Kosmologie
Fragwürdiges
Schwarzes Loch.
Jean-Pierre Petit
Observatoire de
Marseille, Frankreich
Pierre Midy
CRI Orsay, Frankreich
Für Korrespondenz: 
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Zusammenfassung
Ausgehend vom sogenannten Schwarzen-Loch-Modell, das als physikalische
Interpretation der Schwarzschild-Geometrie betrachtet wird, überdenken wir das Problem
des Schicksals eines Neutronensterns, wenn er seine Stabilitätsgrenze überschreitet. Wir
stellen zunächst ein neues geometrisches Werkzeug vor: die hypertorische Geometrie, anhand von 2d- und
3d-Beispielen (Abschnitt 2). Wir zeigen, dass Pathologien, die mit Metriken
verbunden sind und aus ihrem in einem gegebenen Koordinatensystem ausgedrückten Linienelement entstehen,
durch eine geeignetere Wahl behoben werden können, die in Begriffen der „lokalen
Topologie" formuliert wird. Zum Beispiel zeigen wir, dass in den beiden gegebenen Beispielen die 2d-Fläche
und die 3d-Hyperfläche, deren Isometriegruppen O2 bzw. O3 sind, nicht einfach
zusammenhängend sind.
Wir erweitern die Methode auf die Schwarzschild-Geometrie. Wir zeigen, dass singuläre Merkmale
vollständig eliminiert werden können, wenn man eine nicht einfach zusammenhängende Raumzeit-Hyperfläche
betrachtet. Wir geben der Schwarzschild-Geometrie eine andere physikalische Bedeutung:
eine Brücke, die zwei Universen verbindet, das unsere und ein Zwillingsuniversum.
Wir zeigen, dass der „Zeitstillstand", Eckpfeiler des Schwarzen-Loch-Modells, eine
einfache Folge einer willkürlichen besonderen Wahl der Zeitmarkierung ist. Mit
einer anderen, von Eddingtons Arbeit (1924) inspirierten, leiten wir ein völlig
anderes Szenario ab, das eine radiale Frame-Dragging-Wirkung impliziert (ähnlich dem azimutalen
Frame-Dragging der Kerr-Metrik). Wir zeigen, dass die Schwarzschild-Lösung
als eine „Raumbrücke" interpretiert werden kann, die zwei Universen, zwei Raumzeiten
verbindet und als Einbahnbrücke wirkt. Wir zeigen, dass die Transitzeit eines Testteilchens
endlich und kurz ist, was das klassische Schwarze-Loch-Modell unmittelbar fragwürdig macht.
Indem wir die Isometriegruppe der Schwarzschild-Metrik erweitern, zeigen wir, dass die
beiden Universen enantiomorph (P-symmetrisch) sind und entgegengesetzte Zeitmarkierungen besitzen
(t* = - t). Mit einem gruppentheoretischen Werkzeug: der koadjungierten Wirkung einer Gruppe auf ihrem Impulsraum,
geben wir die physikalische Bedeutung dieser „Zeitumkehr" durch die
sphärische Kehlflächen-Oberfläche, die Schwarzschild-Sphäre: Wenn ein Teilchen positiver Masse
die Raumbrücke durchquert, wird sein Beitrag zum Gravitationsfeld
umgekehrt: m* = -m (wie J.M. Souriau 1974 zeigte, ist die Umkehrung
der Zeitmarkierung äquivalent zu Massen- und Energieumkehrungen).
Da die Frage nach dem Schicksal eines destabilisierten Neutronensterns ein noch
offenes Problem bleibt, stellen wir ein Projekt eines alternativen Modells vor: den hyperspatialen
Transfer eines Teils seiner Materie durch eine Raumbrücke, wobei diese Materie
mit relativistischer Geschwindigkeit zum Zwillingsuniversum fließt.
Nebenbei erinnern wir an einige wohlbekannte Defekte des Kruskal-Modells, insbesondere
an die Tatsache, dass es im Unendlichen nicht asymptotisch lorentzsch ist.
Wir schlagen vor, die Schwarzschild-Geometrie als eine in einen zehndimensionalen Raum eingebettete
Hyperfläche zu betrachten. Indem wir die vorliegende Arbeit mit früheren, auf der Gruppentheorie
basierenden verbinden, bauen wir ein CPT-symmetrisches Modell. Die Materie-Antimaterie-
Dualität gilt in beiden Falten. Wenn Materie zum Zwillingsuniversum transferiert wird,
durchläuft sie eine CPT-Symmetrie und ihre Masse (ihr Beitrag zum Gravitationsfeld)
wird umgekehrt. Aber sie ist immer noch Materie. Ebenso bleibt in der Raumbrücke fließende
Antimaterie Antimaterie, mit entgegengesetzter Masse, denn die Umkehrung
der Zeitmarkierung impliziert, wie Souriau zeigte, die Umkehrung der Masse.
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- Das Schwarze-Loch-
Modell.
Neutronensterne
können eine kritische Masse, nahe 2,5 Sonnenmassen, nicht überschreiten. Bei höheren Massen
kann ihr Material dem enormen inneren Druck aufgrund der
Gravitationskraft nicht länger standhalten. Dann tritt ein Gravitationskollaps ein. Lange Zeit
versuchten Theoretiker, das Schicksal eines solchen Objekts zu beschreiben. Betrachtet man
die Schwarzschild-Metrik, im Folgenden in
-Koordinaten ausgedrückt, wobei Rs
der sogenannte Schwarzschild-Radius ist
(1)
so stellte man sich vor, dass
diese Lösung der Einsteinschen Gleichung:
(2)
S = 0
mit verschwindender rechter Seite
das Problem lösen könnte. Tatsächlich, wenn t als „die kosmische Zeit
eines äußeren Beobachters" gewählt wird, erweist sich die freie Fallzeit
eines Testteilchens, das einer „radialen Geodäte" von einem beliebigen entfernten Punkt
von der Schwarzschild-Sphäre r = Rs folgt, als unendlich, während diese freie Fallzeit Ds,
in Eigenzeit ausgedrückt, endlich bleibt. Dann ist die „physikalische Beschreibung"
die folgende:
-
Das Objekt (ein Neutronenstern, der seine Stabilitätsgrenze überschreitet) durchläuft einen Gravitations-
kollaps. Seine Masse fällt rasch zum „geometrischen Zentrum des Systems",
beschrieben als „zentrale Singularität". Dieses Phänomen erstreckt sich über eine endliche
Dauer Ds,
in Begriffen der Eigenzeit s. -
Aber für einen „äußeren
Beobachter", der sich in einiger Entfernung vom Objekt befindet, scheint dieser Prozess
„in der Zeit eingefroren" zu sein. Darüber hinaus ist die Schwarzschild-Sphäre eine Fläche unendlicher
Rotverschiebung (aufgrund der Nullheit des gtt-
Terms der Metrik bei r = Rs).
Dies ist das Modell
eines kugelsymmetrischen Schwarzen Lochs.
r wird mit
einer „radialen Entfernung" identifiziert, was bedeutet, dass man über „das, was innerhalb
der Schwarzschild-Sphäre ist" nachdenken kann. Grob gesagt bedeutet es, dass man annimmt,
dass die „lokale Topologie" „sphärisch" ist: Innerhalb der Schwarzschild-Sphäre
soll eine „kleinere Sphäre liegen", und so weiter, bis zum „geometrischen
Zentrum" des Objekts.
Später wurde das Modell auf axialsymmetrische Geometrie erweitert (Kerr-Metrik).
Aber diese Erweiterung bringt keine grundlegende konzeptionelle Änderung. Deshalb
werden wir uns im Folgenden auf kugelsymmetrische Systeme konzentrieren
(wir denken, dass diese Studie später auf die Kerr-Metrik erweitert werden könnte).
Es ist etwas seltsam, dass ein so sehr dichtes Objekt durch
eine Lösung der Gleichungen (2) beschrieben werden kann, die a priori auf einen leeren
Teil des Universums verweist, in dem es keine Materie-Energie gibt.
Behält man die
-Beschreibung bei (eine besondere Wahl von Koordinaten), so entstehen viele Schwierigkeiten.
Zum Beispiel, wenn r gegen Rs
strebt, strebt der grr-Term gegen unendlich.
Die Signatur der
Metrik, ausgedrückt mit dieser besonderen Wahl von Koordinaten, ist:
( + - - - ) für
r > Rs
( - + - - ) für
r < Rs
Wenn ein Testteilchen
in die Schwarzschild-Sphäre eindringt, wird seine Masse imaginär
und seine Geschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit: es wird zum Tachyon.
Angesichts des
Signaturwechsels sagten einige Leute:
- Kein Problem: Innerhalb
der Schwarzschild-Sphäre wird r einfach zur Zeit und t zur radialen Entfernung.
Ein französischer Kosmologe, Jean Heidmann, pflegte zu sagen: „Wenn wir über
Schwarze Löcher nachdenken, müssen wir jeden gesunden Menschenverstand aufgeben."
Nebenbei: Es gibt sehr wenige Kandidaten für Schwarze Löcher, was der
rätselhafteste Punkt ist. Tatsächlich wurden Supernovae, Weiße Zwerge und Neutronen-
sterne vorhergesagt, bevor sie beobachtet wurden. Zum Beispiel stellte Fritz Zwicky
das Supernova-Modell in einem berühmten Vortrag am Caltech im
Jahr 1931 vor, bevor irgendeine beobachtet wurde. Aber Jahr für Jahr wurde das Modell bestätigt
und wir kennen heute Hunderte von ihnen. Dasselbe gilt für rotierende Neutronensterne,
die mit Pulsaren identifiziert werden. Warum so wenige beobachtete Schwarze Löcher?
Wie dem auch sei, Astrophysiker glauben, dass Schwarze Löcher existieren, auch wenn es
so wenige Beobachtungsdaten über sie gibt. Sie „verwenden" Modelle von „Riesen-Schwarzen
Löchern", die sich angeblich im Zentrum von Galaxien oder Galaxienhaufen befinden, um
einige ihrer rätselhaften dynamischen Merkmale zu „erklären".
Im Folgenden
möchten wir ein anderes Schicksal für Neutronensterne vorschlagen, die ihre
Stabilitätsgrenze überschreiten. Beginnen wir damit, neue geometrische Werkzeuge einzuführen.
- Hypertorische Geometrie.
Betrachten wir die folgende
riemannsche Metrik g in zwei Dimensionen, deren Linienelement, geschrieben
mit einem Satz zweier Koordinaten [ r , j ],
lautet:
(3)
wobei
:
auf R definiert ist, modulo 2 
.
Rs ist
eine Konstante.
Diese Metrik wird
asymptotisch euklidisch, wenn r gegen unendlich strebt:
(4)
In diesem besonderen
-Koordinatensystem ist die Signatur:
( + , + ) für
r > Rs
( - , + ) für
r < Rs
Die Determinante:
(5)
wird unendlich für
r = Rs . Zeigen wir, dass dies an dieser besonderen Wahl von Koordinaten liegt.
Führen wir die folgende Koordinatenänderung ein:
(6)
Das Linienelement wird zu
(7)
dessen zugehörige Determinante
lautet:
(8)
Sie verschwindet nicht mehr für
alle 
-Werte
(was übrigens zeigt, dass in einer Metrik die Nullheit der Determinante des
Linienelements von der Wahl des Koordinatensystems abhängt, wie Eddington 1924 (Ref. [10]) für die Schwarzschild-Metrik belegte). Wenn
gegen null strebt (was
entspricht), strebt diese Determinante gegen:
variiert von - unendlich bis + unendlich, was äquivalent zu r ³
Rs ist
Die Metrik g beschreibt, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem,
eine Fläche, ein zweidimensionales Objekt. Diese letztere besitzt ihr geodätisches System,
das grundsätzlich koordinateninvariant ist. Untersuchen wir dieses System in einem
-Koordinatensystem mittels eines Lagrange-Gleichungssystems. Führen wir die folgende F-Funktion ein:
(9)
Die entsprechenden Lagrange-
Gleichungen sind:
(10)
(11)
Die Gleichung (11) ergibt
:
(12)
wobei h positiv, negativ
oder null ist. Wenn wir außerdem in (3) beide Seiten durch
dividieren, erhalten wir klassisch:
(13)
woraus wir die Differentialgleichung ableiten können, die die ebenen Geodäten im
-Koordinatensystem beschreibt:
(14)
Die Bedingung IhI
£
r gemäß (12) bedeutet, dass der Absolutwert des Kosinus des
Winkels zwischen der Tangente an die Geodäte und dem radialen Vektor £
1 ist.
Nun betten wir die
Fläche in R3 ein und fügen eine zusätzliche Einbettungskoordinate z hinzu. Wir wählen Zylinderkoordinaten
Die Fläche ist achsensymmetrisch bezüglich der z-Achse.
Die ( = konstant )-Geodäten sind die
Meridianlinien dieser Fläche, wobei:
(15)
was unmittelbar
die Gleichung der Meridiankurve dieser Fläche ergibt, wie sie in R3 eingebettet ist.
Es ist die Parabel:
(16)
Abbildung 1 zeigt eine 3d-
Ansicht dieser Fläche, wie sie in R3 eingebettet ist, plus eine Geodäte und ihre Projektion
auf eine Ebene mit
Polarkoordinaten.
Diese Fläche ist nicht einfach
zusammenhängend. Unter den Bahnen der Isometriegruppe O2 finden wir einen Kreis minimalen
Umfangs: den Kehlkreis (p = 2
Rs).
Abb. 1: Die Fläche, wie sie in R3 eingebettet ist
und ihre Darstellung in einem
-Koordinatensystem.
In Abbildung 2 sind mehrere
Geodäten in diesem
-Darstellungssystem gezeigt.
Abb. 2: Darstellung einiger Geodäten.
Abb. 3:
Eine besondere Geodäte, die den Kehlkreis durchquert.
Beachten Sie, dass diese Darstellung der Geodäten in einer Ebene
nicht isometrisch ist. Messen wir die Länge auf dieser Ebene, entspricht sie nicht
der auf der Fläche gemessenen Länge.
Wenn wir verlangen, dass die Länge dS
reell ist, sehen wir, dass sie bestimmt, was wir die lokale Topologie
nennen könnten. Nennen wir eine solche geometrische Struktur eine toroidale Brücke. Wir können
auch sagen, dass diese Fläche eine lokale toroidale Topologie besitzt. Sie besitzt
eine einzige Falte, die als eine Menge zweier begrenzter Halbfalten betrachtet werden kann,
wobei die beiden entlang ihrer kreisförmigen Ränder entlang des Kehlkreises verklebt sind,
dessen Umfang 2
Rs beträgt. Diese
Kreise sind keine geodätischen Linien (außer dieser ganz besonderen Geodäte, die
der Kehlkreis ist, der einzige geschlossene). Auf jeder Halbfalte, wenn die
Entfernung in Bezug auf die „toroidale Brücke" gegen unendlich strebt, strebt die Metrik
gegen die euklidische (2). In Abbildung 2, die einer [ r
, ]
Darstellung entspricht, wurden die oberen Abschnitte der Geodäten, die den Kehlkreis
durchqueren, als durchgezogene Linien dargestellt, während die Abschnitte, die der anderen Halbfalte entsprechen, als gepunktete Linien dargestellt wurden. Beachten Sie, dass eine
Halbfalte ( ) entspricht, während die andere (
) entspricht. Der Kehlkreis entspricht
= 0 .