Hier wurde das Bild etwas "entfettet", um es besser lesbar zu machen. Eine Fläche ist ein 2D-Objekt, das hier in einen 3D-Euklidischen Raum, also in R3 "eingetaucht" ist. Oben können wir "es sehen". Es stellt sich heraus, dass diese Fläche in diesen Raum R3 "isometrisch eingetaucht" ist. Das bedeutet, dass ein Klebeband, das man darauf klebt, tatsächlich auf einer Geodäten zwischen zwei Punkten A und B liegt. Außerdem ist die Länge, die man entlang dieser Geodäten misst, auch korrekt. Es handelt sich um eine isometrische Abbildung, etymologisch "gleiche Länge". Unten befindet sich ein 2D-Repräsentationsraum, der eine nicht isometrische Darstellung bietet. Die Länge des Bogens A'B' ist nicht gleich der Länge des Bogens AB. Bauen Sie das folgende Objekt mit einem Blatt Papier, einem Stift und einer Schere:
Dieses Bild ist nicht isometrisch. Erstens ist die angegebene Kurve offensichtlich keine Geodäte der Ebene. Zweitens ist die Länge des Bogens AB nicht "die echte Länge", also die, die man auf "der echten Fläche" messen würde, die "nicht durchbohrt ist". Dieses durchbohrte Papierblatt ist nur eine bequeme Darstellung, mehr nicht. Ebenso wie diese Technik, bei der man einen Teil der Kurve auf der Vorderseite und einen anderen auf der Rückseite des Blattes zeichnet, wobei die gesamte Kurve nur durchsichtig erscheint.
Auf dem folgenden Bild sind die Geodäten dieser Fläche dargestellt, die mit dem Computer berechnet wurden (siehe Artikel).
Die markierten Teile der Kurven entsprechen den Zweigen, die "auf der anderen Seite" liegen (wie man die Fläche "von oben" betrachtet).
Nun eine Frage: Kann ich eine ebene und isometrische Darstellung dieser Geodäten konstruieren? Die Antwort ist ja. Wir haben gesehen, dass wir die Variable r durch die Variable r ersetzen können. Dann können die Geodäten vollständig in einer "polaren Koordinatenebene" (r, j) dargestellt werden. Die Geodäten (hier eine nicht radiale Geodäte) haben folgende Form:
Diese Darstellung ist isometrisch. Seien drei Punkte A, B, C auf der Fläche, die auf einer gemeinsamen Geodäten liegen. A', B' und C' sind die entsprechenden Punkte in dieser Darstellung [r, j]. Die Punkte A und B liegen auf dem gleichen Halbblatt und der Geodätenbogen, der sie verbindet, überschreitet den Halskreis nicht. Gemessen in dieser Ebene entlang der Bild der Geodäten (die offensichtlich keine Geodäte dieser Ebene ist), ist die Länge des Bogens A'B' gleich der Länge des Bogens AB, die auf der Fläche gemessen wird.
Der Bogen BC überschreitet den Halskreis. Gleiches gilt.
Aber diese Isometrie gilt nicht für alle Geodäten der Fläche. Es gibt eine, die einzigartig ist: der Halskreis, der hier zu einem Punkt reduziert ist. Dies ist die einzige Geodäte dieser Fläche, die sich selbst schließt.
Die Geodäten sind unsere einzige Möglichkeit, eine Fläche oder allgemeiner einen nicht-euklidischen Raum zu verstehen. Sie sind zuverlässige Referenzen (selbst wenn wir sie durch unsere 2D- oder 3D-Darstellungssysteme verzerrt wahrnehmen). Wir wissen, dass diese Geodäten "existieren" und dass sie intrinsisch sind. Die Geodäten einer Kugel sind beispielsweise große Kreise. Bei Raum-Zeit sind sie von einer unendlichen Anzahl von raumzeitlichen Geodäten bevölkert. Diese Geodäten existieren intrinsisch und, um sie zu verstehen (etymologisch: umschlingen, umfassen), suchen wir wie Blinde, "sie zu ertasten". Doch die Koordinatenlinien von Zeit und Raum haben keine intrinsische Realität, genauso wie die Meridiane und Breitenkreise nicht Teil einer Kugel sind. Sie sind nicht "mitgeliefert". Die Schwarzschild-Geometrie, eine Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen, ist eine 4D-Hypersfläche. Auf dieser haben Theoretiker Familien von Kurven "mit konstantem t", "mit konstantem r" usw. aufgelegt.
Gravieren Sie sich in den Kopf, dass diese Handlungen völlig willkürlich sind. Doch selbst theoretische Kosmologen verlieren oft die Erinnerung an diesen Punkt, den Mathematiker-Geometer gelegentlich an die Erinnerung rufen. Es war also völlig legitim, Koordinaten von Raum und Zeit zu wechseln.
An dieser Stelle werden Sie sagen: Aber dann, was erlaubt es, zu entscheiden, ob eine Koordinatenwahl besser als eine andere ist? Wo liegt das Vernünftige und das Unvernünftige? Das ist eine Frage des Geschmacks. Die Wahl von Raum- und Zeitkoordinaten bedeutet, eine physikalische Sichtweise auf ein mathematisches Objekt zu legen. Im Fall der Erde haben wir ihr Pole gegeben, weil sie sich dreht. Der Nordpol ist einfach der Punkt auf der "Erde"-Oberfläche, dessen Normale auf den Polstern zeigt, einen Stern, der in der Sternenwelt fest bleibt.
Bezüglich der Isometrie und Nicht-Isometrie illustriert die Kartografie die Probleme, die aus der Versuch entstehen, eine Kugel auf eine Ebene zu projizieren. Die Mercator-Projektion (Projektion der Erdkugel auf einen Zylinder, der entlang des Äquators tangential liegt) ist für Menschen, die in der Nähe des Äquators wohnen, sehr angenehm. Im Gegensatz dazu erlebt ein Bewohner eines der Pole eine böse Überraschung: sein Bereich, ein Punkt, wird zu einer Geraden...
Es gibt 36.000 Möglichkeiten, eine Kugel auf eine Ebene zu projizieren. Stellen Sie sich diese vor:
Stellen Sie sich vor, wir fertigen Karten nach diesem Modell an und verkaufen sie. Sofortiger Erfolg bei den Bewohnern der beiden Pole: diese Projektionen sind in diesen Regionen fast isometrisch. Sehr praktisch, um sich eine Vorstellung von den Entfernungen in diesen Ecken zu machen. Wenn die Erde auf ihren Polen bewohnbar und ansonsten relativ unzugänglich gewesen wäre, wären die Karten sicherlich auf diese Weise erstellt worden. Man wird bemerken, dass dann der Grenzkreis der flachen Projektion nicht mehr dem Äquator entspricht, sondern einem Breitenkreis (hier im nördlichen Halbkugel). In der Nähe dieser Region wird die Karte weit von der Isometrie entfernt sein. Außerdem wird auf dieser seltsamen Karte ein Teil des Territoriums als durchgezogene Linie und ein anderer als gestrichelt dargestellt, da er jenseits dieses Breitenkreises liegt, wo das Objekt seltsamerweise "sich zurückfaltet". Es sei denn, man liefert Karten in Form von Kreisen, wobei der Rest des Geländes auf der anderen Seite, auf der Rückseite des Blattes, dargestellt wird.
Versuchen wir, "dies alles in 3D zu denken". Wir haben Lanturlu dargestellt, wie er seinen linken Arm in die Halskugel taucht, und wir haben die beiden Bilder getrennt, was den Eindruck erweckt, dass dieser zweite 3D-Raum "woanders" sein könnte. Um korrekter zu sein, hätte man die beiden Bilder in Perspektive überlagern und die Hand (rechts), die "gestrichelt" hervortritt, darstellen sollen.
Ich habe es versucht, obwohl es nicht besonders einfach war. Man könnte auch zwei verschiedene Farben verwenden, beispielsweise rot für das, was in dem ersten 3D-Raum unseres nicht einfach zusammenhängenden 3D-Raumes liegt, und grün für das, was in dem anderen Teil liegt. Ein roter Lanturlu würde dann beispielsweise die rote linke Hand, die er in die Halskugel getaucht hat, als eine grüne "rechte" Hand hervortreten sehen.
Es ist schade, dass Raymond Devos sich nicht für Mathematik interessiert. Obwohl...
Natürlich gibt es "in" der Halskugel nichts. Diese Erscheinung von Innenraum und Volumen ist allein auf die Wahl dieses 3D-Repräsentationsraums zurückzuführen. Ebenso gibt es im Inneren des Lochs, das in das Papierblatt geschnitten wurde, kein Papier. Es war nur ein Zufall, der auf die Wahl dieses 2D-Repräsentationsraums zurückzuführen ist. Jemand, der diese ebene Darstellung weiterhin verwendet, ohne den ausgeschnittenen Kreis aus dem Papier zu entfernen und weiterhin ...