Mathematische Physik und Geometrie

Physik und Geometrie

2. November 2004

Die mathematische Physik, deren einer der Pioniere der Mathematiker Jean-Marie Souriau war, geht über die Geometrie. In diesem Ansatz werden physikalische Größen wie Energie, Masse, Impuls, Spin und elektrische Ladung zu rein geometrischen Größen, dank eines Werkzeugs: der Gruppentheorie. Was ist nötig, um sich in diese Welt oder diese Art, die Welt wahrzunehmen, zu begeben? Nicht viel: die Fähigkeit, mit Matrizen umzugehen. Wenn Ihnen diese Objekte fremd sind, bemühen Sie sich, sie kennenzulernen – es lohnt sich. Wenn Sie dies bereits einmal gesehen haben, frischen Sie Ihre Kenntnisse auf; sie können Sie weit bringen und Fragen beantworten wie:

• Was ist die eigentliche Natur des Spins von Teilchen?

• Was ist Antimaterie?

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die PDF-Datei „Physik und Geometrie“

Koadjungierte Wirkung der Poincaré-Gruppe
auf ihrem Momentenraum

Achtung: Nur für Leser mit starkem naturwissenschaftlichem Hintergrund. Dies ist keine populärwissenschaftliche Darstellung.

24. Oktober 2004

Die Physik hat stets eng mit der Geometrie verbunden gewesen. Der Mathematiker Jean-Marie Souriau ist einer der Begründer der mathematischen Physik. Diese geht von einer Geometrisierung der Physik aus, die äußerst elegant ist. Alles beruht auf Gruppen mit reellen Koeffizienten, wie der Lorentz-Gruppe und der Poincaré-Gruppe, die hier durch Matrizen mit reellen Koeffizienten dargestellt werden. Im Folgenden beginnt alles mit einer einzigen Matrix G, die mit der Metrik des Minkowski-Raums zusammenhängt, also dem Raum der Speziellen Relativitätstheorie. Mit Hilfe dieser Matrix definieren wir eine erste Gruppe L, dargestellt durch (4,4)-Matrizen. Diese Gruppe wirkt auf den Raum-Zeit-Raum, der aus Ereignispunkten besteht. Aus diesen Matrizen und einem „Raum-Zeit-Translationsvektor“ C konstruieren wir eine zweite Gruppe, dargestellt durch (5,5)-Matrizen, die ebenfalls auf den Raum-Zeit-Raum wirkt. In diesem Raum-Zeit-Raum betrachten wir „Bewegungen“. Der Begriff der Bahn ist dabei armselig. Die Bewegung einer Teilchen muss mit Größen wie ihrer Energie E und ihrem Impuls p verknüpft werden. Für einen theoretischen Physiker sollte eine Teilchen, die ein „massives Punktobjekt“ ist, auch über einen Spin verfügen. Aber was ist ein solches Objekt? Kann ein massives Punktobjekt „um sich selbst rotieren“?

Souriau hat diese Größen geometrisch eingeführt, ausgehend ausschließlich von Gruppen. Alles dies ist, das gebe ich zu, recht anspruchsvoll. Eine Gruppe „wirkt“. Alles beginnt also mit dem Begriff der Wirkung. Die Gruppe wirkt auf die Bewegungen, indem ein Element der Poincaré-Gruppe eine Bewegung in eine andere Bewegung überführt, die in den Raum der Bewegungen, also den Raum-Zeit-Raum, eingebettet ist. Eine Gruppe „transportiert“. Die Euklidische Gruppe enthält beispielsweise Translationen und Rotationen im dreidimensionalen Raum. Sie ermöglicht das Transportieren von Punkten oder Punktgruppen. Diese Vorstellung ist recht intuitiv. Wenn es um den Raum-Zeit-Raum geht, transportieren wir dort „Bewegungen“. Betrachten wir zwei identische Aschenbecher an zwei verschiedenen Orten im dreidimensionalen Raum. Es gibt stets ein Element der Euklidischen Gruppe, das durch eine Translation und eine Rotation den ersten Aschenbecher auf den zweiten bringt. Dank der Gruppe können wir, wenn wir die Beschreibung eines Aschenbechers an einem beliebigen Ort im Raum kennen, „alle möglichen Aschenbecher“ in allen möglichen Positionen und Orientierungen konstruieren.

Im Raum-Zeit-Raum ist das Objekt eine „Bewegung“. Die Bewegungen, die von der Poincaré-Gruppe erfasst werden, entsprechen denen eines „relativistischen massiven Punktes“. Auf ähnliche Weise ermöglicht die Gruppe, dass, wenn man eine solche Bewegung kennt, man alle kennt. Eine Teilchen ist eine spezielle Bewegung des massiven Punktes. Man könnte diese Sichtweise mit folgendem Satz zusammenfassen:

„Sag mir, wie du dich bewegst, und ich sage dir, was du bist.“

Souriau zeigte, dass der Raum der Bewegungen mit einem zweiten Raum, den er „Raum der Momente“ nannte, verknüpft werden muss. Unter „Moment“ versteht Souriau die Parameter, die einer bestimmten Teilchenart zugeordnet sind. Wenn dieses Teilchen auf eine bestimmte Weise beobachtet wird, also in einem geeigneten Koordinatensystem beschrieben wird, ergeben sich drei Größen:

E, p, s

Die Energie E, der Impuls p und dieses geheimnisvolle Objekt, der Spin s. Diese Objekte treten dann als rein geometrische Größen auf, durch die koadjungierte Wirkung der Gruppe auf ihrem Momentenraum.

Heute beschäftigen sich Astrophysiker mit einem Objekt, das sie „dunkle Energie“ nennen, dem einzigen neuen kosmologischen Bestandteil, der ihnen geeignet erscheint, das Phänomen der kosmischen Rebeschleunigung zu erklären, das aus Beobachtungen ferner Supernovae hervorgeht. Diese „dunkle Energie“ ist … negativ. Es wird sich zeigen, dass der hier vorgestellte Ansatz ebenfalls die Existenz von materiellen Punkten mit negativer Energie ergibt, als einfache Konsequenz der Eigenschaften der Poincaré-Gruppe, die solche Bewegungen erzeugen kann. Bevor wir dazu übergehen, sollte der naturwissenschaftliche Leser dieses Dokument lesen und sich damit vertraut machen. Technisch gesehen erfordert diese Lektüre nichts weiter als die Fähigkeit, mit Matrizen umzugehen. Vor 15 Jahren war dies Niveau eines gymnasialen Leistungskurses (Klasse 12), doch anscheinend werden Matrizen heute nicht mehr auf diesem Niveau unterrichtet. Schade, denn es ist ein unverzichtbares Werkzeug, doch diese Abschaffung entspricht vermutlich einer „Modernisierung der Lehrpläne“.

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Teilchen mit negativer Energie

25. Oktober 2004

In der aktuellen Astrophysik neigen die Theoretiker dazu, ihr Interesse auf das zu richten, was sie „dunkle Energie“ nennen, eine negative Energie, die die kosmische Rebeschleunigung verursacht, wie sie aus Beobachtungen ferner Supernovae hervorgeht.

Die Theorie der dynamischen Gruppen der Physik (Poincaré-Gruppe) ermöglicht Einsichten in dieses schwierige Thema. Wie bereits erwähnt, sind diese Inhalte nur für Wissenschaftler oder Leser mit starkem naturwissenschaftlichem Hintergrund zugänglich.

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Die elektrische Ladung: ein geometrisches Objekt

9. November 2004

Durch die Einführung einer Erfindung des Mathematikers Jean-Marie Souriau – die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihrem Momentenraum – wurde erneut erläutert, wie er Energie, Impuls und Spin als rein geometrische Objekte hervorgebracht hat. Im Folgenden wird die Vorgehensweise wiederholt, um die elektrische Ladung ebenfalls als rein geometrisches Objekt entstehen zu lassen. Dazu wird dem vierdimensionalen Raum-Zeit-Raum eine fünfte Dimension hinzugefügt. Dieser fünfdimensionale Raum wird nun von einer neuen elfdimensionalen dynamischen Gruppe verwaltet, einer nichttrivialen Erweiterung der Poincaré-Gruppe. Die Erhöhung der Dimensionen der Gruppe geht einher mit einer Erhöhung der Komponenten des Moments; diese elfte Dimension wird dann mit der elektrischen Ladung q identifiziert.

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