Isometrische Fläche und Geodäten

Wir haben diese Figur hier „gereinigt“, um sie etwas lesbarer zu machen. Eine Fläche ist ein 2-dimensionales Objekt, hier „eingetaucht“ in einen sonst euklidischen 3-dimensionalen Raum R³. Wir können sie von oben „sehen“. Es stellt sich heraus, dass diese Fläche in den Raum R³ „isometrisch eingetaucht“ werden kann. Mit anderen Worten, wenn wir ein Klebeband darauf kleben, wird es sich tatsächlich auf einer Geodäte befinden, die zwei Punkte A und B der Fläche verbindet. Die Länge, die entlang der Geodäten gemessen wird, ist ebenfalls korrekt. Sie ist isometrisch, etymologisch „derselbe Abstand“. Unten gibt es eine 2-dimensionale Darstellung, die nicht isometrisch ist… die Länge des Bogens A'B' ist nicht gleich der Länge des Bogens AB. Bauen Sie das folgende Objekt mit einem Blatt Papier, einem Stift und Scheren:

Diese Zeichnung ist nicht isometrisch. Zunächst ist die dargestellte Kurve keine Geodäte der Ebene. Zweitens ist die Breite des Bogens AB nicht die „echte Länge“, die man auf der „echten Fläche“, die „kein Loch hat“, messen könnte. Das Papier mit einem Loch ist nur eine nützliche Darstellung, nichts weiter. Das Gleiche gilt für die Technik, auf einer Seite des Blattes zu zeichnen und dann auf der anderen Seite, wobei die gesamte Kurve nur in Durchsicht erscheint.

In der folgenden Figur haben wir die Geodäten der Fläche gezeigt, die mit dem Computer berechnet wurden (was im Artikel vorkommt).

Die gestrichelten Linien der Kurven entsprechen den Zweigen auf „der anderen Seite“ (als ob wir die Fläche „von oben“ betrachten würden).

Nun eine Frage: Können wir eine ebene und isometrische Darstellung dieser Geodäten konstruieren? Die Antwort lautet ja. Wir haben gesehen, dass wir die Variable r in die Variable r verändern können. Somit können die Geodäten in einer Ebene mit „polaren Koordinaten“ (r, j) dargestellt werden. Die Geodäten (hier eine nicht radiale Geodäte) sehen dann wie folgt aus:

Es handelt sich um eine isometrische Darstellung. Drei Punkte A, B und C gehören der Fläche an und liegen auf derselben Geodäten. A', B' und C' sind die entsprechenden Punkte in dieser Darstellung [r, j]. Die Punkte A und B liegen auf demselben Halbkugel und der Geodätenbogen, der sie verbindet, durchquert nicht den Halskreis. Gemessen in dieser Ebene entlang des Bildes der Geodäten (was offensichtlich keine Geodäte dieser Ebene ist), ist die Länge des Bogens A'B' gleich der Länge des Bogens AB, die auf der Fläche gemessen wird.

Der Bogen BC durchquert die Halskugel. Gleiches gilt.

Aber diese Isometrie gilt nicht für alle Geodäten der Fläche. Eine gibt es, einzigartig in ihrer Art: der Halskreis, der hier zu einem Punkt reduziert ist. Es ist die einzige Fläche, die sich selbst schließt.

Geodäten sind die einzigen Dinge, die wir haben, um eine Fläche oder, allgemeiner, einen nicht-euklidischen, nicht-ebenen Raum zu verstehen. Sie sind nützliche Referenzpunkte (selbst wenn wir in unseren 2-dimensionalen und 3-dimensionalen Darstellungssystemen (in Perspektive) eine verzerrte Sicht haben). Wir wissen, dass diese Geodäten existieren und dass sie intrinsisch sind. Die Geodäten einer Kugel sind beispielsweise Großkreise. Im Fall der Raumzeit sind sie mit einer unendlichen Anzahl von raumzeitlichen Geodäten gefüllt. Die Geodäten existieren intrinsisch und um sie zu verstehen (etymologisch: halten, in die Arme nehmen), versuchen wir, sie wie Blinde „zu fühlen“. Allerdings haben die Raumzeit-Koordinatenlinien keine intrinsische Realität, noch sind die beiden Mengen von Längen- und Breitenkreisen ein integraler Bestandteil einer Kugel. Sie sind nicht „innerhalb“ vorgegeben. Die Schwarzschild-Geometrie, eine Lösung der Einstein’schen Feldgleichung, ist eine 4-dimensionale Hyperfläche. Theoretiker haben ganze Familien von Kurven darauf geklebt, „konstant t“, „konstant r“ usw.

Vergessen Sie niemals, dass diese Handlungen völlig willkürlich sind, obwohl sogar Theoretiker der Kosmologie oft den Punkt verlieren und von Geometriemathematikern gelegentlich daran erinnert werden müssen. Es war also völlig legitim, die Raumzeit-Koordinaten zu verändern.

In diesem Moment werden Sie sagen: Also, was sagt uns, dass eine Wahl der Koordinaten besser ist als eine andere? Was ist vernünftig oder unvernünftig? Das ist eine Frage des Geschmacks. Die Wahl von Raumzeit-Koordinaten bedeutet, eine physische Sichtweise auf ein mathematisches Objekt zu legen. Im Fall der Erde haben wir ihr Pole gegeben, als sie sich drehte. Der Nordpol ist einfach die Normale der „Erde“-Oberfläche, die auf den Polarstern zeigt, einen Stern, der im Himmel feststeht.

In Bezug auf Isometrie und Nicht-Isometrie illustriert die Kartografie die Schwierigkeiten, eine Kugel auf einer Ebene darzustellen. Die Mercator-Projektion (Projektion der Erdkugel auf einen Zylinder, der am Äquator tangential liegt) ist für diejenigen sehr angenehm, die nahe am Äquator leben. Allerdings wird jemand, der an einem der Pole lebt, mit einer bösen Überraschung konfrontiert: sein punktuelles Gebiet verwandelt sich in eine gerade Linie...

Es gibt Hunderte von Möglichkeiten, eine Kugel auf eine Ebene zu projizieren. Stellen Sie sich das vor:

Stellen Sie sich vor, wir erstellen Karten aus diesem Modell und verkaufen sie. Ein sofortiger Erfolg bei denen, die an den beiden Polen leben: die Projektionen sind in diesen Regionen fast isometrisch. Nützlich, um sich eine Vorstellung von den Entfernungen in diesen Gebieten zu machen. Wenn die Erde an den Polen bewohnbar und ansonsten relativ unzugänglich gewesen wäre, wären die Karten wahrscheinlich so gemacht worden. Allerdings würden wir sehen, dass der Begrenzungskreis der Projektion auf einer Ebene nicht mehr dem Äquator entspricht, sondern einem Breitenkreis (hier im nördlichen Halbkugel). In der Nähe dieser Region wäre die Karte weit von der Isometrie entfernt. Außerdem würde auf dieser seltsamen Karte ein Teil der Erdmasse durch eine normale, vollständige Linie und ein anderer Teil durch eine gestrichelte Linie dargestellt, da er sich jenseits des Breitenkreises befindet, wo das Objekt seltsamerweise „sich selbst zurückfaltet“. Vielleicht könnten wir Karten auf einem Papierkreis liefern, wobei der Rest der Erdmasse auf der anderen Seite des Blattes erscheint.

Versuchen wir nun, „das alles in 3D zu veranschaulichen“. Wir haben Lanturlu gezeigt, wie er seinen linken Arm in die Halskugel durch zwei getrennte Zeichnungen taucht, was den Eindruck erwecken könnte, dass der zweite 3D-Raum „anderswo“ ist. Um korrekt zu sein, sollten die beiden perspektivischen Zeichnungen übereinandergelegt werden, wobei die herausragende (rechte) Hand durch eine gestrichelte Linie dargestellt wird.

Ich habe es versucht, obwohl es nicht einfach war. Ich hätte zwei verschiedene Farben verwenden können, rot für die Teile des ersten 3D-Raums unseres nicht einfach zusammenhängenden 3D-Raums und grün für den anderen. Ein roter Lanturlu würde dann seine linke Hand, die er in die Kugel gesteckt hatte, als grüße rechte Hand sehen.

Offensichtlich gibt es „innen“ der Halskugel nichts. Die Erscheinung eines Innenraums, eines volumetrischen Inhalts, ist einfach auf unsere Wahl dieses 3D-Darstellungsraums zurückzuführen. Genauso wie im Loch, das in das Papier geschnitten wurde, gibt es auch dort kein Papier. Es war einfach ein Zufall, der mit der Wahl dieses planaren Darstellungsraums zusammenhing. Wenn jemand bestand, eine planare Darstellung zu verwenden, ohne den ausgeschnittenen Kreis aus dem Papier zu entfernen, und immer wieder die Frage „Was ist drinnen?“ stellte, wäre er vollständig „außerhalb des Feldes“ (oder vielmehr… drin). Das Feld existiert nicht.

Zurück zur 3D. Wenn Lanturlu seinen Arm in die Halskugel taucht, hat diese auch kein Inneres. Die Erscheinung eines Innenraums ist einfach auf unsere Wahl des Darstellungsraums zurückzuführen. Wir könnten uns vorstellen, dass Lanturlu und seine herausragende Hand auf einem dreidimensionalen Papierblatt gezeichnet wurden, von dem wir … eine Kugel entfernt haben (das dreidimensionale Äquivalent des Kreises des Papierblattes). Mathematisch ist ein Kreis eine „b²-Kugel“ und ein „volumetrischer Kugelraum“ ist eine „b³-Kugel“. Mit „Kugel“ meinen wir eine zusammenziehbare Zelle (siehe Topologicon auf dem „CD-Lanturlu“), also ein Objekt, das sich in Bezug auf einen Punkt durch sich selbst zusammenziehen kann. Die zweidimensionalen und dreidimensionalen Beispiele dienen dazu, den Kampfplan des Artikels zu illustrieren: die Schwarzschild-Kugel hat kein „Innen“ und kein „Zentrum“. Wenn man sie durchquert (hypertorische Passage), befindet man sich auf der „anderen Seite der Raumzeit“.

Was ist die Begründung für diese neue Interpretation der „Schwarzschild-Geometrie“?

Antwort: die Eliminierung der Singularitäten. Kruskal hat mit seinem „analytischen Fortsetzung“ alles getan, um diese „verfluchte Kugel“ zu durchdringen. Er hat es nur geschafft, die Singularität (ursprünglich von der Schwarzschild-Kugel übernommen) in einen Punkt zu verlagern, der „im Zentrum dieses Objekts“ liegt. Die Leute waren mit diesem Zaubertrick zufrieden. Allerdings denken wir, dass es besser ist, ohne Singularität zu sein.

Die Natur protestiert, wenn man sie von der falschen Seite anschaut, indem sie Singularitäten produziert. So sehen wir die Dinge. Es ist eine vorgefasste Vorstellung davon, was „real“ ist. Wir glauben, dass diese Singularitäten in der Natur nicht existieren. Wir denken auch, dass das Unendliche nicht existiert. Aber wie Kipling sagte, das ist eine andere Geschichte. Ich hatte letztes Jahr lebhafte Diskussionen mit Souriau zu dieser Frage.

• Was beweist, dass das Unendliche existiert?

• Aber ohne das Unendliche gibt es kein Mathematik!

• Haben Sie das Unendliche jemals getroffen? Haben Sie es gesehen, es in Ihrer Hand gehalten?

• Es ist eine ... Bequemlichkeit.

• Wir generieren unendlich große Zahlen, indem wir annehmen, dass wir eine Zahl unendlich oft um 1 erhöhen können. Wir verwenden eine sequenzielle Unendlichkeit, um eine numerische Unendlichkeit zu erzeugen. Sie beißt sich selbst, Ihr Ding.

• Okay, sagen wir, es ist eine Bequemlichkeit. Der Mensch hat in seiner Geschichte zwei wichtige Dinge erfunden: das Unendliche und die Toilette …

Ich glaube auch nicht, dass das Unendlich Kleine physikalisch oder mathematisch existiert. Aber das wird Gegenstand anderer Artikel sein. Lassen Sie uns diese Fragen vorerst beiseite. Eine einfache Anekdote.

auf der Seite](/fr/article/f300-f301html)).

Wie Archimedes sagte, glaube ich, an der Eingangstür eines Wissenschafts-Sanctums: „Niemand betritt hier, der kein Geometer ist.“ Diese Tensoren und andere Dinge, ein Bereich, den Midy liebt, sind genauso unverdaulich wie englische Kuchen.

Man sieht also, durch diese Diskussion, dass unsere physische Vorstellung dieser Phänomene von der Art und Weise abhängt, wie wir sie darstellen. Durch die Änderung der räumlichen Koordinaten haben wir die „lokale Topologie“ verändert, ein Begriff, der nach Souriau eine mathematische Klärung erfordert. Tatsächlich ist der Ausdruck ein sanfter Euphemismus: er begann einfach zu toben, als ich ihn aussprach, und mein Kater Pioum und ich hatten große Schwierigkeiten, ihn zu beruhigen. Souriau ist der Professor Tournesol der Mathematik. Er ist ein freiwilliger Praktizierer der hohen mathematischen Empörung. Allerdings sollte diese Empörung nicht mit Wut im trivialen Sinne des Wortes verwechselt werden. Vielmehr spiele ich hier die Rolle von Molières „Monsieur Jourdain“. Physiker verwenden oft Mathematik, ohne es zu wissen (und umgekehrt, in der Tat).

Wenn wir vorerst die Verwendung von „nicht spezifizierten“ Wörtern akzeptieren, scheint es, als hätten wir nur die „lokale Topologie“ der Schwarzschild-Geometrie als „hypersphärisch“ betrachtet (dass die Schwarzschild-Kugel eine „b³-Kugel“ enthält). Wir haben sie „hypertorisch“ gemacht. Deshalb habe ich den Begriff „hypertorische Geometrien“ vorgeschlagen.

Wir haben oben die Umkehrung des Raums erwähnt. Sie wird mit Gruppen verhandelt. Kann man das anders verstehen? Wir haben gesehen, dass Lanturlu seine linke Hand in die Halskugel taucht und eine rechte Hand herauskommt. Tatsächlich hat jedes Atom seiner Hand eine „radiale“ Geodäte verfolgt, die senkrecht zur Oberfläche verlief.

Vergessen wir nicht nebenbei, dass dieses Darstellungssystem nicht isometrisch ist. Wie bei dem Papier mit einem Loch. Wenn wir die Strecke messen, die ein Testatom aus Lanturlus Hand (Archibald Higgin in englischen Ausgaben) in den beiden Halbräumen zurücklegt, würde sie nicht mit der tatsächlichen Strecke übereinstimmen, die mit einem Stück Schnur gemessen wird.

Zurück zur vorher gezeigten Figur.

Hier haben wir einen Geodätenbogen AB gezeigt, der den Halskreis durchquert und sein Bild im planaren Darstellungsraum darunter. Die nicht-isometrische Natur der Darstellung wird noch offensichtlicher. Die Längen der Bögen AB und A'B' sind sehr unterschiedlich.

Offensichtlich ist es ziemlich schwierig, sich vorzustellen, dass man eine Schnur durch die Halskugel eines hypertorischen Durchgangs führen kann. Wenn man die Schnur anzieht, erhält man eine Geodäte (Linie des kürzesten Weges). Schließlich, wenn wir die Länge der Schnur im 3D-Darstellungsraum (Lanturlu, der seinen Arm hineinsteckt) messen und entscheiden, die Länge der Schnur in diesem Raum zu messen, würden wir eine kürzere Länge A'B' finden. Die tatsächliche Länge, gemessen in der 3D-Hyperschicht, wäre länger, wie die 2D-Zeichnung zeigt. Die 3D-Darstellung mit Lanturlu ist also nicht isometrisch, genauso wie die planare Darstellung oben.

Mit Hilfe einiger Zeichnungen werden diese feinen Konzepte, die aus der Gruppentheorie stammen, weniger unklar, vorausgesetzt, man „sieht in den Raum“. Das versuche ich Ihnen beizubringen, in einem gekrümmten dreidimensionalen Raum zu sehen.

Zurück zur Frage der Enantiomorphie, der Umkehrung von Objekten, wenn sie die 2D- oder 3D-Halsstruktur durchqueren. Stellen Sie sich radiale Geodäten in 2D vor. Das Wort ist falsch geworden, denn eigentlich ist ein Radius eine gerade Linie, die von einem Punkt ausgeht. Tatsächlich handelt es sich um Geodäten mit konstantem j. Siehe die vorherige Zeichnung, die diese Azimutalkoordinate zeigte. Allerdings werden wir weiterhin das Wort „radial“ verwenden, in Anführungszeichen. Beachten Sie, dass das Wort „radial“ bereits das Ergebnis der Wahl des Darstellungsraums ist. Stellen Sie sich vor, dass ein Buchstabe R (der nicht identisch mit seinem Spiegelbild, seinem enantiomorphen Bild ist) wie ein schlecht befestigter Transfer entlang unseres torischen Durchgangs gleitet, wobei jeder Punkt sich entlang einer Geodäten bewegt. Der Buchstabe wird „auf der anderen Seite“ sein. Es ist interessant, das Ergebnis der Operation auf einer planaren Projektion im Darstellungsraum zu beobachten.

Wir haben eine Art Band gezeigt, dessen Kanten aus zwei Geodäten bestehen. Was bemerken wir? In der Darstellungsfläche wird der Buchstabe R in ein russisches „ia“ umgedreht, ein umgedrehter R, enantiomorph. Wir beginnen zu verstehen, warum Lanturlus Hand, wenn sie in den „3D-Darstellungsraum“ herauskommt, umgedreht erscheint, sie wird enantiomorph.