Die Quaternionen

Die Sphäre S3 und die Quaternionen

BK

Wenn die Sphäre S3 dem Kreis S1 ähnlicher erscheint als der Sphäre S2, so deshalb, weil beide der Gruppe der Einheiten eines Zahlkörpers entsprechen: dem Körper der komplexen Zahlen für S1 und dem Körper der Quaternionen für S3. Dies funktioniert jedoch nicht mit S2, da R3 kein Zahlkörper ist.

Um diese Strukturen zu verstehen, werde ich in Erinnerung rufen, wie man R2 zu einem Zahlkörper macht, indem man ihn in die Algebra der quadratischen 2×2-Matrizen mit reellen Koeffizienten einbettet. Anschließend wird sich zeigen, dass eine ähnliche Konstruktion es erlaubt, R4 mit einer Körperstruktur (dem Körper der Quaternionen) zu versehen, indem man ihn in die Algebra der quadratischen 2×2-Matrizen mit komplexen Koeffizienten einbettet.

1. Der Körper der komplexen Zahlen

Sei M2(R) der Raum der 2×2-Matrizen mit reellen Koeffizienten. Es ist der Raum der Matrizen

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

wobei a,b,c,d reelle Zahlen sind. Man weiß:

1. zwei Matrizen von M2(R) zu addieren,

2. eine Matrix von M2(R) mit einer reellen Zahl zu multiplizieren,

3. zwei Matrizen von M2(R) miteinander zu multiplizieren.

Um diese drei Eigenschaften zusammenzufassen, sagt man, dass M2(R) eine Algebra ist. Sie hat die Dimension 4, da man 4 Parameter zu ihrer Beschreibung benötigt.

Jedem Vektor (x,y) der Ebene R2 kann man die quadratische Matrix mit reellen Koeffizienten zuordnen

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Man bemerkt dann, dass

1. die Summe von 2 solchen Matrizen wieder von derselben Form ist

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. das Produkt einer solchen Matrix z mit einer reellen Zahl l ebenfalls von diesem Typ ist

| l | y |
|---|

| l | x |
|---|

| l | x |
|---|

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|

| l | x |
|---|

3. auch das Matrizenprodukt von 2 solchen Matrizen

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Man hat also einen Unterraum von M2(R) konstruiert, den wir mit C bezeichnen, der unter Addition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation stabil ist. Man sagt, dass C eine Unteralgebra von M2(R) ist. Sie hat die Dimension 2. Man kann eine wichtige Eigenschaft dieser Algebra bemerken: sie ist kommutativ

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

Die Determinante einer Matrix z Î C schreibt sich

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

folglich ist jede von Null verschiedene Matrix z in C invertierbar und ihre Inverse

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

gehört ebenfalls zu C. Man sagt, dass C ein Körper ist. Man hat soeben nur den Körper der komplexen Zahlen wiederentdeckt.

Die dem Vektor (1,0) entsprechende Matrix ist die Einheitsmatrix ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

Die dem Vektor (0,1) entsprechende Matrix bezeichnen wir mit i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Sie besitzt die bemerkenswerte Eigenschaft

i

2

=

1

i

2

=

1

Mit diesen Bezeichnungen sieht man, dass sich jede komplexe Zahl auf eindeutige Weise schreiben lässt als

wobei x und y reelle Zahlen sind.

Die Konjugierte eines Elements z in C wird als die Transponierte der Matrix z definiert

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Im Körper der komplexen Zahlen gibt es zwei bemerkenswerte Unterräume. Einerseits gibt es die Vielfachen der Einheitsmatrix 1, das heißt die Menge der Matrizen der Form

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

die unter Addition und Multiplikation stabil ist. Es ist der reelle Raum, identisch mit dem Körper der reellen Zahlen, der als Unterkörper von C erscheint. Er ist ebenfalls durch die Gleichung definiert

| z = | - | z |
|---|

Es gibt außerdem den Unterraum der Matrizen z mit verschwindender Spur (die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Man nennt ihn den imaginären Raum. Er ist unter Addition stabil, aber nicht unter Multiplikation. Man bemerkt, dass er ebenfalls der Raum der 2×2-Matrizen ist, die antisymmetrisch sind.

Mit diesen Definitionen lässt sich das gewöhnliche Skalarprodukt zweier Vektoren von R2 leicht berechnen. Wenn z1 die dem Vektor (x1,y1) entsprechende Matrix ist und z2 die dem Vektor (x2,y2) entsprechende Matrix, dann --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

Die Norm eines Vektors (x,y), der z entspricht, schreibt sich

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

Man nennt sie ebenfalls den Betrag oder die Norm der komplexen Zahl z und bezeichnet sie mit | z|. Selbstverständlich gilt | z1z2| = | z1|| z2|.

Die Untergruppe der Einheiten des Körpers C, die wir mit U(1) bezeichnen, ist die Menge der Elemente z von C, die erfüllen

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Diese Menge ist unter Multiplikation stabil. Das Element 1 gehört zu U(1). Jedes Element von U(1) ist invertierbar und seine Inverse liegt wieder in U(1). Man sagt, dass U(1) eine Gruppe ist. Achtung: die Summe zweier Elemente von U(1) liegt im Allgemeinen nicht in U(1). Die vorangehende Konstruktion hat also den Kreis S1 als Gruppe erscheinen lassen, als Gruppe der Einheitselemente von C. Die Tangente an den Kreis S1 im Punkt 1, die man die Lie-Algebra der Gruppe U(1) nennt, ist die durch

| Tr | (z) = 0 . |
|---|

definierte imaginäre Gerade.

2 Der Körper der Quaternionen

Definition.

Nehmen wir die vorangehende Konstruktion wieder auf, um R4 mit einer Körperstruktur zu versehen. Sei M2(C) der Raum der 2×2-Matrizen mit komplexen Koeffizienten. Jedem Paar komplexer Zahlen (a,b) kann man die quadratische Matrix mit komplexen Koeffizienten zuordnen

| - | a |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

Man bemerkt dann, dass:

1. die Summe von 2 solchen Matrizen wieder von derselben Form ist

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. das Produkt einer solchen Matrix q mit einer reellen Zahl l ebenfalls von diesem Typ ist

| l | a |
|---|

| l | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|

| l | - | a |
|---|

3. auch das Matrizenprodukt von 2 solchen Matrizen

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Man hat also eine Unteralgebra von M2(C) konstruiert, die wir mit K bezeichnen. Aber im Gegensatz zu C ist diese Algebra nicht kommutativ. So gilt beispielsweise

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

während

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Die Determinante einer Matrix q Î K schreibt sich

| - | a |
|---|

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

folglich ist jede von Null verschiedene Matrix q in K invertierbar und ihre Inverse

--- ****

æ ç ç ç è

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

gehört ebenfalls zu K. Man nennt K den Körper der Quaternionen. Er ist ebenfalls ein reeller Vektorraum der Dimension 4. Man kann jede Quaternion q in der Form

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

schreiben, wobei

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Man verifiziert mühelos die folgenden Beziehungen:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

Das gewöhnliche Skalarprodukt zweier Vektoren in R4, dargestellt durch die Quaternionen

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

und

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

schreibt sich

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

Die Norm eines Vektors (t,x,y,z), dargestellt durch q, schreibt sich

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

Man nennt sie ebenfalls den Betrag oder die Norm der Quaternion q und bezeichnet sie mit | q|. Selbstverständlich gilt | q1q2| = | q1|| q2|.

Reelle und imaginäre Quaternionen.

Die Konjugierte eines Elements q in K wird als die Transponierte der konjugierten Matrix von q definiert

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Eine Quaternion q heißt reell, wenn sie von der Form

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

ist, wobei t eine reelle Zahl ist. Dies erlaubt es, R mit einem Unterkörper von K zu identifizieren. Der Unterraum der reellen Quaternionen ist durch die Gleichung

| q = | - | q |
|---|

definiert.

Man definiert außerdem den Raum der imaginären Quaternionen H durch die Gleichung

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Es ist ein Raum der Dimension 3, erzeugt von I,J,K. Er ist ebenfalls definiert als der Raum der Matrizen M von M2(C), die antihermitesch

M = t`M = - M*

(M* ist die Transponierte der Matrix der komplex konjugierten Elemente) mit verschwindender Spur sind

| Tr | (M) =0 |
|---|

Anmerkung 1: * Im Fall des Körpers C hatte man festgestellt, dass der imaginäre Raum aus den reellen antisymmetrischen 2×2-Matrizen besteht. Aber die Spur einer antisymmetrischen Matrix *

tM = - M * ist notwendigerweise null, was bei einer antihermiteschen Matrix *

M = t`M = - M .* nicht der Fall ist.

*Die Gruppe der Einheiten. * * *

Die Untergruppe der Einheiten des Körpers K, die wir mit SU(2) bezeichnen, ist die Menge der Elemente q von K, die erfüllen

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Es ist die Menge der Punkte, die zur Sphäre S3 gehören, die somit mit einer Gruppenstruktur versehen erscheint, der Gruppe SU(2). Der Tangentialraum (der Dimension 3) an die Sphäre S3, den man die Lie-Algebra der Gruppe SU(2) nennt, ist der durch

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

definierte imaginäre Raum.

Man kann verifizieren, dass die Lie-Klammer zweier Elemente von H, X und Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

noch zu H gehört.

Der Tangentialraum an die Sphäre S3 in einem beliebigen Punkt q ergibt sich durch Linksmultiplikation der Elemente des imaginären Raums H mit q

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Jede Geodätische der Sphäre S3, die vom Punkt 1 in Richtung X ausgeht (wobei X zu H gehört und | X| = 1), ist definiert durch

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

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