Hier,
man hat die Figur ein wenig „entfettet“, um sie lesbarer zu machen. Eine
Fläche ist ein 2D-Objekt, hier „eingebettet“ in einen 3D-euklidischen Raum,
anders gesagt in R3. Oben können wir sie „sehen“. Es stellt sich heraus,
dass diese Fläche isometrisch in diesen Raum R3 eintauchbar ist.
Das heißt, wenn man ein Klebeband darauf klebt, schreibt sich dieses
tatsächlich auf eine Geodäte ein, die zwei Punkte A und B der Fläche verbindet.
Außerdem ist die entlang dieses geodätischen Bogens gemessene Länge ebenfalls korrekt.
Es ist isometrisch, etymologisch „gleiche Länge“. Unten befindet sich
ein 2D-Darstellungsraum, der eine Darstellung liefert, die nicht isometrisch ist.
Die Länge des Bogens A'B' ist nicht gleich der des Bogens AB. Basteln Sie das
folgende Objekt mit einem Blatt Papier, einem Bleistift und einer Schere:
Diese Zeichnung ist nicht isometrisch. Erstens ist die angegebene Kurve
offensichtlich keine Geodäte der Ebene. Zweitens ist die Länge des Bogens AB nicht
„die wahre Länge“, die man auf der „wahren
Fläche“ messen würde, die „nicht durchlöchert ist“. Dieses durchlöcherte Blatt Papier
ist nur eine bequeme Darstellung, nicht mehr. Ebenso wie diese Technik,
die darin besteht, einen Zug auf die Vorderseite des Blattes und den anderen auf seine Rückseite zu zeichnen,
wobei die gesamte Kurve nur in Transparenz erscheint.
Auf der folgenden Zeichnung sind die Geodäten dieser Fläche dargestellt, vom
Computer berechnet (der im Artikel erscheint).
Die gestrichelten Teile der Kurven entsprechen den Zweigen, die „auf
der anderen Seite“ liegen (wie wenn man die Fläche „von oben“ betrachtete).
Nun eine Frage: Kann ich eine ebene und isometrische Darstellung
dieser Geodäten konstruieren? Die Antwort ist ja. Wir haben gesehen, dass wir
die Variable r in die Variable r ändern konnten. Dann können die Geodäten durchaus
in einer Ebene mit „Polarkoordinaten“ (r, j) dargestellt werden. Die
Geodäten (hier eine nicht-radiale Geodäte) sehen wie folgt aus:
Diese Darstellung ist isometrisch. Seien drei Punkte A, B, C, die zur
Fläche gehören und auf derselben Geodäte liegen. A', B' und C' sind die homologen Punkte
in dieser Darstellung [r, j].
Die Punkte A und B liegen auf derselben Halbschale, und der geodätische Bogen, der
sie verbindet, überschreitet nicht den Kehlkreis. Gemessen in dieser Ebene, entlang
des Bildes dieser Geodäte (die offensichtlich keine Geodäte dieser
Ebene ist), ist die Länge des Bogens A'B' gleich der des Bogens AB, gemessen in
der Fläche.
Der Bogen BC
überschreitet die Kehlsphäre. Dasselbe.
Aber diese Isometrie gilt nicht für alle Geodäten der Fläche.
Es gibt eine, einzigartig in ihrer Art: den Kehlkreis, hier auf einen
Punkt reduziert. Es ist die einzige Geodäte dieser Fläche, die sich in sich selbst schließt.
Die Geodäten sind unsere einzige Möglichkeit, eine Fläche oder allgemeiner
einen nicht-ebenen, nicht-euklidischen Raum zu verstehen. Sie sind zuverlässige Bezugspunkte (auch wenn wir
durch unsere 2D- oder 3D-Darstellungssysteme (in Perspektive) eine verzerrte Sicht auf sie haben). Diese Geodäten wissen wir, dass sie „existieren“,
dass sie intrinsisch sind. Die einer Sphäre sind zum Beispiel Großkreise.
Bei Raum-Zeit sind diese von einer Unendlichkeit an raum-zeitlichen
Geodäten bevölkert. Diese Geodäten existieren intrinsisch, und um zu verstehen
(etymologisch: umschließen, in die Arme nehmen), versuchen wir wie
Blinde, diese Geodäten zu „ertasten“. Aber die Koordinatenlinien
von Zeit und Raum haben keine intrinsische Realität, ebenso wie die beiden
Mengen Meridiane und Parallelen nicht integraler Bestandteil einer Sphäre sind.
Sie werden nicht „mitgeliefert“. Die Schwarzschild-Geometrie, Lösung
der Einstein-Feldgleichung, ist eine 4D-Hyperfläche. Darauf haben die Theoretiker
Familien von Kurven „bei konstantem t“, „bei konstantem r“
usw. aufgeprägt.
Prägen Sie sich ein, dass diese Gesten völlig willkürlich bleiben. Aber
sogar Spezialisten der theoretischen Kosmologie verlieren oft das Bewusstsein für
diesen Punkt, an den sie von Zeit zu Zeit die Mathematiker-Geometer erinnern müssen.
Es war also völlig legitim, die Raum- und Zeitkoordinaten zu ändern.
An diesem Punkt werden Sie mir sagen: Aber was erlaubt dann zu sagen, ob die eine
Wahl von Koordinaten besser ist als die andere? Wo liegen das Vernünftige
und das Unvernünftige? Das ist Geschmackssache. Raum- und Zeitkoordinaten zu wählen,
heißt, eine physikalische Sicht auf ein mathematisches Objekt aufzuprägen. Im
Fall der Erde haben wir ihr Pole gegeben, weil sie sich dreht. Der
Nordpol ist einfach der Punkt der Oberfläche „Erde“, dessen Normale
zum Polarstern zeigt, einem Gestirn, das im Sternenzelt fix bleibt.
Zum Thema Isometrie und Nicht-Isometrie illustriert die Kartographie die Probleme,
die sich aus Versuchen ergeben, eine Sphäre auf einer Ebene darzustellen. Die Mercator-Projektion
(Projektion der Erdkugel auf einen Zylinder, der entlang
des Äquators tangential anliegt) ist sehr angenehm für die Menschen, die nahe dem
Äquator wohnen. Der Bewohner eines der Pole dagegen erlebt eine böse Überraschung: sein punktförmiges Gebiet
verwandelt sich in eine Gerade...
Es gibt sechsunddreißigtausend Arten, eine Sphäre auf eine Ebene zu projizieren. Stellen wir uns
diese vor:
Stellen wir uns vor, wir fertigten geographische Karten nach diesem Modell und
verkauften sie. Sofortiger Erfolg bei den Bewohnern der beiden Pole: diese Projektionen
sind dann in diesen Regionen quasi-isometrisch. Sehr praktisch, um sich
eine Vorstellung von den Entfernungen in diesen Ecken zu machen. Wenn die Erde an
ihren Polen bewohnbar und anderswo relativ unwirtlich gewesen wäre, wären die Karten wohl
auf diese Weise erstellt worden. Man wird bemerken, dass dann der Grenzkreis
der ebenen Projektion nicht mehr dem Äquator entspricht, sondern einem Parallelkreis
(hier der Nordhalbkugel angehörend). In der Umgebung dieser Region wird die Karte
sehr weit von der Isometrie entfernt sein. Außerdem müsste auf dieser seltsamen Karte ein Teil
des Gebiets mit durchgezogener Linie und der andere mit Punktlinie dargestellt werden, da
es jenseits dieses Parallelkreises liegt, wo das Objekt sich seltsamerweise „einzurollen“
scheint. Es sei denn, man liefert Karten in Form von Scheiben,
wobei die Fortsetzung des Geländes auf der anderen Seite, auf der Rückseite des Blattes, dargestellt würde.
Versuchen wir, „all das in 3D zu denken“. Wir haben Lanturlu dargestellt,
wie er seinen linken Arm in die Kehlsphäre taucht, und wir haben die
beiden Zeichnungen getrennt, was die Tatsache hervorzuheben scheint, dass dieser zweite 3D-Raum
„anderswo“ sein kann. Um korrekter zu sein, hätte man
die beiden Zeichnungen in Perspektive überlagern und die (rechte) Hand darstellen müssen, die
„gestrichelt“ hervortritt.
Ich habe versucht, es zu tun, obwohl es nicht übermäßig leicht war. Man hätte
auch zwei verschiedene Farben verwenden können, zum Beispiel Rot für das, was in der ersten 3D-Seite
unseres nicht einfach zusammenhängenden 3D-Raums wäre, und Grün
für das, was auf der anderen Seite ist. Ein roter Lanturlu würde dann zum Beispiel
die rote, linke Hand hervorkommen sehen, die er
in die Kehlsphäre getaucht hat, in Form einer grünen „rechten“ Hand.
Schade, dass Raymond Devos sich nicht für Mathematik interessiert. Obwohl...
Offensichtlich gibt es „in“ der Kehlsphäre nichts. Dieser Anschein
eines Inneren, eines volumetrischen Inhalts, rührt nur von der Wahl dieses 3D-Darstellungsraums
her. Ebenso wie im Inneren des in das Blatt Papier geschnittenen Lochs
auch kein Papier war. Das war nur ein Unfall, der an die Wahl dieses ebenen Darstellungsraums
gebunden war. Jemand, der sich hartnäckig bemühen würde, diese ebene
Darstellung zu nutzen, ohne die aus dem Papier geschnittene Scheibe zu entfernen, und der beharrlich
fragen würde „Was ist da drin?“, wäre „daneben“
(oder vielmehr... drinnen). Diese Scheibe „existiert nicht“.
Zurück zu 3D. Wenn Lanturlu seinen Arm in die Kehlsphäre taucht, hat diese
auch kein Inneres. Dieser Anschein eines Inneren rührt nur von dieser Wahl
des Darstellungsraums her. Man könnte annehmen, dass Lanturlu und seine hervortretende Hand
auf einem Papierblatt gezeichnet wurden, das drei Dimensionen besitzt, aus dem
man... eine Sphäre entfernt hätte (3D-Äquivalent der Scheibe des Papierblatts).
Mathematisch ist eine Scheibe eine „Kugel b2“ und eine „Volumen-Sphäre“
eine „Kugel b3“. Man nennt „Kugel“ eine kontraktile Zelle (siehe das Topologicon, in der „CD-Lanturlu“), das heißt
ein Objekt, das sich beim Durchlaufen seiner selbst auf einen Punkt zusammenziehen kann. Diese
2D- und 3D-Beispiele dienen dazu, den im Artikel verfolgten Angriffsplan zu illustrieren:
Die Schwarzschild-Sphäre hat kein „Inneres“ und kein „Zentrum“.
Wenn man sie durchquert (hypertorischer Übergang), findet man sich in einem „anderen
Raum-Zeit-Hang“.
Was ist die Rechtfertigung dieser neuen Interpretation der „Schwarzschild-Geometrie“?
Antwort: die Beseitigung der Singularitäten. Kruskal hat mit seiner „analytischen
Fortsetzung“ Hände und Füße bemüht, um um jeden Preis „in“
diese verdammte Sphäre einzudringen. Es ist ihm nur gelungen, die Singularität (ursprünglich
von der Schwarzschild-Sphäre gespielt) in einen Punkt „im Zentrum dieses
Objekts“ zusammenzudrücken. Man hat sich mit diesem Taschenspielertrick zufriedengegeben. Aber wir denken,
dass es ohne Singularität trotzdem besser ist.
Die Natur protestiert, wenn man sie aus dem falschen Blickwinkel betrachtet, indem sie
Singularitäten absondert. So sehen wir die Dinge. Das ist ein A-priori-Standpunkt zum „Realen“. Wir denken, dass Singularitäten in der Natur nicht existieren. Wir denken auch, dass das Unendliche auch nicht existiert. Aber,
wie Kipling sagen würde, das ist eine andere Geschichte. Ich hatte vor einem Jahr mit Souriau heftige
Diskussionen über diese Frage.
-
Was beweist mir, dass das Unendliche existiert? ....
-
Aber ohne Unendliches gibt es keine Mathematik mehr! ....
-
Das Unendliche, bist du ihm schon begegnet? Hast du es schon gesehen, in der Hand gehalten?
-
Das ist eine .... Bequemlichkeit.
-
Man erzeugt unendlich große Zahlen, indem man annimmt, dass man 1 zu einer Zahl unbegrenzt addieren kann. Also bedient man sich eines sequenziellen Unendlichen, um
ein numerisches Unendliches zu erzeugen. Das beißt sich in den Schwanz, dein Ding. -
Gut, sagen wir, es ist eine Bequemlichkeit. Der Mensch hat im Laufe seiner Geschichte zwei wichtige Dinge erfunden: das Unendliche und die Toiletten....
Ich glaube auch nicht, dass das unendlich Kleine existiert, weder physisch noch
mathematisch. Aber das wird Gegenstand anderer Papiere sein. Lassen wir diese Fragen für den
Moment beiseite. Einfache Abschweifung.
Übrigens siehe „Scale Invariant Cosmology“ von P. Midy und J. P. Petit,
International Journal of Modern Physics D, Juni 1999, Seiten 271-280, wo wir
„die anfängliche Singularität des Universums“ haben verschwinden lassen. Das ist
eine mathematisch konstruiertere Neuformulierung der Idee, die ich 88-89 in Modern Physics Letters A veröffentlicht hatte
(Papiere auf der Website).
Ich hoffe, dass wir, wenn Sie diese Zeilen lesen, mit Hilfe
der Herren Lecot oder Boland Zeit gehabt haben werden, diesen neuen Artikel in die Website aufzunehmen. Aber
ohnehin, selbst wenn diese Arbeit dort wiedergegeben wäre, wagen Sie sich nicht hinein. Wie ich glaube Archimedes am Eingang eines Wissenschafts-Heiligtums eingeschrieben hatte:
„Niemand betrete hier, der nicht Geometer ist“. Das sind Tensoren und Konsorten,
ein Gebiet, in dem Midy sich vergnügt, aber es ist auch so unverdaulich wie englischer Pudding.
Man sieht also durch diesen Diskurs, dass die physikalische Sicht, die wir von den
Phänomenen haben, aus der Art hervorgeht, wie wir entschieden haben, sie uns darzustellen.
Wir haben durch Änderung der Raumkoordinaten die „lokale Topologie“
geändert, ein Wort, das es verdienen würde, mathematisch präzisiert zu werden, sagt Souriau.
Tatsächlich ist dieser Satz ein sanfter Euphemismus: Er hat einfach angefangen zu schreien,
als ich dieses Wort aussprach. Seine Katze Pioum und ich hatten die größte Mühe,
ihn zu beruhigen. Souriau ist der Tournesol der Mathematik. Er pflegt die mathematische Entrüstung
bis zum Äußersten zu treiben. Aber diese Entrüstungsanfälle sind nicht
mit Zorn im trivialen Sinn des Wortes zu verwechseln. Ich wäre in diesem Bereich eher
„Monsieur Jourdain“. Physiker betreiben oft
Mathematik, ohne es zu wissen (und umgekehrt übrigens).
Unter vorläufiger Zulassung des Gebrauchs „unpräzisierter“ Wörter geschieht alles,
als hätte man bisher angenommen, die „lokale Topologie“
der Schwarzschild-Geometrie sei „hypersphärisch“ (dass die Schwarzschild-Sphäre
eine „Kugel b3“ „enthalte“). Wir haben sie
„hypertorisch“ gemacht. Das ist der Grund, warum ich die (unkontrollierte) Bezeichnung
„hypertorische Geometrien“ vorgeschlagen habe.
Oben wurde die Inversion des Raums erwähnt. Das verhandelt sich mit den Gruppen.
Kann man das anders verstehen? Wir haben gesehen, dass Lanturlu, der seinen linken Arm
in die Kehlsphäre taucht, ... eine rechte Hand hervorkommen sah. Tatsächlich ist
jedes Atom seiner Hand einer „radialen“ Geodäte gefolgt, die
senkrecht zur Fläche gerichtet ist.
Bemerken wir übrigens, wir hatten vergessen, es zu sagen, dass diese Darstellungsweise
nicht isometrisch ist. Wie beim Trick mit dem durchlöcherten Papier vorhin. Wenn
man die von einem Testatom zurückgelegte Länge messen würde, das zur Hand
von Lanturlu in den beiden Halbräumen gehört, würde dies nicht mit der wirklichen
Länge übereinstimmen, die man mit einer Schnur berechnen kann.
Nehmen wir eine weiter oben gegebene Zeichnung wieder auf.
Hier haben wir einen geodätischen Bogen AB dargestellt, der den Kehlkreis überschreitet,
und sein Bild im ebenen Darstellungsraum unten. Der Charakter der
nicht-isometrischen Darstellung tritt dann noch klarer hervor. Die Längen
der Bögen AB und A'B' sind sehr verschieden.
Es ist offensichtlich ziemlich schwierig, sich vorzustellen, dass man eine Schnur
in die Kehlsphäre eines hypertorischen Durchgangs einfädeln könnte. Wenn man die Schnur spannt, erhielte man übrigens
eine Geodäte (Linie des kürzesten Weges). Im Übrigen,
wenn man die Länge dieser Schnur im 3D-Darstellungsraum messen würde
(Lanturlu, der seinen Arm einfädelt) und sich daran wagte, die Länge
besagter Schnur in diesem Raum zu messen, fände man eine kürzere Länge A'B'.
Die wahre Länge, gemessen in der 3D-Hyperfläche, wäre länger, wie
oben in 2D dargestellt. Die 3D-Darstellung, in der Lanturlu erscheint, ist also nicht-isometrisch,
wie die ebene Darstellung der obigen Figur.
Im Grunde werden diese so subtilen Begriffe aus der Gruppentheorie
dank einiger Zeichnungen weniger hermetisch, unter der Bedingung, „im
Raum zu sehen“. Was ich Ihnen gerade zu lehren versuche, ist,
in einem gekrümmten 3D-Raum zu sehen.
Kommen wir zurück zu dieser Sache mit der Enantiomorphie, der Inversion der Objekte, wenn sie
die Kehlstruktur durchqueren, in 2D oder 3D. Betrachten wir in 2D „radiale“
Geodäten. Das Wort ist unpassend geworden, da ein Strahl
prinzipiell eine Gerade ist, die von einem Punkt ausgeht. Es handelt sich tatsächlich um Geodäten
mit konstantem j. Siehe eine Figur weiter oben, wo diese azimutale Koordinate
angegeben wurde. Aber der Kürze halber werden wir das Wort „radial“
in Anführungszeichen weiter verwenden. Bemerken Sie, dass dieses Wort „radial“ noch
ein Abfallprodukt der Wahl eines Darstellungsraums ist. Stellen Sie sich vor, ein Buchstabe
R (der nicht mit seinem Spiegelbild, seinem enantiomorphen Bild, identisch ist)
glitte wie ein schlecht aufgeklebtes Abziehbild entlang unseres torischen Durchgangs,
wobei jeder seiner Punkte einer Geodäte folgte. Dieser Buchstabe würde sich
„auf der anderen Seite“ wiederfinden. Was interessant ist, ist, das Ergebnis
der Operation in der ebenen Projektion, im Darstellungsraum, zu betrachten.
Man hat eine Art Band dargestellt, dessen Ränder aus zwei
Geodäten bestehen. Was stellt man fest? Im Darstellungsraum hat sich der Buchstabe
R umgekehrt, ist zu einem russischen „ia“ geworden, zu einem umgedrehten, enantiomorphen R.
Man beginnt nun zu verstehen, warum die Hand von Lanturlu, als sie in
unserem „3D-Darstellungsraum“ wieder hervorkam, sich umgekehrt zu haben scheint,
enantiomorph geworden ist.