Ursprüngliche Version auf Französisch
Bericht der 3. Karl-Schwarzschild-Tagung
FIAS, Frankfurt am Main, Deutschland
24.–28. Juli 2017
- August 2017
Ich bin gerade von der 3. Karl-Schwarzschild-Tagung zur gravitativen Physik und der Gauge/Gravitation-Korrespondenz nach Frankfurt am Main, Deutschland, im renommierten FIAS (Frankfurt Institute for Advanced Studies), zurückgekehrt.
Ich war sehr unsicher, was ich auf meinem Poster zeigen sollte, und entschied mich schließlich dafür, mein System aus zwei gekoppelten Feldgleichungen vorzustellen, das Herzstück des Janus-Kosmologischen Modells.
Ein Text, der sich nicht gut in das zentrale Thema der Tagung einfügte, das auf „die Physik schwarzer Löcher“ fokussiert war. Dieses Thema hatte ich ursprünglich später behandeln wollen, aber ein Artikel, den ich 2015 in
Modern Physics Letters A
veröffentlichte:
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21. März 2015).
"Annulation de la singularité centrale de la solution de Schwarzschild par un processus naturel d'inversion de masse"
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
war das bisherige, nach Peer-Review veröffentlichte Werk, das mir am nächsten kam. Da sich ein Whiteboard neben meinem Poster befand, schrieb ich die wesentlichen Punkte dieses Artikels auf:
Das erregte große Aufmerksamkeit. Die Teilnehmer der Tagung machten Fotos und es bildete sich eine Menschenmenge. Ein Seniorforscher im Alter von etwa sechzig Jahren äußerte sofort Skepsis gegenüber der Vorstellung, dass alle Singularitäten der 1916 von Schwarzschild gefundenen metrischen Lösung (die die Theorie schwarzer Löcher stützt) durch eine einfache Variablentransformation beseitigt werden könnten. Da er kein Namensschild trug, anders als die anderen, schloss ich, dass er Mitglied des FIAS, des Forschungsinstituts für Fortgeschrittene Studien in Frankfurt, sein musste, das diese Tagung organisierte. Hier ist die Variablentransformation:
Ein Kritiker endlich! Um die Dinge noch klarer zu machen, schrieb ich schnell alle Details der Berechnung auf ein Blatt, das ich meinem Experten übergab. Er nahm das Papier, entfernte sich etwas, setzte sich auf einen Stuhl und vertiefte sich eine Viertelstunde lang in die Gleichungen.
Alle warteten auf sein Urteil. Schließlich gab er mein Papier mit einem Nicken der Zustimmung zurück. Auf seinem Gesicht lag große Verwirrung. Ich denke, er dachte:
„Ich habe das noch nie gesehen. Natürlich hat dieser Franzose irgendwo einen Fehler gemacht, den ich noch nicht entdeckt habe. Ich werde ihn später finden.“
Ich versuchte, ihn in dieses Problem einzubeziehen, das die Interpretation des Ergebnisses von Karl Schwarzschild aus dem Jahr 1916 aufwirft (die Tagung hieß ja gerade „Karl-Schwarzschild-Treffen“!). Ich fragte ihn, ob er den Originalartikel in den Comptes rendus der Preußischen Akademie der Wissenschaften gelesen habe, der heute als „äußere Schwarzschild-Lösung“ bekannt ist:
Schwarzschild, K. (13. Januar 1916).
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
in englischer Übersetzung unter dem Titel:
Antoci, S.; Loinger, A. (12. Mai 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9905030
[physics.hist-ph]
Sowie seinen zweiten Artikel, der wenige Wochen später veröffentlicht wurde (weniger als drei Monate vor seinem Tod), die „innere Schwarzschild-Lösung“:
Schwarzschild, K. (24. Februar 1916).
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
in englischer Übersetzung unter dem Titel:
Antoci, S. (12. Mai 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9912033
[physics.hist-ph]
Er gab zu, dass er sie nie gelesen habe (!), und fügte hinzu:
— Lesen Sie Deutsch?
— Nein, aber ich habe englische Übersetzungen gelesen, relativ neu (1999) für Artikel, die ein Jahrhundert alt sind. Ich habe diese Dokumente auf meinem Laptop. Sind Sie damit einverstanden, sie gemeinsam zu lesen? Außerdem gibt es einen sehr wichtigen Text von David Hilbert aus Dezember 1916, der Schwarzschilds Arbeiten nach seinem Tod aufnimmt.
Hilbert, D. (23. Dezember 1916).
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
in englischer Übersetzung unter dem Titel:
Renn, J. (2007).
"The Foundations of Physics (Second Communication)"
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics
. Springer. 1017–1038.
Er wich der Frage aus und fügte hinzu, dass er auch diesen anderen Artikel nicht kenne (!)
Tatsächlich entdeckte ich in Frankfurt, dass die „Männer der schwarzen Löcher“
einfach keine Ahnung von den Gründungstexten haben, aus denen ihre Arbeiten entstanden sind. In einer Hauptvortrag vor allen Teilnehmern der Tagung begann Juan Maldacena, eine zentrale Figur der modernen Entwicklung der schwarzen Löcher-Theorie, mit folgenden Worten (wie im
Symposium-Entwurf
wiedergegeben):
Juan Maldacena
— Die Schwarzschild-Lösung hat uns mehr als ein Jahrhundert lang verwirrt und zwang uns, unsere Vorstellung von Raum und Zeit zu verfeinern. Sie führte zu einer präziseren Verständnis der Einstein-Theorie. Experimentell erklärt sie mehrere astrophysikalische Beobachtungen. Ihre quantenmechanischen Aspekte waren Ursache für theoretische Paradoxa, die uns dazu zwingen, die Beziehung zwischen Raum-Zeit-Geometrie und Quantenmechanik besser zu verstehen.
Konkret, was ist der Umfang?
Zunächst gibt es die „Entdeckung“ der „Hawking-Strahlung“. Tatsächlich basiert all dies auf der Idee einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Quantenmechanik. Wir wissen, dass eine solche Verbindung nie vollzogen wurde (die Gravitation weigert sich, quantisiert zu werden, was zur Beschreibung eines Gravitons, einer Spin-2-Teilchen, führen würde, das bisher nie gefunden wurde).
Unsere modernen Theoretiker sind überzeugt, dass diese Fantasie
eine wahre Realität ist
. Indem sie ein quantenmechanisches Phänomen in der Nähe des Ereignishorizonts anführen, „bewies“ Hawking, dass das schwarze Loch Energie verlieren und „strahlen“ könne. Das führte sofort zum Informationsparadoxon schwarzer Löcher. Tatsächlich sollte in diesen Objekten, die als schwarze Löcher bezeichnet werden, jede Struktur zerquetscht werden. Alles würde vollständig verschwinden. Schwarze Löcher wären also „Information vernichtende Maschinen“. Maldacena skizzierte dann die Fortschritte bei der „Thermodynamik schwarzer Löcher“. Insbesondere betonte er, dass „die Entropie schwarzer Löcher sich als proportional zu ihrer Oberfläche erwiesen hat“.
Zusammenfassend konzentrierten sich die Theoretiker in den letzten Jahrzehnten darauf, dieses Informationsparadoxon zu umgehen. Sie haben wahrscheinlich von einem „Feuerwand“ und anderen Dingen gehört. In seiner neuesten Arbeit führt Maldacena ein neues „Zauberwort“ ein:
die Verschränkung
. Ein Konzept aus der Quantenmechanik und dem berühmten Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon (EPR-Paradoxon), das ich in meinem Video
JANUS 6 (ab 14:04)
beschrieben habe. In diesem berühmten Experiment sind zwei emittierte Photonen „verschränkt“. Kurz gesagt, laut Maldacena bringt die Verschränkung alle Antworten. Dazu eine Prise Stringtheorie.
Ein solcher Vortrag ist das beste Beispiel für die Theorie im Jahr 2017.
Die Teilnehmer der Tagung beziehen sich selbstverständlich auf die JANUS-Videos (siehe
die vollständige Playlist hier
). Dank des hervorragenden Arbeit von Julien Geffray wurden die Videos ins Englische mit Untertiteln übersetzt, sechs davon waren bereits zur Eröffnung der Tagung übersetzt (JANUS 14 bis 19). Und genau da erkannten wir, dass eine korrekte englische Übersetzung
absolut unverzichtbar
ist, um außerhalb Frankreichs gehört zu werden. Ich kann keine schlechte englische Übersetzung liefern: Fremdsprachige Benutzer würden sofort wechseln. Geffray, der mein Werk seit 20 Jahren verfolgt und die Sprache Shakespeares perfekt beherrscht, war die einzige Person, die diese sehr anspruchsvolle Arbeit der Untertitelung übernehmen konnte, die für jedes Video zwischen zwei und drei Tage Arbeit erfordert. Das entspricht 15.000 bis 20.000 Zeichen pro Video, mit einem Text, der viel Fachjargon enthält, die Schwierigkeit, die Untertitel visuell zu organisieren und auf ein Zehntel Sekunde genau zu kalibrieren, sowie die Erstellung von Karten, die auf meine veröffentlichten Artikel und wissenschaftlichen Comics verweisen.
Da ich die Wirkung auf Nicht-Franzosen sah, erkannte ich, dass ich alle Videos der Janus-Serie ins Englische untertiteln lassen musste. Wir haben den Preis neu verhandelt, um die Übersetzung weiter auszudehnen, aber das Budget bleibt hoch für mehr als 20 Videos.
Die Internetnutzer reagierten auf den Aufruf und spendeten über
PayPal
. Diese Mittel ermöglichen mir, ins Ausland zu reisen und an internationalen Konferenzen teilzunehmen (Anmeldegebühren, Reise- und Unterkunftskosten), sowie diese Arbeit der Untertitelung. Ich möchte betonen, dass ich weiterhin zwei Videos pro Monat produzieren werde (ja, es wird auch ein Janus-Video zur Quantenmechanik geben). Meiner Meinung nach ist dies eine sinnvolle Investition, da Texte auf Webseiten oft in Vergessenheit geraten, während Videos unbegrenzt weiterlaufen und das modernste Kommunikationsmittel darstellen.
Voraussichtlicher Budget bis Frühjahr 2018 (Untertitelung + Konferenzen): 20.000 Euro
Die Wahrheit zu enthüllen hat ihren Preis.
Wenn das Geld, das von den Internetnutzern gesendet wurde (ein großes Dankeschön an sie!) ausreicht, um meine Anwesenheit bei den nächsten Konferenzen (die Schwarzschild-Treffen, Frankfurt; dann COSMO-17, Paris…) zu sichern, werde ich zusätzliche Hilfe benötigen, um diese Kosten der Untertitelung und zukünftiger Konferenzen zu bewältigen.
Auswirkung dieser Videos: Reaktionen junger Forscher auf dem Schwarzschild-Treffen. Einer von ihnen, ein Italiener, sagte mir schließlich:
— Ich habe Ihre Artikel über Ihr kosmologisches Janus-Modell gesehen
(er hatte die Fachkenntnis, um den Inhalt zu würdigen)
. Ich sehe, wie Sie hier empfangen werden. Wie können Sie erwarten, dass diese Leute Ihnen etwas anderes tun als den Rücken zudrehen? Was Sie vorschlagen, ist, die Grundlage ihres ganzen Arbeit zu zerstören!
Der Kontakt mit diesem jungen Mann wurde hergestellt und wird aufrechterhalten. Er arbeitet in Italien an der modifizierten Newtonschen Dynamik. Es ist eine erste Keimzelle. Wenn ich weiterhin auf internationalen Konferenzen „flirte“, werden weitere junge Forscher folgen, wahrscheinlich nicht unter denen, die ihren Ruhm auf den fantastischen Werken aufbauen, die ich erwähnt habe.
Einige dieser jungen Leute werden eines Tages sagen:
„Ich glaube wirklich nicht an die MOND-Theorie, und wenn ich versuchen würde, zu sehen, wohin die Ideen dieses französischen Physikers führen?“
Diese Kontakte und Austausche werden erleichtert, weil diese jungen Forscher die Videos sehen und dann die Artikel über das Janus-Modell lesen können, wenn sie mich treffen.
In Frankfurt waren die meisten Vorträge auf „die Physik schwarzer Löcher“ ausgerichtet, über
„das, was Sie beobachten könnten, wenn Sie es beobachten könnten…“
Dazu kam die neue Idee eines „holographischen Universums“ (ich muss eine Video erstellen, um zu erklären, was ein Hologramm eigentlich ist). Eine Frau erklärte, dass
„wir keine Angst vor kosmischen Fäden haben sollten“
. Eine andere zeigte, wie kleine Schwarze Löcher während der Inflationsphase der kosmischen Expansion entstehen könnten. Fügen wir Geschichten über Stringtheorie, „Branen-Kollisionen“ hinzu. Ich bin praktisch der Einzige, der Arbeiten und Ergebnisse vorschlägt, die mit Beobachtungen verglichen werden können.
Wenn ich die kosmologische Gemeinschaft wecken will, damit sie reagiert, muss ich ihr geliebtes Kind, das schwarze Loch, angreifen, was ich nicht dachte, dass ich so bald tun müsste. Aber die Stimmung der Tagung in Frankfurt hat mich veranlasst, die Lage zu korrigieren, und daher wird der Titel meines nächsten Videos sein:
JANUS 21: Das schwarze Loch, entstanden aus einer falschen Interpretation der Lösung, die Karl Schwarzschild 1916 fand
Das werden auch meine Worte bei der internationalen Konferenz COSMO-17 in Paris sein. Es geht nicht darum, ein alternatives Modell für das schwarze Loch vorzuschlagen (noch nicht), sondern darum, zu fordern:
— In seiner jetzigen Form ist das Modell dieses Objekts, das als „schwarzes Loch“ bezeichnet wird, inkonsistent, da es nicht der Lösung entspricht, die Karl Schwarzschild 1916 fand, und ich beweise dies.
Der deutsche Mathematiker Karl Schwarzschild
starb am 11. Mai 1916 in Potsdam im Alter von 43 Jahren
drei Monate nach der Veröffentlichung seiner Lösungen zu Einsteins Gleichungen.
Die Lösung wurde 1916 von Schwarzschild gefunden und in folgender Form veröffentlicht:
Schwarzschild, K. (13. Januar 1916).
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
in englischer Übersetzung unter dem Titel:
Antoci, S.; Loinger, A. (12. Mai 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9905030
[physics.hist-ph]
In diesem ersten Artikel definiert Schwarzschild eine Koordinate r perfekt als eine „polare Koordinate“:
Aber er führt eine sogenannte Hilfsgröße R ein, und durch sie drückt er seine berühmte „äußere Lösung“ im Januar 1916 aus:
Es ist nicht nötig, ein Mathematiker zu sein, um zu erkennen, dass, da die von Schwarzschild gewählte Variable r (wie oben definiert) strikt positiv ist, die Zwischengröße R nicht frei ist, sondern eine untere Grenze α hat:
Schwarzschild starb am 11. Mai 1916 in Potsdam im Alter von 43 Jahren, nur wenige Monate nach dieser ersten Veröffentlichung.
Fortsetzung dieses Werkes in einer Mitteilung, die im Dezember 1916 an der Akademie der Wissenschaften in Göttingen gehalten wurde, vom deutschen Mathematiker
David Hilbert, 54 Jahre alt im Jahr 1916,
hält diese Methode der Lösungsdarstellung für wenig interessant, was in diesem Fall die Singularität (bei R = α) an den Ursprung, bei r = 0, verschiebt.
Die Mitteilung von Hilbert datiert vom 23. Dezember 1916 (Schwarzschild starb im Mai):
Hilbert, D. (23. Dezember 1916).
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
in englischer Übersetzung unter dem Titel:
Renn, J. (2007).
"The Foundations of Physics (Second Communication)"
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics
. Springer. 1017–1038.
Tatsächlich arbeitete Hilbert bereits aktiv an der Allgemeinen Relativitätstheorie, und der Titel seines Artikels lautet
„Die Grundlagen der Physik“
. Man neigt oft dazu, Einstein als Physiker und Hilbert als reinen Mathematiker zu betrachten. Tatsächlich mochte Hilbert die technischen Aspekte der Wissenschaft nicht besonders. Einmal wurde er gebeten, seinen kranken Kollegen Felix Klein zu ersetzen, um vor Studenteningenieuren einen Vortrag zu halten. Hilbert begann seinen Vortrag mit einem Witz:
—
Man hört viel von der Feindschaft zwischen Wissenschaftlern und Ingenieuren. Ich glaube das nicht. Tatsächlich bin ich sicher, dass es nicht wahr ist. Es kann nichts daran sein, weil keine der beiden Seiten etwas mit der anderen zu tun hat.
Aber es waren nicht nur die Ingenieure gemeint. Es gibt auch diese berühmte Aussage von ihm:
— Die Physik wird zu schwierig für Physiker.
Die mathematischen Arbeiten von Hilbert sind tatsächlich beträchtlich.
Es ist ebenfalls erwähnenswert – obwohl ich dies in einem zukünftigen Video ausführlicher erläutern werde – dass Schwarzschild nicht nur die „äußere“ Lösung lieferte, sondern auch die „innere“ Lösung (die Geometrie innerhalb einer Kugel konstanter Dichte) in einem zweiten Artikel, der einen Monat später veröffentlicht wurde:
Schwarzschild, K. (24. Februar 1916).
„Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie“
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
in englischer Übersetzung durch:
Antoci, S. (12. Mai 1999). „On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory“.
arXiv:physics/9912033
[physics.hist-ph]
Erst heute, mit Objekten wie Neutronensternen, entsteht ein Problem bezüglich der geometrischen und physikalischen Darstellung von Objekten, bei denen die „Entfernungsvariable“ nicht mehr vernachlässigbar gegenüber dem Schwarzschild-Radius ist. Aber dann, welche Variable sollte man wählen: die von Hilbert oder die von Schwarzschild?
Die Theoretiker schlugen dann vor, dieser äußeren Lösung eine physikalische Bedeutung zu geben, indem sie sagten, dass sie ein Objekt beschreibt, das sie „schwarzes Loch“ nannten. Geometrisch muss man dann eine Antwort geben:
– gemäß der Darstellung von Schwarzschild, was dort passiert, wo r = 0
– gemäß der Darstellung von Hilbert, was dort passiert, wo R < α (der „Innere“ des schwarzen Lochs)
Ich betone, dass die zweite Frage in der Darstellung von Schwarzschild nicht auftritt: Sie müssen sich nicht fragen, was mit Massenpunkten geschieht, die „jenseits“ von α fallen, denn ein solcher „Innere“… existiert nicht.
Im Gegensatz dazu, wenn dieser „Innere“ tatsächlich existieren würde, wäre das sehr seltsam: Die Signatur des Metrik-Tensors würde verändert werden, was unsere modernen Theoretiker dazu bringt zu sagen: „Im Inneren wird r zur Zeit und t zum Radius“.
In diesem Artikel, der einer Peer-Review unterzogen wurde:
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21. März 2015).
„Cancellation of the central singularity of the Schwarzschild solution with natural mass inversion process“
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
Ich habe eine andere Koordinatenwahl angegeben, abgeleitet aus der Schwarzschild-Lösung durch die folgende Variablentransformation:
was zu einer Darstellung der Metrik in der Form führt:
Sie ist dann für alle Werte der Variablen regulär, außer dass der erste Term am Ursprung verschwindet. Die zugehörige Geometrie wird interpretiert, indem man annimmt, dass diese Metrik einen Übergang zwischen zwei Minkowski-Räumen mit PT-Symmetrie beschreibt, wobei die Verbindung durch eine Kehlkugel mit Umfang 2πα erfolgt. Entlang dieser Kugel ist die Determinante null, was die doppelte Inversion von Raum und Zeitpfeil beim Durchgang durch diese Oberfläche widerspiegelt.
Indem man die Metrik in der Form verwendet, die Schwarzschild als Lösung der Feldgleichungen angegeben hat, ausgedrückt mit den Koordinaten (t, r, θ, φ), könnte man auf den ersten Blick glauben, dass die Kehlkugel zu einem einzigen Punkt reduziert wird, ähnlich dem Scheitel eines Kegels: der Punkt r = 0. Aber das würde bedeuten, dieser Größe eine „dimensionshafte“ Wert zuzuweisen, was nichts anderes ist als ein „Raummarkierer“. Ein Raummarkierer in der Differentialgeometrie ist einfach eine Zahl, die bestimmte Punkte lokalisiert. Die einzigen realen Abstände, die eine Bedeutung haben, sind jene, die mit Hilfe der Metrik berechnet werden. Diese Längen, bezeichnet mit dem Buchstaben s, sind unabhängig vom gewählten Koordinatensystem invariant (wenn man zwei identische Wege betrachtet, die von zwei verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden).
Die Eigenschaft der sphärischen Symmetrie der Lösung ermöglicht es, drei der vier Koordinaten (t, r, φ) festzulegen und eine Rotation um 2π nach der Koordinate θ durchzuführen. Die Kehlkugel in der Darstellung von Hilbert entspricht R = α. Wenn t = konstant, φ = konstant und diese Rotation nach θ erfolgt, ergibt sich als Ergebnis 2πα, der Umfang eines Großkreises auf der Kehlkugel.
Wir wiederholen diesen Vorgang in meiner eigenen Darstellung (t, r, θ, φ). Die Kehlkugel entspricht dann ρ = 0. Die Rotation nach der Koordinate θ ergibt ebenfalls den Wert 2πα.
Was überraschender ist, ist, dass man bei Wahl der Schwarzschild-Darstellung, bei der die Kehlkugel der Wert r = 0 entspricht, ebenfalls diese Länge 2πα erhält! Das ist sehr verwirrend, denn „um den Punkt r = 0 herumzulaufen“ ergibt eine nicht verschwindende Länge! Weil r… kein Punkt ist! Dies ist ein verwirrender Aspekt der Differentialgeometrie und der Darstellung von Objekten durch ihre Metrik.
Dieser Gedankenexperiment sollte Ihnen verständlich machen, dass Sie r nicht länger als „dimensionshafte Länge“ betrachten sollten. Genau deshalb entsteht die Verwirrung, weil alle r als „radiale Entfernung“ vorstellen.
Tatsächlich ist sogar das Wort „Dimension“ die Quelle der Verwirrung. Anstatt zu sagen: „Wir werden die Punkte in diesem geometrischen Objekt mit einem Satz von Dimensionen lokalisieren“, sollten wir sagen:
— Wir werden die Punkte in diesem geometrischen Objekt mit Raummarkierern lokalisieren: (x₀, x₁, x₂, x₃)
Auch der Buchstabe x könnte irreführend sein. Um völlig den falschen Eindruck zu beseitigen, dass r eine radiale Entfernung variabel wäre, die bis zu einem zentralen Punkt führt, sollte der Raummarkierer durch einen neutralen griechischen Buchstaben wie β oder ζ definiert werden: (ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃)
Kehren wir zum allgemeinen Konzept der Metrik zurück. In Mathematik und Geometrie, was ist das?
Die Erde ist nicht flach. Sie ist sphärisch. Das ist ein Problem für Kartographen. Wenn wir die Kontinente auf einem Globus betrachten, ist alles in Ordnung. Aber wie kartographiert man eine gekrümmte Welt auf flachen Papierblättern, ebenen Trägern? Mehrere Karten werden erstellt und zu einem Atlas zusammengefasst. Nachbarkarten können miteinander verbunden werden, indem man die Übereinstimmung zwischen ihren Meridianen und Breitenkreisen anpasst.
Allgemeiner gesagt, ist es möglich, jede Oberfläche mit dieser Technik zu kartographieren. Eine Autokarosserie zum Beispiel. Jedes ebene Element dieses Atlas entspricht einer lokalen metrischen Beschreibung. Mathematiker und Geometer haben diesen Begriff erweitert, indem sie Atlas aus nicht-euklidischen Elementen betrachteten. Stellen Sie sich eine Welt vor, in der Papier nicht existiert und Menschen Träger in Form von getrockneten Blättern verwenden, die wie Sektoren einer Kugel geschnitten sind und gestapelt werden können, wodurch ein seltsamer gekrümmter Atlas entsteht. Alles könnte so Schritt für Schritt kartografiert werden (einschließlich einer Ebene!).
Diese Technik stellt keine Einschränkung bezüglich der Topologie des zu kartografierenden Objekts dar.
Die Wahl, das Objekt, das durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben wird, mit „polaren Koordinaten“ darzustellen, impliziert implizit eine starke Annahme über seine Topologie.
Im Folgenden geht es darum, dass die metrische Lösung ihre eigene Topologie enthält und wir keine Wahl haben. Wir verlassen völlig die klassische Herangehensweise an Karten, die einen Atlas bilden, und stellen uns vor, dass das Objekt ausschließlich durch seine Metrik beschrieben wird, ausgedrückt in einem Satz von „angepassten“ Koordinaten, also solchen, die mit der impliziten Topologie, die mit ihrer metrischen Lösung verbunden ist, übereinstimmen. Der Leitfaden lautet:
– Die Einheitslänge s muss überall reell sein.
– Und ihre Konsequenz: Die Signatur der Metrik ist invariant.
Aufgrund dieser Kommentare und Vorschläge kann man dann das klassische Modell des schwarzen Lochs, belastet mit seinen vielfältigen Pathologien, in Frage stellen. Ist das nicht eine Folge der Art und Weise, wie Hilbert diese Geometrie interpretiert hat? Tragend dieses Chimäre „Innere des schwarzen Lochs“, zugänglich durch die „analytische Fortsetzung von Kruskal“, die Maldacena in seinem Vortrag sagte, „ermöglicht es, die Lösung auf den gesamten Raum-Zeit zu erweitern“. Tatsache ist, dass die Forscher an schwarzen Löchern eine a priori-Annahme über die Topologie des Objekts haben, das sie untersuchen. Wie?
Topologisch betrachtet eine 2D-Oberfläche. Zeichnen Sie eine geschlossene Kurve und versuchen Sie, ihren Umfang auf null zu reduzieren. Es gibt zwei Szenarien:
– Entweder kann dieser Umfang bis auf null reduziert werden.
– Oder es wird eine minimale Grenze erreicht.
Dies kann durch die folgende Zeichnung veranschaulicht werden:
Wenn ein Bewohner einer 2D-Oberfläche uns fragt:
— Was ist im Zentrum des Kreises?
Wir könnten nur sagen, dass diese Frage sinnlos ist, denn diese Kreise haben kein Zentrum.
Wenn wir in eine 3D-Welt wechseln, würde diese „Kontrahierbarkeit“ als die Möglichkeit erscheinen, eine Kugel zu deformieren, indem man ihre Oberfläche auf null reduziert:
Wenn diese Operation gelingt, hat diese Kugel ein „Inneres“ und ein „Zentrum“.
Aber ein 3D-Raum ist nicht notwendigerweise kontrahierbar. Wenn er es nicht ist, dann erreicht die „Blätterung“ dieses Raums durch benachbarte konzentrische Kugeln (wie eine Kartoffel schälen) in bestimmten Regionen (der Oberfläche mit der Topologie einer 2-Sphäre) eine minimale Oberfläche. Wenn wir versuchen, die Blätterung fortzusetzen, wird die Oberfläche wieder ansteigen, da die minimale Oberfläche, die wir gerade durchquert haben, tatsächlich eine „Kehlkugel“ war.
Es ist nicht mehr möglich, dies in 3D zu zeichnen, aber wenn wir uns auf die vorherige Abbildung beziehen, sehen wir, dass auf der rechten Seite der minimale Wert ein Kehlkreis (in rot) ist. Alles kann auf eine 3D-Hyperschicht und eine Hyperschicht mit beliebig vielen Dimensionen erweitert werden.
Indem Maldacena Joseph Kruskal lobt, „der uns ermöglicht hat, die Lösung auf den gesamten Raum-Zeit zu erweitern“, realisiert er nicht (wie Tausende vor ihm), dass er unbewusst eine Annahme über die Topologie der 4D-Hyperschicht macht, über die er spricht: dem „Raum-Zeit“.
Tatsächlich führt diese Versuch zu einer Veränderung der Metriksignatur, die mit der Transformation der Einheitslänge in eine rein imaginäre Größe einhergeht. Das drückt einfach die „Antwort“ des Formalismus aus:
— Achtung! Sie sind außerhalb der Hyperschicht!
Tatsächlich möchte er eine Region des Raum-Zeit untersuchen, die gar nicht existiert, genau wie ein Geometer, der eine analytische Fortsetzung erstellt, um die Eigenschaften der Tangentialebene an einen Torus zu untersuchen… in der Nähe seines Achsenbereichs, wie ein verrückter Mechaniker in der Welt von Alice im Wunderland, der versucht, ein Teil auf das Innere eines Reifens in der Nähe der Radachse zu kleben…
Wenn ich recht habe, dann wurden über Jahrzehnte hinweg so viel Papier, Tinte und graue Zellen (einschließlich quantenmechanischer graue Zellen) verbraucht, um ein Objekt zu beschreiben, das nicht existiert, und all das, was damit verbunden ist, wie die Eigenschaften einer „zentralen Singularität“! Man kann sich fragen, warum all das offensichtlich während eines ganzen Jahrhunderts völlig unbemerkt blieb. Die Wissenschaftshistoriker könnten uns die Antwort geben. Sagen wir, dass Hilbert durch seine Fantasie eines imaginären Zeitraums die Idee einer räumlichen Signatur (– + + +) vermittelt hat, was vielleicht bedeutet, dass niemand nach ihm besorgt war, dass das Quadrat der Längeneinheit ihr Vorzeichen wechseln könnte. Aber es ist falsch zu sagen, dass dies nur „eine Konvention“ betrifft.
Allerdings entschieden sich Schwarzschild (und Einstein) für eine zeitliche Signatur (+ – – –), wie man im Artikel von Schwarzschild sehen kann:
Umgekehrt fixiert Hilbert, indem er das Vorzeichen der Terme, die auf die Winkel Bezug nehmen, festlegt, implizit die Signatur auf (– + + +):
Physiker, Studenten und Ingenieure, die diese Fragen erforschen möchten, können unten die englischen Übersetzungen der verschiedenen Artikel herunterladen, die auf dieser Seite zitiert werden, einschließlich der historischen Artikel, die ursprünglich vor tausend Jahren auf Deutsch veröffentlicht wurden. Sie wurden wahrscheinlich nie von unseren modernen „Männern der schwarzen Löcher“ gelesen, die den Kontakt mit der Realität verloren haben und eine Astrophysik ohne Beobachtung entwickeln, die aus Mathematik ohne Strenge hervorgeht.
• Historische Artikel:
Schwarzschild, K. (13. Januar 1916).
„Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie“
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
übersetzt ins Englische von:
Antoci, S.; Loinger, A. (12. Mai 1999). „On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory“.
arXiv:physics/9905030
Schwarzschild, K. (24. Februar 1916).
„Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinscher Theorie“
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
übersetzt ins Englische von:
Antoci, S. (12. Mai 1999). „On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory“.
arXiv:physics/9912033
Frank, Ph. (1916) in
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
.
46
: 1296.
übersetzt ins Englische von:
Antoci, S. (2003). „Appendix A: Frank’s review of Schwarzschild's 'Massenpunkt' paper“ in „David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution“.
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics
. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
arXiv:physics/0310104
Droste, J. (1917).
„The field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation, and the motion of a particle in that field“
.
Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A
.
19
(I): 197–215. (Mitgeteilt von Prof. H. A. Lorentz auf der KNAW-Sitzung am 27. Mai 1916).
Nachdruck (2002) in
General Relativity and Gravitation
.
34
(9): 1545–1563. doi:10.1023/A:102074732.
Weyl, H. (1917).
„Zur Gravitationstheorie“
.
Annalen der Physik
.
54
(18): 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804.
übersetzt ins Englische von:
Neugebauer, G.; Petroff, D. (März 2012). „On the theory of gravitation“.
General Relativity and Gravitation
.
44
(3): 779–810. doi:10.1007/s10714-011-1310-7.
Hilbert, D. (23. Dezember 1916).
„Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)“
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
übersetzt ins Englische von:
Renn, J. (2007). „The Foundations of Physics (Second Communication)“.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics
. Springer. 1017–1038.
• Weitere Literatur:
Abrams, L. S. (November 1979). „Alternative Space-Time for the Point Mass“.
Physical Review D
.
20
(10): 2474–2479. doi:10.1103/PhysRevD.20.2474.
- Korrektur:
Abrams, L. S. (April 1980). „Erratum: Alternative space-time for the point mass“.
Physical Review D
.
21
(8): 2438. doi:10.1103/PhysRevD.21.2438.
arXiv:gr-qc/0201044
Abrams, L. S. (2001). „Black Holes: The Legacy of Hilbert's Error“.
Canadian Journal of Physics 67
(9): 919–926. doi:10.1139/p89-158.
arXiv:gr-qc/0102055
Antoci, S.; Liebscher, D.-E. (2001). „Reconsidering Schwarzschild’s original solution“.
Astronomische Nachrichten
.
322
(2): 137–142.
arXiv:gr-qc/0102084
Antoci, S. (2003). „David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution“.
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics
. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
arXiv:physics/0310104
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21. März 2015).
„Cancellation of the central singularity of the Schwarzschild solution with natural mass inversion process“
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
Petit, J.-P. (2017).
). Die Kehlkopfkugel entspricht dann
ρ
= 0. Die Drehung entlang der
θ
-Koordinate ergibt den Wert 2πα.
Überraschender ist, dass man bei der Wahl der Schwarzschild-Darstellung, bei der die Kehlkopfkugel dem Wert
r
= 0 entspricht, ebenfalls diese Länge 2πα erhält! Dies ist sehr beunruhigend, denn „das Umrunden des Punktes
r
= 0“ ergibt eine nicht verschwindende Länge! Denn
r
… ist kein Punkt! Es ist ein verwirrendes Merkmal der Differentialgeometrie und der Darstellung von Objekten durch ihre Metrik.
Dieser Gedankenexperiment sollte Ihnen verständlich machen, dass Sie
r
nicht länger als „dimensionale“ Länge betrachten dürfen. Genau deshalb entsteht die Verwirrung, weil jeder
r
als „radiale Entfernung“ zu einem zentralen Punkt vorstellt.
Tatsächlich ist sogar das Wort „Dimension“ die Quelle der Verwirrung. Anstatt zu sagen: „Wir werden die Punkte in diesem geometrischen Objekt mit einem Satz von Dimensionen lokalisieren“ sollten wir sagen:
— Wir werden die Punkte in diesem geometrischen Objekt mithilfe von Raummarkern lokalisieren:
( x 0
,
x 1
,
x 2
,
x 3 )
Auch der Buchstabe
x
könnte irreführend sein. Um die falsche Vorstellung vollständig zu beseitigen, dass
r
eine variable radiale Entfernung bis zu einem zentralen Punkt darstellen würde, sollte der Raummarker durch einen neutralen griechischen Buchstaben wie β oder ζ definiert werden:
(ζ
0
, ζ
1
, ζ
2
, ζ
3 )
Zurück zum allgemeinen Konzept der Metrik. Was ist das in der Mathematik, in der Geometrie?
Die Erde ist nicht flach. Sie ist eine Kugel. Das ist ein Problem für Kartographen. Wenn wir Kontinente auf einem Globus betrachten, ist alles in Ordnung. Aber wie kann man eine gekrümmte Welt auf flache Papierbögen, ebene Träger, abbilden? Wie geht man vor? Es werden mehrere Karten erstellt und zu einem
Atlas
zusammengefasst. Nachbar-Karten können miteinander durch Anpassung der Übereinstimmung zwischen ihren Meridianen und Parallelen verbunden werden.
Allgemeiner lässt sich jede Fläche mit dieser Technik abbilden. Ein Autokarosserie zum Beispiel. Jedes ebene Element dieses Atlas entspricht einer lokalen Metrik-Beschreibung. Mathematiker und Geometer haben dieses Konzept erweitert, indem sie Atlanten aus nicht-euklidischen Elementen betrachteten. Stellen Sie sich eine Welt vor, in der Papier nicht existiert und Menschen stattdessen Träger in Form getrockneter Blätter verwenden, die als Kugelteile geformt sind und gestapelt werden können, wodurch ein seltsamer gekrümmter Atlas entsteht. Alles könnte so Schritt für Schritt abgebildet werden (einschließlich einer Karte!).
Diese Technik beinhaltet keine Einschränkung bezüglich der Topologie des abzubildenden Objekts.
Die Entscheidung, das durch die Schwarzschild-Metrik beschriebene Objekt mit „Polarkoordinaten“ zu gestalten, impliziert eine starke Annahme über seine Topologie.
Im Folgenden geht es darum, dass die Metriklösung ihre eigene Topologie
enthält
und dass wir sie nicht frei wählen können. Wir verwerfen dann völlig den klassischen Ansatz von Karten, die einen Atlas bilden, und stellen uns das Objekt nur durch seine Metrik vor, ausgedrückt in einem Satz von Koordinaten „die gut passen“, also mit der Topologie übereinstimmen, die implizit mit ihrer Metriklösung verbunden ist. Der gemeinsame Nenner lautet:
– Die Einheitslänge
s
muss überall reell sein.
– Und ihre Konsequenz: Die Signatur der Metrik ist invariant.
Aufgrund dieser Bemerkungen und Vorschläge kann man dann das klassische Modell des Schwarzen Lochs, belastet mit seinen mehrfachen Pathologien, in Frage stellen. Ist dies nicht eine Folge der Art und Weise, wie Hilbert diese Geometrie interpretiert hat? Unter Berücksichtigung dieses Chimärenkonzepts namens „das Innere des Schwarzen Lochs“, das über die „analytische Fortsetzung von Kruskal“ zugänglich ist, wobei Maldacena in seiner Vortragsveranstaltung sagte: „Sie ermöglicht es, die Lösung auf den gesamten Raum-Zeit-Raum zu erweitern“. Tatsache ist, dass Schwarze-Loch-Forscher eine
a priori
über die Topologie des Objekts haben, das sie untersuchen. Wie kommt das zustande?
Topologisch betrachtet, nehmen wir eine 2D-Oberfläche. Zeichnen Sie eine geschlossene Kurve und versuchen Sie, den Umfang dieser Kurve auf null zu reduzieren. Es gibt zwei Szenarien:
– Entweder kann dieser Umfang bis auf null verringert werden.
– Oder es wird ein Minimum erreicht.
Dies kann in der folgenden Abbildung veranschaulicht werden:
Wenn ein 2D-Bewohner dieser Oberfläche uns fragen würde:
— Was befindet sich im Zentrum des Kreises?
Könnten wir nur antworten, dass seine Frage sinnlos ist, da diese Kreise kein Zentrum haben.
Wechseln wir in eine 3D-Welt, würde diese
Kontrahierbarkeit
als die Möglichkeit erscheinen, eine Kugel zu deformieren, indem man ihre Fläche auf null verringert:
Wenn dieser Vorgang erfolgreich abgeschlossen werden kann, dann hat diese Kugel ein „Inneres“ und ein „Zentrum“.
Ein 3D-Raum ist jedoch nicht notwendigerweise kontrahierbar. Wenn er es nicht ist, dann erreicht die
Foliation
dieses Raums durch konzentrische Nachbarkugeln (also wie das Schälen einer Zwiebel) in einem bestimmten Bereich (der Oberfläche mit der Topologie einer 2-Sphäre) eine minimale Fläche. Wenn wir dann versuchen, die Foliation fortzusetzen, wächst die Fläche wieder an, weil das Minimum, das wir gerade überschritten haben, tatsächlich eine
Kehlkopfkugel
war.
Solch eine Struktur kann in 3D nicht mehr gezeichnet werden, aber unter Bezugnahme auf die vorherige 2D-Abbildung sehen wir, dass der minimale Wert auf der rechten Seite ein Kehlkopfkreis (in rot) ist. Alles lässt sich auf eine 3D-Hyperschicht und eine Hyperschicht mit beliebig vielen Dimensionen erweitern.
Dass Maldacena Joseph Kruskal preist, „der uns ermöglichte, die Lösung auf den gesamten Raum-Zeit-Raum zu erweitern“, erkennt nicht (wie Tausende vor ihm) bewusst, dass er unbewusst eine Annahme über die Topologie der 4D-Hyperschicht macht, über die er spricht: dem „Raum-Zeit“.
Doch dieses Unterfangen endet in einer Veränderung der Metriksignatur, die Hand in Hand geht mit der Transformation der Einheitslänge in eine rein imaginäre Größe. Dies drückt lediglich die „Antwort“ des Formalismus aus:
— Achtung! Sie befinden sich außerhalb der Hyperschicht!
In Wirklichkeit möchte er eine Region der Raum-Zeit erforschen, die gar nicht existiert, genauso wie ein Geometer, der eine analytische Fortsetzung konstruiert, um die Eigenschaften der Tangentialebene an einen Torus zu untersuchen… in der Nähe seiner Achse, wie ein verrückter Mechaniker in der Welt von
Alice im Wunderland
, der versucht, ein Stück auf die Innenseite eines Reifens in der Nähe der Achse des Rades zu kleben…
Wenn ich recht habe, dann wurde über Jahrzehnte hinweg so viel Papier, Tinte und graue Substanz (einschließlich quantenmechanischer graue Substanz) verbraucht, um ein Objekt zu beschreiben, das nicht existiert, und all das, was damit verbunden ist, wie die Eigenschaften einer „zentralen Singularität“! Man fragt sich, warum dies offensichtlich für ein ganzes Jahrhundert völlig unbemerkt blieb. Mögen Historiker der Wissenschaft uns die Antwort geben. Man könnte sagen, dass Hilbert mit seiner Fantasie einer imaginären Zeit die Vorstellung einer raumartigen Signatur (– + + +) vermittelt hat, was bedeutet, dass vielleicht niemand danach besorgt war, dass das Quadrat der Einheitslänge ihr Vorzeichen wechselt. Aber es ist falsch zu sagen, dass dies nur eine Frage der „Konvention“ sei.
Allerdings hatte Schwarzschild (und Einstein) eine zeitartige Signatur (+ – – –) gewählt, wie man in Schwarzschilds Artikel erkennen kann:
Umgekehrt fixiert Hilbert durch die Festlegung des Vorzeichens der Winkelbezugsterme implizit die Signatur auf (– + + +):
Physiker, Studenten und Ingenieure, die diese Themen erforschen möchten, können unten die englischen Übersetzungen der verschiedenen in dieser Seite zitierten Artikel herunterladen, einschließlich der historischen Arbeiten, die ursprünglich vor tausend Jahren auf Deutsch veröffentlicht wurden. Sie sind wahrscheinlich nie von unseren modernen Schwarzen-Loch-Forschern gelesen worden, die den Kontakt zur Realität verloren haben und eine Astrophysik ohne Beobachtung aufbauen, die aus Mathematik ohne Rigorismus resultiert.
• Historische Arbeiten:
Schwarzschild, K. (13. Januar 1916).
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
übersetzt ins Englische als:
Antoci, S.; Loinger, A. (12. Mai 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9905030
.
Schwarzschild, K. (24. Februar 1916).
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
übersetzt ins Englische als:
Antoci, S. (12. Mai 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9912033
.
Frank, Ph. (1916) in
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
.
46
: 1296.
übersetzt ins Englische als:
Antoci, S. (2003). "Appendix A: Frank’s review of Schwarzschild's 'Massenpunkt' paper" in "David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution".
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics
. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
arXiv:physics/0310104
.
Droste, J. (1917).
"The field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation, and the motion of a particle in that field"
.
Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen, Series A
.
19
(I): 197–215. (Mitgeteilt von Prof. H. A. Lorentz auf der KNAW-Sitzung am 27. Mai 1916).
Nachgedruckt (2002) in
General Relativity and Gravitation
.
34
(9): 1545–1563. doi:10.1023/A:102074732.
Weyl, H. (1917).
"Zur Gravitationstheorie"
.
Annalen der Physik
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54
(18): 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804.
übersetzt ins Englische als:
Neugebauer, G.; Petroff, D. (März 2012).
"On the theory of gravitation"
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General Relativity and Gravitation
.
44
(3): 779–810. doi:10.1007/s10714-011-1310-7.
Hilbert, D. (23. Dezember 1916).
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"
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Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
übersetzt ins Englische als:
Renn, J. (2007).
"The Foundations of Physics (Second Communication)"
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics
. Springer. 1017–1038.
• Weiterführend:
Abrams, L. S. (November 1979). "Alternative Space-Time for the Point Mass".
Physical Review D
.
20
(10): 2474–2479. doi:10.1103/PhysRevD.20.2474.
- Korrektur:
Abrams, L. S. (April 1980). "Erratum: Alternative space-time for the point mass".
Physical Review D
.
21
(8): 2438. doi:10.1103/PhysRevD.21.2438.
arXiv:gr-qc/0201044
.
Abrams, L. S. (2001). "Black Holes: The Legacy of Hilbert's Error".
Canadian Journal of Physics 67
(9): 919–926. doi:10.1139/p89-158.
arXiv:gr-qc/0102055
.
Antoci, S.; Liebscher, D.-E. (2001). "Reconsidering Schwarzschild’s original solution".
Astronomische Nachrichten
.
322
(2): 137–142.
arXiv:gr-qc/0102084
.
Antoci, S. (2003). "David Hilbert and the origin of the Schwarzschild solution".
Meteorological and Geophysical Fluid Dynamics
. Bremen: Wilfried Schröder, Science Edition.
arXiv:physics/0310104
.
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21. März 2015).
"Cancellation of the central singularity of the Schwarzschild solution with natural mass inversion process"
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
Petit, J.-P. (2017).
"
The Janus Cosmological Model
"
(Youtube-Playlist, Untertitel auf Englisch).
Siehe auch diese
PDF-Datei mit der Liste des Videoinhalts
.
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