrn Tardy in „virtual reality". Das vollständig zusammengebaute zentrale Modell wird in diesem Abschnitt auch in „vrml" erzeugt. Hier ist dieses Objekt, aus verschiedenen Winkeln gesehen:
Man kann nicht sagen, dass eine Ansicht der „Oberseite" und die andere der „Unterseite" entspricht, da diese Bezeichnungen völlig willkürlich wären. Auf der linken Ansicht entspricht der „zentrale" Punkt dem „Doppelpunkt" (wo sich zwei Flächen kreuzen) des zentralen Modells von Morin, während der rechte zentrale Punkt dem „vierfachen Punkt" desselben Modells entspricht (wo sich vier Flächen kreuzen). Ich musste das Objekt sorgfältig orientieren, damit die linke Figur nicht an ein Hakenkreuz erinnert. Sonst hätte diese polyedrische Darstellung des zentralen Modells von Morin, architektonisch gesprochen, ein sehr gutes Projekt für ein Haus der Nationalsozialistischen Kultur abgeben können.
Letzte Ansicht:
Eine letzte Bemerkung: Es gibt keine gute polyedrische Darstellung der Umstülpung der Sphäre (alias der Umstülpung des Würfels). Unter „gut" ist eine Folge von hinreichend expliziten Modellen zu verstehen, die sich relativ leicht in Form von Ausschneidebögen montieren lassen, wie das obige Modell. Eine Forschung wäre in dieser Richtung zu betreiben, die jedem zugänglich ist, gegebenenfalls auch einem Nicht-Mathematiker, einem bildenden Künstler zum Beispiel. Vor mehr als zwanzig Jahren war ich Lehrer für Bildhauerei an der Ecole des Beaux-Arts in Aix en Provence, zu der Zeit, als diese noch von meinem ausgezeichneten Freund Jacques Boullier geleitet wurde. In diesen Räumen entstand die erste Meridiandarstellung der Boy-Fläche mit Hilfe von Ellipsen, Schlüssel zur Konstruktion der ersten impliziten Gleichung durch Apéry. Ich muss sagen, dass ich damals immer wieder von der geometrischen Vorstellungskraft der Kunststudenten überrascht war, die sehr oft diejenige ... der Geometer übertraf.
Zähler initialisiert am 31. Dezember 2001. Anzahl der Verbindungen:
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