- Geodäten in einer Darstellung [r, j].
Indem man (6) in (14) einsetzt, mit dr = thr dr, erhält man: (17)
was die Darstellung [r, j] der Geodäten ergibt. Wenn r gegen null geht, geht dj/dr gegen einen endlichen Wert, so dass die Tangente des Neigungswinkels: (18)
gegen null am Ursprung geht. Das Bild des Schwarzschild-Halskreises in dieser Darstellung ist ein kegelförmiger Punkt. ** ** **
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Abbildung 4: Die Geodäte, die in Abbildung 3 gezeigt wird, in einem Koordinatensystem (r, j).
Der Schnittpunkt des Halskreises entspricht dem Punkt O
Es handelt sich um eine isometrische Darstellung der Geodäten. Beachten Sie, dass wir die Fläche auch in einer [z, r, j]-Darstellung darstellen können, aber dies ist keine isometrische Darstellung mehr. Wir erhalten dann den zugehörigen Meridian: (19)
Wenn r gegen null geht, ist z(r) linear. Wenn es gegen unendlich geht, nähert sich die Funktion einer Parabel.
Abbildung 5: Meridian der Fläche, in einer nicht-isometrischen Darstellung [r, j] der Fläche. ****
Das Bild des Schwarzschild-Halskreises in dieser Darstellung ist ein kegelförmiger Punkt. ** **
- **Erweiterung auf eine 3D-Hyperebene mit sphärischer Symmetrie. **
Dies kann auf eine 3D-Hyperebene erweitert werden, die durch das Linienelement beschrieben wird: (20)
Diese Metrik bezieht sich auf eine 3D-Hyperebene, hier in einem Koordinatensystem [r, q, j] ausgedrückt. Die Variable r ist nicht eine „radiale Entfernung“, die den „sphärischen Koordinaten“ entspricht. Wir finden ähnliche Pathologien in diesem neuen Linienelement, die durch Einführung der gleichen Koordinatentransformation (6) beseitigt werden können.
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
Das Linienelement wird dann: (21)
Seine Signatur wird ( +, +, + ) und ihre Determinante: (22)
verschwindet nicht mehr.
Die Geodäten dieser Hyperebene liegen in Ebenen. q = p/2 ist eine davon. In ihrer Darstellung [r, j] entsprechen sie denen der Abbildung 2. Die Isometriegruppe ist O3 und die entsprechenden Bahnen sind Kugeln. Unter diesen besitzt eine eine minimale Fläche (die Halskugel eines solchen 3D-Torusbriks). Die Großkreise der Kugelbahnen sind keine geodätischen Kurven, außer die besonderen, die auf der Halskugel liegen, deren Umfang 2 p Rs ist. Die Geodäten dieser besonderen Kugel sind die einzigen geschlossenen. Wir können diese besondere Geometrie eine hypertoroidale Geometrie nennen. Diese 3D-Fläche ist nicht einfach zusammenhängend. Sie besitzt einen einzigen 3D-Falten, der als ein Satz von zwei begrenzten 3D-Halbfalten betrachtet werden kann, die entlang ihres kugelförmigen Randes (der Halskugel) zusammengeklebt sind. Aus großer Entfernung von diesem „hypertoroidalen Brücke“ nähert sich die Metrik der euklidischen Metrik, hier in sphärischen Koordinaten geschrieben: (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **Schwarzschild-Geometrie. **
Klassisch wird angenommen, dass ihre Isometriegruppe SO3 × R ist, wobei R auf eindimensionale Translationen verweist. Man sagt dann, dass diese Metrik zeitunabhängig und kugelsymmetrisch ist, wobei R den zeitlichen Translationen entspricht.
In einem Koordinatensystem [x°, r, q, j], wobei x° der Zeitmarker ist, ist das Linienelement (24)
Klassisch wird x° = ct gesetzt, was den kosmischen Zeitparameter t „eines externen Beobachters“ definieren soll. Wenn r >> Rs, nähert sich (21) der Minkowski-Metrik. Klassisch wird r als radiale Koordinate angesehen. (21) zeigt eine Singularität des Terms grr und eine Signaturänderung, wenn r = Rs.
Nochmals können wir diese Metrik regulieren, indem wir die Koordinatentransformation (6) verwenden und zu einem System [t, r, q, j] wechseln. Das Linienelement wird dann: (25)
Die Bahnen der O3-Isometriegruppe sind Kugeln. Unter diesen besitzt eine, die Halskugel (Schwarzschild-Kugel), eine minimale Fläche. Die Hyperebene ist nicht einfach zusammenhängend. Sie bildet einen einzigen Raum-Zeit-Falten, der als ein Satz von zwei 4D-Raum-Zeit-Halbfalten (Zwillingsfalten) betrachtet werden kann, wobei die erste r > 0 und die zweite r < 0 entspricht, wodurch die Halskugel r = 0 entspricht. Wir können die Geodäten berechnen, die in der Ebene q = p/2 liegen. Gemäß den „sphärischen Koordinaten“:
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Abbildung 6: Sphärische Koordinaten.
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Das Element ist dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
Die Kreise j = konstant sind Geodäten der Kugel, aber offensichtlich repräsentieren sie nicht alle Geodäten der Fläche. Nur diejenigen, die durch zwei antipodale Punkte (Polen) verlaufen.
Die Kreise q = konstant sind keine Geodäten, außer der, der q = p/2 entspricht (Äquator).
In einem Koordinatensystem [r ≥ Rs, j] entsprechen diese (nicht-null-längen) Geodäten: (26)
Die Wahl der Menge der Konstanten [l, h] bestimmt die Geodäte. Unter ihnen finden wir hyperbolische Geodäten, die die Halskugel r = Rs nicht schneiden. Siehe Abbildung 7.
Abbildung 7: Schwarzschild-Geometrie.
Darstellung [r, j] einer hyperbolischen, ebenen Geodäte, die die Halskugel r = Rs nicht schneidet
Wir finden auch quasi-elliptische Geodäten. Siehe Abbildung 8
**Abbildung 8: Schwarzschild-Geometrie.
Darstellung [r, j] von quasi-elliptischen Geodäten. **
Betrachten wir nun die Geodäten, die die Halskugel r = Rs schneiden. In einer Darstellung [r, j] bezeichnen wir den Winkel a zwischen der Tangente an die Geodäte und dem radialen Vektor. (27)
Die erste Lagrange-Gleichung ergibt: (28)
Für Werte r ≥ Rs ist der Parameter l strikt positiv. Eine weitere Lagrange-Gleichung ist: (29)
und gibt eine monotone Entwicklung des Winkels j im Verhältnis zur Eigenzeit s. In dieser Ebene (q = p/2) hängt die Drehung vom Vorzeichen von h ab.
Gemäß dieser neuen Interpretation der Schwarzschild-Geometrie (die als nicht einfach zusammenhängende Hyperebene betrachtet wird), können wir die Geodäte in einem [r, j]-System darstellen, wie in Abbildung 9 gezeigt.
Abbildung 9a: Darstellung [r, j] einer Geodäte, die die Halskugel **** (Schwarzschild-Kugel) schneidet, die zu h ≥ Rs gehört
Ein Teil der Geodäte ist als gestrichelte Linie dargestellt, da sie dem zweiten 3D-Halbfalten zugehört, der entlang der Halskugel, der Schwarzschild-Kugel, mit dem ersten verbunden ist. Dies deutet auf eine Unterbrechung hin. Doch diese letzte ist auf dieses besondere [r, j]-Darstellungssystem zurückzuführen, das uns Menschen mit unserer (beschränkten) geometrischen Intuition vertrauter ist. In einem 3D-Darstellungsspace erhalten wir Abbildung 9b. Die Teilchen wirken „wie abprallend“ auf der Schwarzschild-Kugel.
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Abbildung 9b: Im 3D-euklidischen Darstellungsspace wirken die Teilchen wie abprallend auf der Schwarzschild-Kugel.
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Aus dieser Sicht gibt es „nichts innerhalb der Schwarzschild-Kugel“, denn in diesem „Inneren“ sind wir einfach „außerhalb der Hyperebene“. Erinnern Sie sich daran, dass die Halskugel, die Schwarzschild-Kugel, dem Wert r = 0 entspricht. Der erste Halbfalten entspricht (r > 0) und der zweite (r < 0).
In einer Darstellung [r, j] wird das Aussehen der Geodäte ziemlich anders. Berechnen wir die Tangente des Winkels b, zwischen der Geodäte und dem radialen Vektor (siehe Abbildung 6). (30)
Wenn r gegen ±0 geht, thr ≈ r, daher: (31)
In der Darstellung [r, j] sind die Geodäten, die von einem Halbfalten zum anderen gehen, tangent zu dem radialen Vektor. Es gibt keine Winkeldiskontinuität am Ursprung mehr, dieser letzte ist das Bild des Halskreises (r = 0). Um eine vollständige Beschreibung dieser Geodäten zu erhalten, müssen wir zum Linienelement zurückkehren, das in dem Koordinatensystem [t = x°/c, r, q, j] (24) ausgedrückt ist, und die Lagrange-Gleichungen verwenden, mit: (32)
Unter diesen Gleichungen finden wir: (33)
Für einen gegebenen Wert von h ist die Entwicklung von j monoton, in Bezug auf die Eigenzeit s.
**Abbildung 10: Darstellung [r, j] einer Geodäte, die ** von einem Halbfalten (r > 0) zum anderen (r < 0) geht. **
Wie zuvor ist der Teil der Geodäte, der dem zweiten 3D-Halbfalten gehört, als gestrichelte Linie dargestellt.
Wir können keine Einbettung der 4D-Hyperebene angeben, wie wir es am Anfang des Artikels für eine 2D-Fläche getan haben. Außerdem behandeln wir hier 4D-Geodäten, nicht 3D-Geodäten. Die Räume [r, q, j] und [r, q, j] sind nichts anderes als Darstellungsräume, die dazu dienen, die Dinge etwas klarer zu machen. Die echten Geodäten sind in einem 4D-Raum eingeschrieben. Trotzdem deutet die Darstellung [r, q, j] auf einen 3D „hypertoroidalen Brücke“ hin, während die Darstellung [r, q, j] auf einen 3D „hyperischen Kegel“ hinweist. In dieser zweiten (3D) Darstellung dieser 2D-Fläche sind die Geodäten, die von einem Halbfalten zum anderen gehen, wobei sie durch den Punkt (r = 0) gehen. Dies ähnelt einem 2D-Kegel. Siehe Abbildung 11
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Abbildung 11: Geodäte eines Kegels. Rechts: Eine Fläche mit einem kegelförmigen Punkt.
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