- Die Wahl eines Zeitzeichens.
In den Koordinaten [t, r, q, j], entsprechend dem Linienelement (25), ist die Determinante des Metriktensors: (34)
die verschwindet, wenn r null wird. Dennoch zeigte Eddington [10] 1924, dass die Nullität des Metriktensors von den Koordinaten abhing. Zunächst kehren wir zur ursprünglichen Form (35) zurück:
Wir betonen, dass die Wahl des Koordinatensystems rein willkürlich ist, da der Metriktensor, Lösung der tensorialen Gleichung (36)
S = 0
grundsätzlich invariant gegenüber Koordinatentransformationen ist. Wir entscheiden, dass Teilchen Geodäten folgen. Die willkürlich gewählten Koordinaten verleihen dieser geometrischen Lösung eine physikalische Bedeutung. Wir können x° = ct wählen, wobei c eine Konstante ist. Aber wir können auch ein anderes Bezugssystem wählen. Es liegt an uns. Die einzige Bedingung für ein gewähltes chronologisches Zeichen x°, oder t, x, ist, dass der Metriktensor asymptotisch euklidisch ist: (37)
oder: (38)
wie in einem kartesischen Koordinatensystem ausgedrückt. Erinnern wir uns daran, dass ein riemannscher Metriktensor euklidisch ist, wenn man ein Koordinatensystem finden kann, in dem die quadratische Form des Linienelements konstante Koeffizienten hat. Die Menge der Vorzeichen bildet die Signatur. Wenn diese letztere (+ - - -) ist, handelt es sich um einen Minkowski-Metriktensor. (39)
als eine elementare Distanz identifiziert, erscheint es sinnvoll, zu verlangen, dass der Metriktensor asymptotisch euklidisch „im großen Abstand“ ist, unabhängig von der gewählten Definition für eine solche Distanz (r oder r, wie oben).
Die Definition des „kosmischen Zeit“ oder des „räumlichen Zeichens“ bleibt ein vollständig freier Wahl. Umgekehrt können wir die eigene Zeit s nicht verändern, oder genauer gesagt, den Zeitintervall Ds zwischen zwei gegebenen Punkten der Mannigfaltigkeit, da er grundlegend unabhängig von den Koordinaten ist. Außerdem wird angenommen, dass Teilchen in beiden Richtungen entlang einer gegebenen Geodäten bewegen können.
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Abbildung 12: Der Weg eines Teilchens entlang einer gegebenen Geodäte.
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Die Bewegung eines Testteilchens entlang einer Geodäten ist ein Phänomen. Eine andere Geodäte der Mannigfaltigkeit wird als ein „äußerer Beobachter in Ruhe“ angenommen. Aber der Ruhezustand hängt vom Koordinatenwahl (x°, x1, x2, x3) ab, die vollständig willkürlich ist.
Dieser „äußere Beobachter“ wird in einer Region der Mannigfaltigkeit angenommen, in der der Metriktensor euklidisch oder quasi-euklidisch ist, d. h. die Form (37) hat. Dann bedeuten die Ruhebedingungen, dass (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Für einen solchen ruhenden Beobachter identifiziert sich jedes eigene Zeitintervall mit dem willkürlich gewählten „kosmischen Zeitintervall“: (41)
Ds = Dx°
...Die Wahl des kosmischen Zeit ist rein willkürlich, daher hängt die Entwicklung des Testteilchens in der Zeit von dieser Wahl ab. Betrachten wir zwei Punkte A und B auf einer gegebenen Geodäten, die einem äußeren Beobachter entsprechen. Diese Punkte sind Raum-Zeit-Ereignisse. Auf Abbildung 13 werden die gestrichelten Linien als konstanter kosmischer Zeit x° angenommen.
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Abbildung 13: Ein „äußerer Beobachter in Ruhe“, „betrachtet“ die Entwicklung eines Testteilchens auf einer Geodäten. Kosmische Zeit x°
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Betrachten wir nun eine andere Wahl x für die kosmische Zeit. Siehe Abbildung 14.
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Abbildung 14: Ein „äußerer Beobachter in Ruhe“, „betrachtet“ die Entwicklung eines Testteilchens auf einer Geodäten. Kosmische Zeit x **
Wir weisen darauf hin, dass die gestrichelten Linien nicht die Bahnen der Photonen darstellen. Die Photonen bewegen sich entlang besonderer, null Geodäten, die invariant gegenüber Koordinatentransformationen sind.
Wir haben immer noch Ds(O) = Dx° = Dx, aber die Intervalle Ds'(TP) und Ds"(TP) können sehr unterschiedlich sein, obwohl sie sich auf dieselbe Geodäte beziehen, da die Paare (A',B') und (A",B") unterschiedlich sein können. Grundsätzlich hängen sie von der gewählten zeitlichen Koordinate oder dem „Zeitzeichen“ ab.
- Die zeitliche Koordinatentransformation von Eddington und ihre erweiterte Form.
Die folgende Koordinatentransformation, eingeführt von Eddington 1924, die diesen Punkt illustriert, ist: (42)
Das Linienelement wird dann: (43)
Da der Term gxx auf der Kugel r = Rs verschwindet, wird diese zu einer Oberfläche mit unendlichem Rotverschiebung (wie im klassischen Linienelement von Schwarzschild). Die Matrix wird: (44)
mit der Determinante: (45)
- r 4 sin2 q
und verschwindet nicht mehr, egal welchen Wert r hat. Aus Gründen, die später erläutert werden, erweitern wir diese Koordinatentransformation auf: (46)
Ausgedrückt im Koordinatensystem (x, r, q, j) wird das Linienelement: (47)
mit der gleichen Form (44) der Determinante. Beachten Sie, dass die Koordinatentransformation von Eddington dem Wert d = -1 entspricht. Wir untersuchen die Geodäten mit den Lagrange-Gleichungen, basierend auf der Funktion: (48)
mit:
Außerdem, aus der Ausdrucksform des Linienelements, haben wir klassisch für materielle Teilchen (ds ≠ 0): (49)
Eine Lagrange-Gleichung gibt: (50)
Betrachten wir die ebene Geodäte q = p/2, was ergibt: (51)
Entlang einer Geodäten, im Verhältnis zur eigenen Zeit s, ist die Entwicklung von j monoton. Eine andere Lagrange-Gleichung gibt: (52)
das heißt: (53)
Kombiniert mit (49), überraschenderweise verschwindet d: (54)
Beachten Sie, dass wenn dr = 0 (Geschwindigkeit null) ist, wenn r gegen Unendlich geht, dies l = 1 entspricht. Wenn r gegen Unendlich geht, gemäß (53): (55)
Wenn l ≥ 1, wenn r gegen Unendlich geht, erhalten wir: (56)
mit
wir erhalten (57)
In dem Koordinatensystem [r, j] erhalten wir für nicht-null Geodäten (ds ≠ 0) die klassische differentielle Ausdrucksform: (58)
die die Muster der Abbildungen 7, 8 und 9 liefert. Wir können nun eine neue kosmische Zeit definieren durch: (59)
x = ct
...Das Linienelement (43) bleibt asymptotisch euklidisch. Bei „großer Entfernung“ identifiziert sich die eigene Zeit Ds eines ruhenden Beobachters mit dem Intervall Dt.
- Zeitintervalle für radiale Wege.
Wir können das Zeitintervall Dt = Dx/c eines Teilchens mit nicht-nuller Masse, das einer Geodäten folgt, aus der Differentialgleichung berechnen: (60)
Für die „radialen Geodäten“ (h = 0): (61)
Nahe der Schwarzschild-Kugel erhalten wir: (62)
l = 1 entspricht einem Testteilchen, dessen Geschwindigkeit gegen Null geht.
Betrachten wir diesen speziellen Fall: (63)
Gemäß (54)
n = -1 entspricht den Wegen (dr < 0).
n = +1 entspricht den Wegen (dr > 0).
...Beachten Sie, dass die besondere Koordinatentransformation von Eddington (für r ≥ Rs) d = +1 entspricht. Wenn wir das radiale Zeitintervall Dt eines Testteilchens, im Verhältnis zu dieser neuen kosmischen Zeit, berechnen, stellen wir fest, dass dieses letztere von der Richtung der Bewegung und dem Vorzeichen von d, also dem Produkt dn, abhängt. Wenn es positiv ist, ist das Zeitintervall eines Testteilchens entlang einer radialen Geodäten (r ≥ Rs) endlich. Wenn es negativ ist, wird dieses Zeitintervall unendlich.
...Als erste Konsequenz, wenn auf das Modell eines sphärisch symmetrischen Schwarzen Lochs angewandt, liefert die Koordinatentransformation von Eddington ein endliches freies Fallzeitintervall Dt. Wenn r = Rs, wird die Geschwindigkeit des Teilchens: (64)
Ein Testteilchen, das auf die Schwarzschild-Kugel fällt, erreicht sie mit der Geschwindigkeit c.
- Geschwindigkeit des Lichts.
Photonen bewegen sich entlang null Geodäten, entsprechend: (65)
Betrachten wir die Geschwindigkeit: (66)
Gemäß (65) erhalten wir: (67)
Wenn r gegen Unendlich geht, nähert sich vj ±c.
Wenn dr < 0, haben wir n < 1. Dann, wenn r = Rs für die Wege (dr < 0): (68)
Wenn ein Testteilchen auf die Schwarzschild-Kugel fällt, erreicht es diese mit der Lichtgeschwindigkeit. Zusammenfassend: (69)
(70)
Die Lichtgeschwindigkeit ist unterschiedlich, je nachdem, ob man Wege (dr > 0) oder (dr < 0) betrachtet.
- Feldtrageffekt.
Betrachten wir den Kerr-Metriktensor: (71)
wo r eine räumliche Koordinate ist, die sich von der oben definierten unterscheidet. Wir reproduzieren einfach die Gleichung 7.110 der Referenz [1]. Berechnen wir die Geschwindigkeit des Photons (ds = 0) für Bewegungen tangential zu Kreisen (q = p/2, r = konstant). Wir erhalten: (72)
das heißt zwei unterschiedliche Werte. Dies entspricht einem azimuthalen Trageeffekt und ist eine Eigenschaft des Kerr-Metriktensors. Gemäß der Referenz [1], 7.7, „Die Kerr-Lösung und die Rotation“, lesen wir:
Ein sehr interessantes physikalisches Phänomen ergibt sich aus der rotationsartigen Natur der Kerr-Lösung; ein Körper, der sich auf einer Geodäte bewegt, erfährt eine Kraft proportional zum Parameter a, die an eine Corioliskraft erinnert. In vagen Begriffen können wir denken, dass die drehende Quelle den Raum um sie herum „träge“ macht. In einem machschen Sinne, „kämpfen“ die Quellen gegen die lorentzischen Randbedingungen im Unendlichen, um ein lokales Inertialsystem zu etablieren.
In Koordinaten von Eddington ausgedrückt, induziert das Schwarze Loch, als Quelle des Feldes, einen radialen Trageeffekt des Rahmens.
- Schwarzes Loch und weißer Zwerg.
In Abschnitt 4 haben wir eine neue Interpretation der Schwarzschild-Geometrie vorgeschlagen, bei der die Schwarzschild-Kugel, siehe Abbildung 9, wie eine Kehle wirkt, die zwei „Hälften der Raum-Zeit verbindet“. Wir können uns eine ähnliche Struktur vorstellen, die die beiden folgenden Schwarzschild-Geometrien kombiniert: (73)
(74)
Diese beiden sind aus (43) abgeleitet, wobei die erste Ausdruck (73) für d = -1 und die zweite (74) für d = +1 entspricht. Die Verbindung ist kein Problem, da d in der Berechnung der Darstellung [r, j] der Geodäten nicht vorkommt. Siehe Gleichung (58). Wir erhalten ein Paar „Schwarzes Loch - weißer Zwerg“, ohne „zentrale Singularität“. Materie kann in das Schwarze Loch eintreten, aber nicht herauskommen. Andererseits kann Materie aus dem weißen Zwerg entweichen, aber nicht hinein. Die Durchgangszeit ist in einer Richtung endlich und in der anderen unendlich. Berechnet mit der neuen kosmischen Zeit x, ist die endliche Durchgangszeit ähnlich der mit der eigenen Zeit s berechneten. Für radiale Wege: (75)
Diese Zeit ist sehr kurz. Wie dieses Papier gezeigt hat, basiert das Schwarze Loch-Modell auf einer speziellen Wahl der Koordinaten, insbesondere der kosmischen Zeit. Wie in Abschnitt 6 erwähnt, ist die Wahl des Zeitzeichens rein willkürlich. Die klassische Wahl führt zu einem quasi-stationären System, in dem die Materiefälle in das Schwarze Loch „im Zeitraum gefroren“ sind, aus der Sicht eines äußeren Beobachters. Aber dieses Papier zeigt, dass eine andere Wahl des Zeitzeichens, abgeleitet aus der Idee von Eddington, den Prozess „entfriert“. Aus dieser Sicht können Schwarze Löcher oder Paare Schwarzes Loch - weißer Zwerg nicht als dauerhafte Objekte existieren, da sie zehn Sonnenmassen pro Millisekunde verschlucken könnten. Es bleibt also eine offene Frage:
- Was passiert, wenn eine Neutronenstern die Stabilitätsgrenze überschreitet?
- Darstellungsräume.
Bevor wir einen alternativen Modellprojekt versuchen, einige Worte über das, was wir „Darstellungsräume“ nennen könnten. Am Anfang des Artikels haben wir eine 2D-Oberfläche untersucht, definiert durch ihr Linienelement. Es stellte sich heraus, dass diese Oberfläche in R3 eingebettet werden konnte, was eine isometrische Darstellung dieses geometrischen Objekts gab. Unterwegs haben wir eine Darstellung [r, j] erwähnt.
Es ist nicht möglich, eine offensichtliche Darstellung einer vierdimensionalen Hyperebene zu geben, da wir sie nicht zeichnen oder Bilder davon zeigen können. Doch die Hyperebene kann in vielen Darstellungsräumen dargestellt werden, entsprechend verschiedenen Koordinatenwahlen, da das Objekt grundlegend invariant gegenüber Koordinatentransformationen ist. Wir können beispielsweise die Transformation (6) einführen. Das Linienelement wird dann: (76)
für r > 0
und: (77)
für r < 0.
Die „radialen“ Geodäten (zum Beispiel q = p/2, dj = 0) konvergieren zum geometrischen Zentrum O des Systems (in dieser speziellen Darstellung). Dieser Punkt ist vergleichbar mit einem „hyperbolischen Punkt“. Eine Symmetrie um einen Punkt in einem 3D-Raum ist eine P-Symmetrie.
In diesem Koordinatensystem [t, r, q, j] ist das Schwarzschild-Linienelement P-symmetrisch. Es ist auch zeitunabhängig (invariant unter zeitlicher Translation, also einem stationären Zustand) und T-symmetrisch, invariant unter der Transformation:
t → -t
In Bezug auf Eddington-Koordinaten induziert das Schwarze Loch, als Quelle des Feldes betrachtet, einen radialen Rahmen-Drift.
- Schwarzes Loch und Weiße Fontäne.
In Abschnitt 4 haben wir eine neue Interpretation der Schwarzschild-Geometrie vorgeschlagen, bei der die Schwarzschild-Kugel, siehe Abbildung 9, wie eine Kehlkappenkugel wirkt, die zwei „Hälfte Raum-Zeit-Falten“ verbindet. Wir können uns eine ähnliche Struktur vorstellen, die die folgenden beiden Schwarzschild-Geometrien kombiniert: (73)
(74)
Beide stammen aus (43), wobei die erste Gleichung (73) für d = -1 und die zweite (74) für d = +1 gilt. Das Verknüpfen bereitet keine Schwierigkeiten, da d nicht in der Berechnung der [r, j]-Darstellung der Geodäten vorkommt. Siehe Gleichung (58). Wir erhalten ein Paar „Schwarzes Loch - Weiße Fontäne“, ohne „zentrale Singularität“. Materie kann in das Schwarze Loch eintreten, aber nicht herauskommen. Andererseits kann Materie aus der Weißen Fontäne entweichen, aber nicht hinein. Die Durchgangszeit ist in einer Richtung endlich und in der anderen unendlich. Berechnet mit der neuen kosmischen Zeit x ist die endliche Durchgangszeit ähnlich der mit der Eigenzeit s berechneten. Für radiale Wege: (75)
Diese Zeit ist sehr kurz. Wie in diesem Artikel gezeigt wurde, basiert das Schwarze-Loch-Modell auf einer besonderen Wahl der Koordinaten, insbesondere der kosmischen Zeit. Wie in Abschnitt 6 erwähnt, ist die Wahl des Zeitzeichens rein willkürlich. Die klassische Wahl ergibt ein quasi-stationäres System, bei dem der Fall der Materie, die in das Schwarze Loch gegossen wird, „in der Zeit eingefroren“ ist, im Vergleich zu einem äußeren Beobachter. Doch dieser Artikel zeigt, dass eine andere Wahl des Zeitzeichens, abgeleitet aus der Idee von Eddington, den Prozess „entfriert“. Aus dieser Sicht können Schwarze Löcher oder Paare aus Schwarzes Loch - Weiße Fontäne nicht als dauerhafte Objekte existieren, da sie pro Millisekunde Dutzende Sonnenmassen verschlucken könnten. Daher bleibt eine offene Frage:
- Was geschieht, wenn ein Neutronenstern seine Stabilitätsgrenze überschreitet?
- Darstellungsraum.
Bevor wir versuchen, ein alternatives Modellprojekt vorzustellen, einige Worte über das, was wir als „Darstellungsraum“ bezeichnen könnten. Am Anfang des Artikels haben wir eine 2D-Oberfläche untersucht, die durch ihr Linienelement definiert ist. Es stellte sich heraus, dass es möglich ist, diese Fläche in R3 einzubetten, was uns eine isometrische Darstellung dieses geometrischen Objekts gab. Unterwegs erwähnten wir auch eine [r, j]-Darstellung.
Es ist nicht möglich, eine offensichtliche Darstellung einer vierdimensionalen Hyperfläche zu geben, da wir sie nicht zeichnen oder Figuren zeigen können. Die Hyperfläche kann jedoch in vielen Darstellungsraumen dargestellt werden, die verschiedenen Koordinatenwahlen entsprechen, da das Objekt grundsätzlich koordinateninvariant ist. Wir können beispielsweise die Änderung (6) einführen. Dann wird das Linienelement zu: (76)
für r > 0
und: (77)
für r < 0.
„Radiale“ Geodäten (zum Beispiel q = p/2, dj = 0) konvergieren zum geometrischen Zentrum O des Systems (in dieser besonderen Darstellung). Dieser Punkt ist vergleichbar mit einem „hyperkonischen Punkt“. Eine Symmetrie bezüglich eines Punktes in einem 3D-Raum ist eine P-Symmetrie.
In diesem [t, r, q, j]-System ist das Schwarzschild-Linienelement P-symmetrisch. Es ist auch zeitunabhängig (invariant unter zeitlicher Translation, d.h. entspricht einem stationären Zustand) und T-symmetrisch, invariant unter:
t → -t