Einführung in die Schwarzschild-Singularität

Aber es gibt Flächen, die intrinsisch singulär sind und Singularitäten besitzen, die nicht auf eine Wahl von Koordinaten zurückzuführen sind. Beispiel hier: die konische Singularität.

Gussstück, wie 1917 von Schwarzschild in den Koordinaten t, r, q, j formuliert (die Zeit, eine radiale Entfernung und zwei Winkel, äquivalent zu Azimut und Höhe: sogenannte "kugelförmige" Koordinaten), ist die Schwarzschild-Sphäre singulär. Für einen bestimmten Wert Rs der "radialen Koordinate" r (die als gemessen vom "geometrischen Zentrum" angesehen wird), spielt diese Metrik uns die schlechtesten Streiche. Auf dieser Sphäre hat einer der Terme einen Nenner von null. Kurz gesagt, sie ist auf dieser Sphäre singulär. Handelte es sich um eine intrinsische Singularität oder um ein Artefakt, verursacht durch eine schlechte Wahl der Koordinaten? Das war die Frage, die wir uns stellten.

Anmerkung am Rande: Die "Schwarzschild-Geometrie" ist eine vierdimensionale Hyperfläche, was die Sache noch schwieriger macht.

Kruskal konzentrierte sich auf diesen Punkt. Er konstruierte eine Koordinatentransformation, die unter anderem eine konstante Lichtgeschwindigkeit entlang einer radialen Bahn gewährleistet. Dadurch konzentriert sich der singuläre Aspekt "im Zentrum des Objekts", in einer "zentralen Singularität". Psychologisch hat man den Eindruck, etwas gewonnen zu haben. Die Lösung wird "fast überall regulär", ein Ausdruck, den Mathematiker verwenden, um zu sagen, dass die Lösung regulär ist, ohne Pathologie, außer an einem einzigen Punkt.

• Sie werden nicht kleinlich sein, mich belästigen, wegen eines einfachen Punktes.....

Leider hat die Kruskal-Formulierung einen schwerwiegenden Nachteil: Sie gibt nicht den Raum der speziellen Relativitätstheorie im Unendlichen zurück. Technisch gesehen ist sie im Unendlichen nicht lorentzisch, "asymptotisch lorentzisch".

Das ist eine entscheidende Frage in der Physik: Existieren Singularitäten? Akzeptiert die Natur Singularitäten? Die Antwort wird in Begriffen des Glaubens formuliert (wie für die Existenz oder Nichtexistenz des Unendlichen übrigens).

Wir haben nach einer neuen Interpretation derselben Schwarzschild-Geometrie gesucht, indem wir alle Singularitäten eliminieren, und wir haben es geschafft. Unsere Antwort lautet also:

• Der singuläre Charakter der Schwarzschild-Lösung wird einfach durch eine schlechte Wahl der Koordinaten verursacht.

Technisch gesehen, basiert alles auf der Variablentransformation:

r = Rs + Log ch r

was "r gleich Rs plus Logarithmus des cosinus hyperbolikus der Variable r" bedeutet. Einfach für einen Wissenschaftler, Spezialisten oder einfachen Studenten. Für jemanden, der diese Formel beherrscht, kann die Größe r niemals kleiner als Rs werden, selbst wenn r alle möglichen Werte von minus unendlich bis plus unendlich annimmt.

Betrachten Sie eine Fläche, die durch Drehung einer Parabel um eine Gerade entsteht, wie folgt:

Diese Figur stammt aus dem Artikel. Die Fläche ist unendlich, genauso wie die erzeugende Parabel, die sich um die z-Achse dreht. Wenn man unbedingt eine Darstellung mit Koordinaten (r, z, j) haben möchte, kann man sich auf Probleme einstellen, wenn man sich fragt, "wie sieht diese Fläche für r < Rs aus?"

Man wird eine Antwort finden ... imaginär, mit Wurzeln aus negativen Größen. Einfach, weil man dann "außerhalb der Fläche" ist.

In der Mathematik wird diese Fläche als "nicht einfach zusammenhängend" bezeichnet, ein abschreckender Begriff, der einfach bedeutet, dass jede geschlossene Kurve nicht ihren Umfang verringern kann, indem man sie auf der Fläche verschiebt, bis er den Wert null annimmt.

Das ist auf einer Kugel möglich, die "einfach zusammenhängend" ist. Aber auf dieser Fläche sieht man deutlich, dass jede geschlossene Kurve, die "einmal um diesen Art von Zentrumstrog herumgeht", ihren Umfang nicht gegen null verringern kann, die Grenze ist der Umfang des "Halsrings". Gleiches gilt für einen Torus, der ebenfalls "nicht einfach zusammenhängend" ist.

Wir haben eine solche Fläche definiert, ausgehend von ihrer Metrik, was sehr gut das Thema illustriert. Wenn man die Koordinate r beibehält, sieht die Fläche singulär aus. Wenn man die oben genannte Variablentransformation verwendet, ist sie es nicht mehr. Was entspricht dieser Koordinate r? Sie läuft einfach entlang der meridionalen Parabel, wie in der Abbildung angegeben, und hat den Wert null auf dem Halsring. Die Hälfte der Fläche entspricht positivem r, die andere negativem r. In dem Koordinatensystem der Punkte [r, j] gibt es keine Singularität mehr.

Wir haben solche Objekte "torische Brücken" genannt, analog zum Torus.

Aber es lässt sich leicht zeigen, immer noch ausgehend von Metriken, dass man zu einem Objekt, einer 3D-Hyperfläche, gelangen kann, das einen "hyper-torischen Übergang" besitzt. Dann gibt es nicht mehr einen Halsring, sondern eine Halskugel. Ebenso wie für die oben gezeigte Fläche, der Halsring zwei 2D-Flächen verband, verbindet die Halskugel nun zwei "dreidimensionale Halbräume". Wenn man in einem dieser dreidimensionalen Halbräume ist und in die Halskugel eintaucht, kommt man in den anderen Halbraum heraus.

Zurück zur 2D-Fläche, die oben gezeigt wurde. Das folgende Bild zeigt, dass man, wenn man "Kreise zeichnet, die man für konzentrisch hält", sieht, wie ihr Umfang abnimmt, einen Minimum erreicht und dann wieder zunimmt.

Im 3D muss man sich eine Kugel vorstellen, die die Halskugel vollständig umgibt. Dann eine weitere, innerhalb dieser (man sollte sagen, "jenseits" in einer bestimmten Richtung, in Richtung dieser Halskugel). Man stelle sich vor, dass die Oberfläche dieser Kugel kleiner sein könnte. Doch sobald man die Halskugel erreicht, erreicht die Fläche ein Minimum und beginnt dann wieder zu wachsen ... bis ins Unendliche, wenn man die Operation fortsetzt.

Wir haben die "Metriken" dieser 2D- und 3D-Flächen mit einem "torischen" und einem "hyper-torischen" Übergang konstruiert und im zweiten Fall wurden wir von der Ähnlichkeit mit der Schwarzschild-Metrik überrascht, weshalb wir diese Koordinatentransformation durchführten, wodurch sich ihr "nicht einfach zusammenhängender" Charakter zeigte, "das Innere" des Objekts wurde einfach "das Jenseits seiner Halskugel".

Es war somit möglich, alle Singularitäten zu eliminieren.

Zu diesem Zeitpunkt haben wir lediglich das Schwarzweltenmodell auf ein Paar "Schwarze Loch-Weiße Loch" erweitert. Doch immer noch für diesen "äußeren Beobachter" war die Durchquerungszeit dieses hyper-torischen Übergangs unendlich. Es schien, als hätten wir lediglich das Schwarzweltenmodell verbessert, indem wir erklärten, wohin es führt.

Wir sagten, dass die Wahl der Variablen in einer geometrischen Lösung völlig willkürlich ist. Doch was für den Raum gilt, gilt auch für die Zeit. Wir suchten also eine zeitliche Variablentransformation, die von Eddington 1924 erfunden wurde:

Nochmals erwähnen wir dies für den Wissenschaftler oder einfachen Studenten.

t ist die alte "kosmische Zeit", die ursprüngliche "chronologische Variable" in der 1917er Schwarzschild-Lösung.

t' ist diese neue "Eddington-Zeit". Rs ist der "Schwarzschild-Radius (man sollte dann eigentlich vom "Umfang von Schwarzschild" sprechen, geteilt durch 2π).

c ist die Lichtgeschwindigkeit (hier konstant).

Das, was seltsam erscheinen mag: Man mischt Zeit und Raum, aber in dieser Hinsicht haben wir alle Rechte. Die Wahl der Zeitkoordinate, der chronologischen Markierung (time-marker), ist völlig willkürlich. Man verlangt lediglich:

• dass die Metrik asymptotisch Lorentzisch ist, also dass im Unendlichen der Raum-Zeit in den Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie übergeht. In unserem Fall funktioniert das (nicht bei Kruskal).

• dass diese neue Zeit t' identifiziert...