Wir haben die Abbildung hier bereinigt, um sie etwas lesbarer zu machen. Eine Brandung

Wir haben die Figur hier „aufgeräumt“, um sie etwas lesbarer zu machen. Eine Fläche ist ein zweidimensionales Objekt, hier „eingetaucht“ in einen ansonsten euklidischen dreidimensionalen Raum in R3. Wir können sie von oben „sehen“. Es trifft sich, dass diese Fläche „in isometrischer Weise“ in den Raum R3 eintauchbar ist. Das heißt, wenn wir etwas Klebeband darauf anbringen, wird sich dieses tatsächlich auf einer Geodäte einschreiben, die zwei Punkte A und B der Fläche verbindet. Die entlang des Geodätenbogens gemessene Länge stimmt ebenfalls. Es ist iso-metrisch, etymologisch „die gleiche Länge“. Unten gibt es eine zweidimensionale Darstellung, die nicht isometrisch ist … die Länge des Bogens A'B' ist nicht gleich der des Bogens AB. Konstruieren Sie das folgende Objekt mit Hilfe eines Blattes Papier, eines Bleistifts und einer Schere:

Diese Zeichnung ist nicht isometrisch. Zunächst einmal ist die gezeigte Kurve keine Geodäte der Ebene. Zweitens ist die Breite des Bogens AB nicht die „reale Länge“, die auf der „realen Fläche“ gemessen werden könnte, die „kein Loch hat“. Das Blatt Papier mit einem Loch ist nur eine nützliche Darstellung, nichts weiter. Dasselbe gilt für die Technik, auf die eine Seite des Blattes und dann auf die andere zu zeichnen, wobei die ganze Kurve nur in der Transparenz erscheint.

In der folgenden Abbildung haben wir die Geodäten der Fläche gezeigt, vom Computer berechnet (was im Artikel vorkommt).

Die gestrichelten Linien der Kurven entsprechen den Zweigen auf „der anderen Seite“ (als ob wir die Fläche „von oben“ betrachten würden).

Nun eine Frage: können wir eine flache und isometrische Darstellung dieser Geodäten bauen? Die Antwort ist ja. Wir haben gesehen, dass wir die Variable r in die Variable r ändern können. Also können die Geodäten in einer Ebene von „Polarkoordinaten“ ( r , j ) abgebildet werden. Die Geodäten (hier eine nicht-radiale Geodäte) sehen wie folgt aus:

Dies ist eine isometrische Darstellung. Das heißt, drei Punkte A, B und C, die zur Fläche gehören und auf derselben Geodäte liegen. A', B' und C' sind homologe Punkte in dieser Darstellung [ r , j ]. Die Punkte A und B liegen auf derselben Hemischicht, und der Geodätenbogen, der sie verbindet, kreuzt den Schluchtkreis nicht. In dieser Ebene gemessen, entlang des Bildes der Geodäte (die offensichtlich keine Geodäte dieser Ebene ist), ist die Länge des Bogens A'B' gleich der des Bogens AB, gemessen in der Fläche.

Der Bogen BC kreuzt die Kugel der Schlucht. Dasselbe.

Aber diese Isometrie gilt nicht für alle Geodäten der Fläche. Eine existiert, einzigartig in ihrer Art: der Schluchtkreis, hier auf einen Punkt reduziert. Es ist die einzige Fläche, die sich auf sich selbst schließt.

Geodäten sind das Einzige, was wir haben, um eine Fläche oder, allgemeiner, einen nicht-planaren, nicht-euklidischen Raum zu verstehen. Sie sind nützliche Markierungen (auch wenn wir in unseren 2D- und 3D-Darstellungssystemen (in Perspektive) eine verzerrte Sicht haben). Wir wissen, dass diese Geodäten existieren, dass sie intrinsisch sind. Die einer Kugel zum Beispiel sind Großkreise. Im Fall der Raumzeit sind sie mit einer Unendlichkeit von raumzeitlichen Geodäten gefüllt. Die Geodäten existieren intrinsisch, und um sie zu verstehen (etymologisch: halten, in die Arme nehmen), versuchen wir, sie wie Blinde zu „fühlen“. Jedoch haben Raum- und Zeitkoordinatenlinien keine intrinsische Realität, noch sind die beiden Mengen von Meridianen und Parallelen integraler Bestandteil einer Kugel. Sie sind nicht „mitgeliefert“. Schwarzschilds Geometrie, eine Lösung von Einsteins Feldgleichung, ist eine 4D-Hyperfläche. Theoretiker haben ganze Kurvenfamilien darauf geklebt, „konstantes t“, „konstantes r“ usw.

Vergessen Sie nie, dass diese Gesten völlig willkürlich sind, obwohl selbst Spezialisten der theoretischen Kosmologie diesen Punkt oft aus den Augen verlieren und von Zeit zu Zeit von Geometrie-Mathematikern zur Ordnung gerufen werden müssen. Es war daher vollkommen legitim, Raumzeitkoordinaten zu ändern.

An diesem Punkt werden Sie sagen: Was sagt uns also, dass eine Wahl von Koordinaten besser ist als eine andere? Was ist vernünftig und unvernünftig? Es ist eine Frage des Geschmacks. Raumzeitkoordinaten zu wählen bedeutet, einem mathematischen Objekt eine physikalische Vision aufzusetzen. Im Fall der Erde haben wir ihr Pole gegeben, wenn sie rotiert. Der Nordpol ist einfach die Normale der Fläche „Erde“, die zum Polarstern zeigt, einem Stern, der am Himmel fixiert bleibt.

In der Frage von Isometrie und Nicht-Isometrie illustriert die Kartographie die Schwierigkeiten beim Versuch, eine Kugel auf einer Ebene darzustellen. Mercators Projektion (Projektion der Erdkugel auf einen zum Äquator tangentialen Zylinder) ist sehr schön für diejenigen, die nahe dem Äquator leben. Jemand, der an einem der Pole lebt, erlebt jedoch eine böse Überraschung: sein punktueller Bereich verwandelt sich in eine gerade Linie …

Es gibt Hunderte von Arten, eine Kugel auf eine Ebene zu projizieren. Stellen wir uns das vor:

Stellen Sie sich vor, wir machen Karten nach diesem Modell und verkaufen sie. Ein sofortiger Erfolg bei denen, die an den beiden Polen leben: die Projektionen sind in diesen Regionen quasi-isometrisch. Nützlich, um eine Vorstellung von Entfernungen in diesen Gebieten zu bekommen. Wenn die Erde an den Polen bewohnbar und anderswo relativ unwirtlich gewesen wäre, wären Karten zweifellos so gemacht worden. Wir würden jedoch sehen, dass der Randkreis der Projektion auf eine Ebene nicht mehr dem Äquator entspricht, sondern einem Breitenkreis (hier in der nördlichen Hemisphäre). Nahe dieser Region wird die Karte weit von der Isometrie entfernt sein. Außerdem müsste auf dieser seltsamen Karte ein Teil der Landmasse mit einer normalen, vollen Linie und ein Teil mit einer gebrochenen, gepunkteten Linie gezeigt werden, weil er jenseits des Breitenkreises liegt, wo das Objekt sich seltsamerweise „auf sich selbst zurückzufalten“ scheint. Vielleicht könnten wir Karten auf einer Papierscheibe liefern, wobei der Rest der Landmasse auf der anderen Seite des Blattes erscheint.

Versuchen wir, „uns das alles in 3D vorzustellen“. Wir haben Lanturlu gezeigt, wie er seinen linken Arm durch zwei getrennte Zeichnungen in die Schluchtkugel eintaucht, was implizieren könnte, dass der zweite 3D-Raum „anderswo“ ist. Um korrekt zu sein, sollten die beiden perspektivischen Zeichnungen überlagert werden, wobei die austretende (rechte) Hand durch eine gepunktete Linie dargestellt wird.

Ich habe versucht, es zu tun, obwohl es nicht einfach war. Ich hätte zwei verschiedene Farben verwenden können, Rot für die Teile in der ersten 3D-Seite unseres nicht-einfach zusammenhängenden 3D-Raums und Grün für die andere. Ein roter Lanturlu würde dann sehen, wie eine rote „linke“ Hand, die er in die Kugel gestoßen hatte, als grüne „rechte“ Hand herauskommt.

Offensichtlich gibt es „innerhalb“ der Schluchtkugel nichts. Das Erscheinungsbild eines Inneren, eines volumetrischen Inhalts, ist nur unserem Wahl dieses 3D-Darstellungsraums geschuldet. So wie es in dem in das Blatt Papier geschnittenen Loch auch kein Papier gibt. Es war nur ein Unfall, der mit der Wahl dieses planaren Darstellungsraums zusammenhängt. Wenn jemand darauf bestehen würde, eine planare Darstellung zu verwenden, ohne die in das Papier geschnittene Scheibe zu entfernen, und wiederholt fragen würde „was ist drin“, wäre er völlig „außerhalb des Feldes“ (oder eher … darin). Das Feld existiert nicht.

Kehren wir zu 3D zurück. Wenn Lanturlu seinen Arm in die Schluchtkugel eintaucht, hat auch diese kein Inneres. Das Erscheinungsbild eines Inneren ist einfach unserem Wahl des Darstellungsraums geschuldet. Wir könnten annehmen, dass Lanturlu und seine austretende Hand auf ein Blatt Papier gezeichnet wurden, das drei Dimensionen hat und aus dem wir … eine Kugel entfernt hatten (das 3D-Äquivalent der Scheibe des Blattes Papier). Mathematisch ist eine Scheibe eine „b2-Kugel“, und ein „Kugelvolumen“ ist eine „b3-Kugel“. Mit „Kugel“ meinen wir eine kontraktile Zelle (siehe das Topologicon auf der „CD-Lanturlu“), das heißt ein Objekt, das sich in Bezug auf einen Punkt zusammenziehen kann, indem es über sich selbst geht. Die 2D- und 3D-Beispiele sind dazu da, den Schlachtplan des Artikels zu illustrieren: die Schwarzschild-Kugel hat kein „Inneres“, kein „Zentrum“. Wenn wir sie kreuzen (hypertorischer Durchgang), befinden wir uns auf der „anderen Seite der Raumzeit“.

Was ist die Rechtfertigung für diese neue Interpretation der „Schwarzschild-Geometrie“?

Antwort: die Eliminierung von Singularitäten. Kruskal hat mit seiner „analytischen Fortsetzung“ alles Mögliche getan, um in diese „verdammte Kugel“ einzudringen. Er schaffte es nur, die Singularität (eine Rolle, die ursprünglich die Schwarzschild-Kugel innehatte) in einen Punkt zu packen, der „im Zentrum dieses Objekts“ liegt. Die Leute gaben sich mit diesem Zaubertrick zufrieden. Wir denken jedoch, dass es ohne Singularität besser ist.

Die Natur protestiert, wenn wir sie von der falschen Seite betrachten, indem sie Singularitäten absondert. So sehen wir die Dinge. Es ist eine vorgefasste Sicht dessen, was „real“ ist. Wir glauben, dass diese Singularitäten in der Natur nicht existieren. Wir denken auch, dass die Unendlichkeit auch nicht existiert. Aber wie Kipling sagte, das ist eine andere Geschichte. Ich hatte vor einem Jahr heftige Diskussionen mit Souriau über die Frage.

- Was beweist, dass die Unendlichkeit existiert? ….

- Aber ohne Unendlichkeit gibt es keine Mathematik! ….

- Haben Sie jemals die Unendlichkeit getroffen? Sie gesehen, sie in der Hand gehalten?

- Es ist eine …. Bequemlichkeit.

- Wir erzeugen unendlich große Zahlen, indem wir annehmen, dass wir *unbegrenzt* 1 zu einer Zahl addieren können. Wir verwenden eine sequentielle Unendlichkeit, um eine numerische Unendlichkeit zu erzeugen. Sie frisst ihren eigenen Schwanz, Ihr Ding.

- OK, sagen wir, es ist eine Bequemlichkeit. Der Mensch hat zwei wichtige Dinge in seiner Geschichte erfunden: die Unendlichkeit und die Toiletten …

Ich glaube auch nicht, dass das unendlich Kleine existiert, weder physisch noch mathematisch. Aber das wird Gegenstand anderer Arbeiten sein. Lassen wir diese Fragen für den Moment beiseite. Eine einfache Abschweifung.

Nebenbei siehe „Scale Invariant Cosmology“ von P. Midy und J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, Juni 1999, Seiten 271-280, wo wir „die Anfangssingularität des Universums“ verschwinden ließen. Es ist eine mathematisch konstruiertere Neuformulierung einer Idee, die ich 88-89 in Modern Physics Letters A veröffentlichte (Arbeiten auf der Website).

Wie Archimedes, glaube ich, am Eingang zu einem Heiligtum der Wissenschaft sagte: „Keiner betritt hier, der nicht Geometer ist“. Diese Tensoren und so, ein Feld, das Midy liebt, sind so unverdaulich wie englischer Pudding.

Wir können also durch diese Diskussion sehen, dass unsere physikalische Vision dieser Phänomene aus der Art und Weise kommt, wie wir uns entscheiden, sie darzustellen. Indem wir räumliche Koordinaten änderten, haben wir die „lokale Topologie“ geändert, ein Begriff, der laut Souriau einer mathematischen Klärung bedarf. Tatsächlich ist der Ausdruck ein sanfter Euphemismus: er begann einfach zu schwärmen, als ich es sagte, und seine Katze Pioum und ich hatten die größte Mühe, ihn zu beruhigen. Souriau ist der Professor Tournesol der Mathematik. Er ist ein bereitwilliger Praktiker hoher mathematischer Empörung. Diese Empörung sollte jedoch nicht mit Wut im trivialen Sinne des Wortes verwechselt werden. Eher, dass ich in diesem Bereich Molières „Monsieur Jourdain“ spiele. Physiker verwenden oft Mathematik, ohne es zu wissen (und umgekehrt tatsächlich).

Indem wir vorläufig die Verwendung „nicht spezifizierter“ Wörter zugeben, geschieht alles so, als hätten wir nur angenommen, dass die „lokale Topologie“ der Schwarzschild-Geometrie „hypersphärisch“ sei (dass die Schwarzschild-Kugel eine „B3-Kugel“ „enthält“). Wir haben sie „hypertorisch“ gemacht. Deshalb schlug ich den Begriff „hypertorische Geometrien“ vor.

Wir erwähnten früher die Inversion des Raums. Sie wird mit den Gruppen ausgehandelt. Können wir das anders verstehen? Wir sahen, dass Lanturlu seine linke Hand in die Schluchtkugel eintauchte und eine rechte Hand herauskommen sah. Tatsächlich folgte jedes Atom seiner Hand einer „radialen“ Geodäte, senkrecht zur Fläche.

Vergessen wir nicht, nebenbei zu erwähnen, dass dieses Darstellungssystem nicht isometrisch ist. Wie bei dem Papier mit einem Loch. Wenn wir die in den beiden Halbräumen von einem Testatom aus Lanturlus Hand (Archibald Higgin in englischen Ausgaben) zurückgelegte Strecke messen würden, würde sie nicht mit der realen, mit einem Stück Schnur gemessenen Entfernung übereinstimmen.

Kehren wir zu der zuvor gezeigten Figur zurück.

Hier haben wir einen Geodätenbogen AB gezeigt, der den Schluchtkreis kreuzt, und sein Bild im planaren Darstellungsraum darunter. Der nicht-isometrische Charakter der Darstellung wird noch offensichtlicher. Die Längen der Bögen AB und A'B' sind sehr unterschiedlich.

Offensichtlich ist es ziemlich schwierig, sich vorzustellen, dass wir einen Faden in die Schluchtkugel eines hypertorischen Durchgangs einfädeln können. Beim Anziehen des Fadens würden wir eine Geodäte erhalten (Linie des kürzesten Weges). Wenn wir schließlich die Länge des Fadens im 3D-Darstellungsraum messen würden (Lanturlu, der seinen Arm hineinschiebt) und uns entschieden, die Länge des Fadens in diesem Raum zu messen, würden wir eine kürzere Länge A'B' finden. Die reale Länge, gemessen in der 3D-Hyperfläche, wäre länger, wie in der 2D-Zeichnung gezeigt. Die 3D-Darstellung mit Lanturlu ist daher nicht-isometrisch, wie die planare Darstellung oben.

Mit Hilfe einiger Zeichnungen werden diese subtilen Konzepte, entwickelt aus der Gruppentheorie, weniger hermetisch, vorausgesetzt man „sieht in den Raum“. Das ist es, was ich Ihnen beizubringen versuche, in einen gekrümmten 3D-Raum zu sehen.

Kehren wir zur Frage der Enantiomorphie zurück, der Inversion von Objekten, wenn sie die 2D- oder 3D-Schluchtstruktur kreuzen. Stellen wir uns radiale Geodäten in 2D vor. Das Wort ist ungenau geworden, weil ein Radius im Prinzip eine gerade Linie ist, die von einem Punkt ausgeht. Tatsächlich handelt es sich um Geodäten mit konstantem j. Siehe die frühere Zeichnung, die diese azimutale Koordinate zeigte. Der Kürze halber werden wir jedoch das Wort „radial“ in Anführungszeichen weiter verwenden. Beachten Sie, das Wort „radial“ ist bereits ein Ergebnis der Wahl des Darstellungsraums. Stellen Sie sich vor, ein Buchstabe R (der nicht mit seinem Spiegelbild, seinem enantiomorphen Bild, identisch ist) gleitet wie ein schlecht befestigtes Abziehbild entlang unseres torischen Durchgangs, wobei sich jeder seiner Punkte gemäß einer Geodäte bewegt. Der Buchstabe wird sich „auf der anderen Seite“ wiederfinden. Es ist interessant, das Ergebnis der Operation auf einer planaren Projektion im Darstellungsraum zu betrachten.

Wir haben eine Art Band gezeigt, dessen Ränder aus zwei Geodäten bestehen. Was bemerken wir? Im Darstellungsraum wird der Buchstabe R invertiert und wird zu einem russischen „ia“, einem umgekehrten R, enantiomorph. Wir beginnen zu verstehen, warum Lanturlus Hand invertiert zu sein scheint, wenn sie im „3D-Darstellungsraum“ auftaucht, sie wird enantiomorph.