Zweifelhafte Schwarze Löcher und Zwillinguniversum

Kosmologie Problematisches Schwarzes Loch.

Jean-Pierre Petit Observatorium Marseille, Frankreich Pierre Midy CRI Orsay, Frankreich Für Korrespondenz:

Zusammenfassung

Ausgehend vom sogenannten Schwarzen-Loch-Modell, das als physikalische Interpretation der Schwarzschild-Geometrie betrachtet wird, überprüfen wir erneut das Schicksal eines Neutronensterns, wenn er seine Stabilitätsgrenze überschreitet. Zunächst stellen wir ein neues geometrisches Werkzeug vor: die hypertorische Geometrie, anhand von Beispielen in 2D und 3D (Abschnitt 2). Wir zeigen, dass die mit Metriken verbundenen Pathologien, die aus ihrem Linielement resultieren, das in einem bestimmten Koordinatensystem formuliert ist, durch eine sinnvollere Wahl, ausgedrückt in Begriffen der „lokalen Topologie“, behoben werden können. Beispielsweise zeigen wir, dass in den beiden gegebenen Beispielen, der zweidimensionalen Fläche und der dreidimensionalen Hypersfläche, deren Isometriegruppen O2 und O3 sind, keine einfach zusammenhängenden Räume vorliegen.

Wir erweitern die Methode auf die Schwarzschild-Geometrie. Wir zeigen, dass Singularitäten vollständig beseitigt werden können, indem man eine nicht einfach zusammenhängende Raum-Zeit-Hypersfläche betrachtet. Wir verleihen der Schwarzschild-Geometrie eine andere physikalische Bedeutung: einen Brücke zwischen zwei Universen, unserem und einem Zwillinguniversum.

Wir zeigen, dass die „Zeitgefrierung“, das Fundament des Schwarzen-Loch-Modells, lediglich eine Folge einer willkürlichen Wahl eines speziellen Zeitmarkierers ist. Durch die Verwendung eines anderen Markierers, inspiriert von den Arbeiten von Eddington (1924), leiten wir ein völlig anderes Szenario ab, das eine radiale Trägheitsübertragung (ähnlich der azimutalen Trägheitsübertragung der Kerr-Metrik) impliziert. Wir zeigen, dass die Schwarzschild-Lösung als „Raumbrücke“ interpretiert werden kann, die zwei Universen, zwei Raum-Zeit-Räume verbindet und wie eine Einbahnstraße wirkt. Wir zeigen, dass die Durchgangszeit eines Testteilchens endlich und kurz ist, was das klassische Schwarze-Loch-Modell unmittelbar problematisch macht.

Durch Erweiterung der Isometriegruppe der Schwarzschild-Metrik zeigen wir, dass die beiden Universen enantiomorph (P-symmetrisch) sind und entgegengesetzte Zeitmarkierer besitzen (t* = -t). Unter Verwendung eines Werkzeugs aus der Gruppentheorie: der koadjungierten Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum, geben wir der „Zeitinversion“ eine physikalische Bedeutung über die sphärische Halsfläche, die Schwarzschild-Sphäre: Wenn ein Teilchen mit positiver Masse die Raumbrücke durchquert, wird seine Beitrags zum Gravitationsfeld umgekehrt: m* = -m (wie J.M. Souriau 1974 gezeigt hat, entspricht die Umkehrung des Zeitmarkierers der Umkehrung von Masse und Energie).

Da die Frage über das Schicksal eines instabilen Neutronensterns weiterhin offen ist, präsentieren wir ein Projekt eines alternativen Modells: der hyperspatiale Transfer eines Teils seiner Materie durch eine Raumbrücke, wobei diese Materie mit relativistischer Geschwindigkeit in das Zwillinguniversum fließt.

Übrigens erinnern wir an einige bekannte Mängel des Kruskal-Modells, insbesondere die Tatsache, dass es asymptotisch nicht Lorentz-invariant im Unendlichen ist.

Wir schlagen vor, die Schwarzschild-Geometrie als eine Hypersfläche zu betrachten, die in einen zehndimensionalen Raum eingebettet ist. Durch Verknüpfung dieser Arbeit mit früheren Arbeiten, die auf der Gruppentheorie basieren, bauen wir ein CPT-symmetrisches Modell auf. Die Materie-Antimaterie-Dualität bleibt in beiden Faltungen erhalten. Wenn Materie in das Zwillinguniversum transferiert wird, unterliegt sie einer CPT-Symmetrie und ihre Masse (ihr Beitrag zum Gravitationsfeld) wird umgekehrt. Aber sie bleibt Materie. Ebenso bleibt Antimaterie, die in die Raumbrücke fließt, Antimaterie mit entgegengesetzter Masse, da die Umkehrung des Zeitmarkierers, wie Souriau gezeigt hat, die Umkehrung der Masse impliziert.

1. Das Schwarze-Loch-Modell.

Neutronensterne können eine kritische Masse, nahe 2,5 Sonnenmassen, nicht überschreiten. Bei höheren Massen kann ihre Materie die riesige innere Druckkraft, verursacht durch die Gravitationskraft, nicht mehr aushalten. Es folgt ein gravitativer Kollaps. Lange Zeit versuchten Theoretiker, das Schicksal eines solchen Objekts zu beschreiben. Bei der Betrachtung der Schwarzschild-Metrik, nachfolgend in Bezug auf

Koordinaten ausgedrückt, wobei Rs der sogenannte Schwarzschild-Radius ist (1),

glaubte man, dass diese Lösung der Einstein-Gleichung:

(2) S = 0

mit einem rechten Seitenwert von null das Problem lösen könnte. Tatsächlich, wenn t als „kosmische Zeit eines äußeren Beobachters“ gewählt wird, ist die freie Fallzeit eines Testteilchens, das einer „radialen Geodäte“ folgt, von einem entfernten Punkt der Schwarzschild-Sphäre r = Rs aus, unendlich, während diese freie Fallzeit Ds, ausgedrückt in Eigenzeit, endlich bleibt. Dann lautet die „physikalische Beschreibung“ wie folgt:

• Das Objekt (ein Neutronenstern, der seine Stabilitätsgrenze überschritten hat) unterliegt einem gravitativen Kollaps. Seine Masse fällt schnell auf den „geometrischen Mittelpunkt des Systems“, der als „zentrale Singularität“ beschrieben wird. Dieser Vorgang dauert eine endliche Dauer Ds in Eigenzeit s.

• Für einen „äußeren Beobachter“, der sich in einer gewissen Entfernung vom Objekt befindet, erscheint dieser Prozess jedoch „in der Zeit eingefroren“. Außerdem ist die Schwarzschild-Sphäre eine Oberfläche mit unendlichem Rotverschiebung (aufgrund der Nullität des gtt-Terms der Metrik bei r = Rs).

Dies ist das Modell eines kugelsymmetrischen Schwarzen Lochs.

r wird als „radiale Entfernung“ identifiziert, was bedeutet, dass man sich „das Innere der Schwarzschild-Sphäre“ vorstellen kann. Grob gesagt bedeutet dies, dass man annimmt, dass die „lokale Topologie“ „kugelförmig“ ist: Innerhalb der Schwarzschild-Sphäre wird eine „kleinere Kugel angenommen“, und so weiter bis zum „geometrischen Zentrum“ des Objekts.

Später wurde das Modell auf axialsymmetrische Geometrie (Kerr-Metrik) erweitert. Aber diese Erweiterung bringt keine grundlegenden konzeptionellen Änderungen mit sich. Deshalb werden wir uns im Folgenden auf kugelsymmetrische Systeme konzentrieren (wir glauben, dass diese Studie später auf die Kerr-Metrik ausgedehnt werden kann).

Es ist etwas seltsam, dass ein so dichtes Objekt durch eine Lösung der Gleichungen (2) beschrieben werden kann, die a priori auf einen leeren Teil des Universums verweist, in dem keine Materie-Energie vorhanden ist.

Wenn man die Beschreibung beibehält (eine spezielle Wahl von Koordinaten), ergeben sich viele Schwierigkeiten. Zum Beispiel nähert sich der grr-Term, wenn r gegen Rs geht, unendlich.

Die Signatur der Metrik, ausgedrückt mit dieser speziellen Koordinatenwahl, ist: ( + - - - ) für r > Rs ( - + - - ) für r < Rs

Wenn ein Testteilchen in die Schwarzschild-Sphäre eindringt, wird seine Masse imaginär und ihre Geschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit: Es wird zu einem Tachyon.

Bei Betrachtung der Signaturänderung sagten einige Leute:

• Kein Problem: Innerhalb der Schwarzschild-Sphäre wird r einfach zur Zeit und t zur radialen Entfernung.

Ein französischer Kosmologe, Jean Heidmann, pflegt zu sagen: „Wenn man an Schwarze Löcher denkt, muss man jeglichen gesunden Menschenverstand aufgeben.“

Übrigens gibt es sehr wenige Kandidaten für Schwarze Löcher, was der auffälligste Punkt ist. Tatsächlich wurden Supernovae, Weiße Zwerge und Neutronensterne vor ihrer Beobachtung vorhergesagt. Zum Beispiel stellte Fritz Zwicky 1931 in einer berühmten Vorlesung am Caltech das Supernova-Modell vor, bevor jemand es beobachtet hatte. Aber Jahre später wurde das Modell bestätigt und wir kennen heute Hunderte solcher Objekte. Gleiches gilt für rotierende Neutronensterne, die als Pulsare identifiziert wurden. Warum so wenige beobachtete Schwarze Löcher?

Wie dem auch sei, Astrophysiker glauben, dass Schwarze Löcher existieren, auch wenn es so wenige Beobachtungsdaten dazu gibt. Sie „nutzen“ Modelle von „Riesen-Schwarzen Löchern“, die vermutlich im Zentrum von Galaxien oder Galaxienhaufen liegen, um einige ihrer mysteriösen dynamischen Eigenschaften „zu erklären“.

Im Folgenden möchten wir ein anderes Schicksal für Neutronensterne vorschlagen, die ihre Stabilitätsgrenze überschritten haben. Beginnen wir mit der Vorstellung neuer geometrischer Werkzeuge.

2. Hypertorische Geometrie.

Betrachten wir die riemannsche Metrik g in zwei Dimensionen, deren Linielement, ausgedrückt mit einem Paar von Koordinaten [ r , j ] ist:

(3)

wobei:

auf R modulo 2 definiert ist.

Rs ist eine Konstante.

Diese Metrik wird asymptotisch euklidisch, wenn r gegen unendlich geht:

(4)

In diesem speziellen Koordinatensystem ist die Signatur: ( + , + ) für r > Rs ( - , + ) für r < Rs

Die Determinante:

(5)

wird bei r = Rs unendlich. Zeigen wir, dass dies auf diese spezielle Wahl der Koordinaten zurückzuführen ist. Führen wir die folgende Koordinatentransformation ein:

(6)

Das Linielement wird zu (7)

mit der zugehörigen Determinante:

(8)

Sie verschwindet nicht mehr für alle Werte (was außerdem zeigt, dass in einer Metrik die Nullität der Determinante des Linielements vom gewählten Koordinatensystem abhängt, wie Eddington 1924 (Ref. [10]) für die Schwarzschild-Metrik gezeigt hat). Wenn gegen null geht (was entspricht

geht diese Determinante gegen:

variiert von minus unendlich bis plus unendlich, was gleichbedeutend ist mit r ≥ Rs

Die Metrik g, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem, beschreibt eine Fläche, ein zweidimensionales Objekt. Diese besitzt ihr eigenes System von Geodäten, das grundsätzlich koordinatenunabhängig ist. Untersuchen wir dieses System in einem Koordinatensystem mittels der Lagrange-Gleichungen. Führen wir die folgende Funktion F ein:

(9)

Die entsprechenden Lagrange-Gleichungen sind:

(10)

(11)

Gleichung (11) ergibt:

(12)

h ist positiv, negativ oder null. Außerdem, wenn man in (3) beide Seiten durch teilt, erhält man klassisch:

(13)

aus der sich die Differentialgleichung ableiten lässt, die die ebenen Geodäten im Koordinatensystem beschreibt:

(14)

Die Bedingung |h| ≤ r, gemäß (12), bedeutet, dass der Betrag des Kosinus des Winkels zwischen der Tangente an die Geodäte und dem radialen Vektor ≤ 1 ist.

Platzieren wir nun die Fläche in R3, indem wir eine zusätzliche Einbettungskoordinate z hinzufügen. Wir wählen zylindrische Koordinaten

Die Fläche ist axial symmetrisch bezüglich der z-Achse.

Die Geodäten ( = konstant) sind die Meridiane dieser Fläche, wobei:

(15)

was sofort die Gleichung der Meridiankurve dieser Fläche, eingebettet in R3, ergibt. Es handelt sich um die Parabel:

(16)

Abbildung 1 zeigt eine 3D-Darstellung dieser Fläche, eingebettet in R3, zusammen mit einer Geodäte und ihrer Projektion auf eine Ebene mit Polarkoordinaten.

Diese Fläche ist nicht einfach zusammenhängend. Unter den Bahnen des Isometriegruppen O2 findet man einen Kreis mit minimalem Umfang: den Halskreis (p = 2 Rs).

Abb. 1: Die Fläche, eingebettet in R3

und ihre Darstellung in einem Koordinatensystem.

Auf Abbildung 2 sind mehrere Geodäten dargestellt, in diesem Darstellungssystem.

Abb. 2: Darstellung einiger Geodäten. Abb. 3: Eine besondere Geodäte, die den Halskreis durchquert.

Beachten Sie, dass diese Darstellung der Geodäten in einer Ebene nicht isometrisch ist. Wenn wir die Länge auf dieser Ebene messen, entspricht sie nicht der Länge, wie sie auf der Fläche gemessen wird.

Wenn wir verlangen, dass die Länge dS reell ist, sehen wir, dass sie bestimmt, was wir die lokale Topologie nennen könnten. Bezeichnen wir eine solche geometrische Struktur als toroidale Brücke. Man kann auch sagen, dass diese Fläche eine lokale toroidale Topologie besitzt. Sie besitzt nur eine Falte, die als Vereinigung zweier begrenzter Halbfalten betrachtet werden kann, die entlang ihrer kreisförmigen Ränder entlang des Halskreises, dessen Umfang 2 Rs ist, miteinander verklebt sind. Diese Kreise sind keine Geodäten (außer dieser besonderen Geodäte, dem Halskreis, der einzige geschlossene ist). Auf jeder Halbfalte nähert sich die Metrik, wenn die Entfernung zum „toroidalen Brücke“ gegen unendlich geht, der euklidischen Metrik (2). Auf Abbildung 2, entsprechend einer Darstellung [r, θ], sind die oberen Teile der Geodäten, die den Halskreis durchqueren, durch durchgezogene Linien dargestellt, während die Teile, die der anderen Halbfalte entsprechen, durch gestrichelte Linien dargestellt sind. Beachten Sie, dass eine Halbfalte (θ ∈ [0, π]) entspricht, wobei die andere (θ ∈ [π, 2π]) entspricht. Der Halskreis entspricht θ = 0. Zusammenfassung Nächste Seite

Die Metrik g, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem, beschreibt eine Fläche, ein zweidimensionales Objekt. Diese besitzt ihr eigenes Geodäten-System, das grundsätzlich koordinateninvariant ist. Untersuchen wir dieses System in einem Koordinatensystem mittels der Lagrangeschen Gleichungen. Führen wir die folgende Funktion F ein:

(9)

Die entsprechenden Lagrangeschen Gleichungen lauten:

(10)

(11)

Gleichung (11) ergibt:

(12)

h ist positiv, negativ oder null. Außerdem ergibt sich aus der Division beider Seiten von (3) durch , klassisch:

(13)

Aus dieser Gleichung lässt sich die Differentialgleichung ableiten, die die ebenen Geodäten im Koordinatensystem beschreibt:

(14)

Die Bedingung |h| ≤ r, gemäß (12), bedeutet, dass der Betrag des Kosinus des Winkels zwischen der Tangente an die Geodäte und dem radialen Vektor ≤ 1 ist.

Setzen wir nun die Fläche in R3 ein, indem wir eine zusätzliche Einbettungskoordinate z hinzufügen. Wir wählen zylindrische Koordinaten:

Die Fläche ist achsensymmetrisch bezüglich der z-Achse.

Die Geodäten ( = konstant) sind die Meridiane dieser Fläche, wobei gilt:

(15)

was sofort die Gleichung der Meridiankurve dieser Fläche in R3 ergibt. Es handelt sich um die Parabel:

(16)

Abbildung 1 zeigt eine dreidimensionale Darstellung dieser Fläche in R3, zusammen mit einer Geodäte und ihrer Projektion in eine Ebene mit polaren Koordinaten.

Diese Fläche ist nicht einfach zusammenhängend. Unter den Bahnen der Isometriegruppe O2 finden wir einen Kreis mit minimalem Umfang: den Halskreis (p = 2 Rs).

Abb. 1: Die Fläche, eingebettet in R3

und ihre Darstellung in einem Koordinatensystem.

In Abbildung 2 sind mehrere Geodäten in diesem Darstellungssystem dargestellt.

Abb. 2: Darstellung einiger Geodäten. Abb. 3: Eine besondere Geodäte, die den Halskreis durchquert.

Beachten Sie, dass diese Darstellung der Geodäten in einer Ebene nicht isometrisch ist. Wenn wir die Länge auf dieser Ebene messen, entspricht sie nicht der Länge, die auf der Fläche gemessen wird.

Wenn wir verlangen, dass die Länge dS reell ist, erkennen wir, dass dies bestimmt, was wir als lokale Topologie bezeichnen könnten. Nennen wir eine solche geometrische Struktur eine toroidale Brücke. Wir können auch sagen, dass diese Fläche eine lokale toroidale Topologie besitzt. Sie besitzt eine einzige Falte, die als ein Paar zweier beschränkter Halbfalten aufgefasst werden kann, die entlang ihres kreisförmigen Randes entlang des Halskreises miteinander verklebt sind, dessen Umfang 2 Rs beträgt. Diese Kreise sind keine Geodäten (außer dieser sehr speziellen Geodäte, dem Halskreis, der einzigen geschlossenen). Auf jeder Halbfalte nähert sich die Metrik bei zunehmender Entfernung vom „toroidalen Brücken“ der euklidischen Metrik (2) an. In Abbildung 2, entsprechend einer [r, ]-Darstellung, sind die oberen Teile der Geodäten, die den Halskreis durchqueren, als durchgezogene Linien dargestellt, während die Teile, die der anderen Halbfalte entsprechen, als gestrichelte Linien gezeichnet sind. Beachten Sie, dass eine Halbfalte ( ) entspricht, die andere also ( ). Der Halskreis entspricht = 0. Zusammenfassung Nächste Seite