- Mehr über die Einbettung und Geodäten.
Nicht alle Flächen können in R³ eingebettet werden. Zum Beispiel betrachten wir die Metrik (134)
wobei Rs > 0 und r > 0
ist auf R modulo 2 
definiert.
Ausgedrückt mit diesen besonderen Koordinaten [ r , ], ist dieses Linienelement fast überall regulär (außer am Punkt r = 0). Ansonsten gibt es keine Probleme. Ihre isometrische Gruppe ist O₂. Die Bahnen der Gruppe sind Kreise r = konstant. Wir könnten uns vorstellen, dass diese Fläche in R³ eingebettet werden könnte, wo sie dann achsensymmetrisch um eine z-Achse erscheinen würde.
Geodäten ( = konstant ) existieren. Wir könnten denken, dass sie „Meridianlinien“ der Fläche sind und dass die Gleichung z ( ) solcher Meridiane wie wir es am Anfang des Artikels getan haben, konstruiert werden kann. Entlang der Geodäten ( = konstant ): (135)
Wenn diese Fläche in R³ eingebettet werden kann, entlang dieser Geodäten: (136)
was ergibt: (137)
Schlussfolgerung: Diese Fläche kann nicht in R³ eingebettet werden.
Diese Metrik (135) erinnert an eine abstoßende Wirkung.
Alle Flächen, wie sie durch ihre Metrik definiert sind, können nicht eingebettet werden. In jedem Fall „existieren“ diese Flächen, auch wenn wir sie nicht mit unseren Händen erfassen können. Betrachten Sie die folgende 3D-Hyperebene, definiert durch: (138)
mit Rs > 0 und r > 0
ist auf R modulo 2 definiert.
Wir können eine solche Hyperebene nicht einbetten. Aber sie existiert und besitzt „ebene Geodäten“ ( 
= /2).
Wir können das Geodäten-System dieser 2D- und 3D-Hyperebenen berechnen. Wir können sie in einer Ebene (r,) darstellen. Sie sind real. (139)
Ihr Verlauf ist identisch mit dem der beiden vorherigen Flächen, wie sie durch ihr Linienelement (134) definiert sind. Diese beiden geometrischen Objekte sind einfach zusammenhängend.
Fig. 25 : **Geodäten, die den Linienelementen **(134) **und **(138) entsprechen
(Hinweis: Sie ist ähnlich wie eine Abstoßungswirkung).
Es gibt etwas Seltsames. Gegeben ein Linienelement, können wir das Geodäten-System berechnen. Zum Beispiel das der klassischen Darstellung der Schwarzschild-Geometrie entspricht: (140)
Wir können die Kurven r () berechnen, die dieser Differentialgleichung entsprechen. Sie sind real, sogar für Werte r < Rs!
**
Fig.26: Vollständige Geodäte, die dem Schwarzschild-Linienelement entspricht.
**
Wir verstehen, warum Physiker nach der Beobachtung dieses seltsamen Ergebnisses verblüfft waren. Aber es gibt einen mathematischen Fakt: Ein Linienelement kann ein reales Geodäten-System erzeugen, wobei einige Teile einem imaginären Längenelement ds entsprechen.
Was ist mit der Physik? Wir identifizieren ds mit einem Increment der Eigenzeit. Oben haben wir beschlossen, dass imaginäres ds nicht einem physikalischen Weg entspricht, was uns zwang, die „lokale Topologie“ der Hyperebene erneut zu überprüfen, indem wir die „lokale sphäroidale Topologie“ in eine „lokale hypertoroidale Topologie“ veränderten.
In früheren Arbeiten behielten die Menschen die Hypothese der „lokalen sphäroidalen Topologie“, was die physikalische Interpretation des „Inneren“ der Schwarzschild-Kugel problematisch machte. In der Referenz [1], Abschnitt 6.8, lesen wir:
(Im Inneren der Schwarzschild-Kugel) es würde sinnvoll erscheinen, r als Zeitmarker und t als radialen Marker zu interpretieren (...) ... was implizieren würde, dass ds² < 0 entlang dieser Weltlinie.
- Die Kruskal-Erweiterung.
Im klassischen [x° , r , , ]-Koordinatensystem ist die radiale Geschwindigkeit des Lichts: (141)
wodurch sie gegen Null geht, wenn r gegen Rs geht. Das Argument von Kruskal lautet folgendes (Referenz [1], Abschnitt 6.8).
*Dies ist eine unerwünschte Eigenschaft der Schwarzschild-Koordinaten, die wir wie folgt beseitigen können; wir suchen eine Transformation für r und t zu neuen Variablen u und v, in denen das Linienelement die Form hat: (6.187)
**
...* wir kommen zu einer geeigneten Transformation für den Innenraum des Schwarzschild-Radius: * (6.204) *
*
Währenddessen, außerhalb dieser Kugel: (6.201) *
*
Die grundlegende Anforderung ist, dass f auf der Schwarzschild-Kugel r = Rs regulär ist. Noch aus [1]:
Somit dient u als globaler radialer Marker und v als globaler Zeitmarker.
Außerdem, aus (6.187), ergeben Nullgeodäten (ds = 0) eine „konstante Lichtgeschwindigkeit“: (142)
Aus (6.201) sehen wir, dass, wenn r gegen unendlich geht, f gegen Null geht, sodass Adler, Schiffer und Bazin [1] sagen:
Sie entsprechen jedoch nicht den sphärischen Koordinaten des flachen Raums bei asymptotischer Entfernung, wie die Schwarzschild-Koordinaten es tun.
Die Kruskal-Metrik ist ebenfalls eine nicht-singuläre Lösung der Einstein-Gleichungen in diesen Regionen und ist äquivalent zur Schwarzschild-Lösung, aber sie hat keine Singularität an der Grenze (die Schwarzschild-Kugel). Es handelt sich um eine analytische Erweiterung der Mannigfaltigkeit.
Kruskal konzentriert sich auf das Problem an dieser Grenze, die nicht mehr singulär ist, wobei die Singularität im „geometrischen Zentrum“ konzentriert ist, wo f gegen unendlich geht. Noch mit Referenz [1] reproduzieren wir den Abschnitt, der den radialen Pfaden der Photonen nach innen gewidmet ist:
*In Bezug auf u, v ist der Pfad einfach; in Bezug auf r und t sehen wir jedoch, dass er bei einem bestimmten r > Rs und einem bestimmten x° beginnt, sich nach innen zu r = Rs bewegt, während x° gegen unendlich geht, und die Linie x° = unendlich durchquert, um in die Schwarzschild-Kugel zu gelangen. Danach verringert sich r entlang des Pfades, aber x° verringert sich. ... Diese aktuelle Behandlung klärt auch, dass x° kein vernünftiger Zeitmarker im Inneren der Schwarzschild-Kugel ist.
Wir sehen, dass „nichts perfekt ist“. Mit seiner besonderen Wahl der Koordinaten gelingt es Kruskal, den Durchgang durch die Schwarzschild-Kugel zu bewältigen, wobei die singuläre Eigenschaft der geometrischen Lösung in eine „zentrale Singularität“ verlagert wird. Aber die Metrik ist nicht mehr lorentzisch im Unendlichen.
Dies zeigt, wie die Wahl der Koordinaten die Interpretation der Lösung verändert. Unsere Lösung bringt eine Veränderung der „lokalen Topologie“ („hypertoroidaler Brücke“) mit sich, eliminiert jedoch alle Singularitäten.
- Zurück zur Einbettung.
Der Wiener-Graustein-Satz besagt, dass jede n-dimensionale Fläche, mit n > 2, in einen Raum eingebettet werden kann, dessen minimale Dimension (143)
beträgt. Für 4D-Hyperebenen entspricht dies einem 10-dimensionalen Raum. Wir wissen, dass die Geodäten der Schwarzschild-Geometrie in Ebenen liegen. = p/2 entspricht einer davon. Wir können uns also auf einen Teil der Geodäten ( = p/2) konzentrieren. Diese Geodäten hängen von zwei Parametern l und h ab. Wir wissen, dass (l = 1) Geodäten zu Teilchen gehören, deren Geschwindigkeit im Unendlichen null ist. Außerdem wählen wir den Teil der Geodäten ( = konstant). Dann: (144)
Fügen Sie eine zusätzliche Koordinate z hinzu und schreiben Sie: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Eine Differentialgleichung, deren Lösung ist: (147)
Wir können diese Geodäten in einem 3D-Raum [z, r, ] darstellen. Sie sind Meridianlinien einer achsensymmetrischen Fläche.
Fig. 27: Der Meridian der Fläche, in der eine isometrische Einbettung der Schwarzschild-Geodäten ( = konstant) durchgeführt wird.
Im 3D-Raum sieht diese Fläche wie die Figur 28 (eine Halbschnitt) aus.
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Fig.28: Die Einbettungsfläche.
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Wenn wir die „radialen“ Geodäten darauf zeichnen, erhalten wir die Figur 29.
**Fig.29: Darstellung der „radialen“ Geodäten. Unten: ihre Projektion auf eine Ebene [ r , ]. **
Es handelt sich um eine sehr partielle Einbettung, da sie auf die Menge der „radialen“ Geodäten beschränkt ist. Die Figur 29 erinnert an eine Falte und deutet auf Enantiomorphie hin. Tatsächlich betrachten Sie eine Menge von drei Punkten, die radialen Geodäten folgen. Wir erhalten
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Fig.30-a: Drei Massenpunkte, die sich entlang „radialer“ Wege dem Hals nähern.
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und:
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Fig.30-b: Das gleiche, nachdem der Hals durchquert wurde.
Das Dreieck wurde umgedreht.
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Auf der ebenen Projektion [ r , ] ist die Orientierung des Dreiecks umgekehrt. Stellen Sie sich nun vier Testpartikel vor, die sich entlang radialer Bahnen in die Schwarzschild-Kugel bewegen und ein Tetraeder bilden. Siehe Figur 31.
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Fig.31: Vier Partikel, die sich entlang „radialer“ Geodäten in einem euklidischen 3D-Raum auf die Schwarzschild-Kugel zubewegen.
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Fig.32: Nach dem „Rückprall“ auf die Schwarzschild-Kugel bewegen sich die Partikel im Zwillingraum. Das Tetraeder ist umgedreht (Enantiomorphie)
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Gehen wir zurück zur vorherigen Darstellung. Der Normalvektor wird ebenfalls umgedreht:
**Fig.33: Eine besondere Geodäte = konstant in ihrer Darstellung im Geodäten-Set (l = 1) in einem Raum ( r ,, z ). **