- Geodäten in einer [r,j] Darstellung.
Setzt man (6) in (14) ein, mit dr = thr dr, so erhält man:
(17)
was die [r, j]-Darstellung der Geodäten ergibt. Wenn r gegen null strebt, strebt dj/dr gegen einen endlichen Wert, so dass die Tangente des Steigungswinkels:
(18)
am Ursprung gegen null strebt. Das Bild des Schwarzschild-Kehlenkreises ist in einer solchen Darstellung ein konischer Punkt.
Abb. 4: Die auf Abbildung 3 gezeigte Geodäte in einem (r, j) Koordinatensystem.
Die Durchquerung des Kehlenkreises entspricht dem Punkt O
Dies ist eine isometrische Darstellung der Geodäten.
Beachte, dass wir die Fläche auch in einer [z, r, j]-Darstellung abbilden können, aber diese ist nicht mehr isometrisch. Wir erhalten den zugehörigen Meridian:
(19)
Wenn r gegen null strebt, ist z(r) linear. Wenn es gegen unendlich strebt, strebt die Funktion gegen eine Parabel.
Abb. 5: Meridian der Fläche in einer [r, j]
nicht-isometrischen Darstellung der Fläche.
Das Bild des Schwarzschild-Kehlenkreises ist in einer solchen Darstellung ein konischer Punkt.
- Erweiterung auf eine kugelsymmetrische 3d-Hyperfläche.
Dies lässt sich auf eine 3d-Hyperfläche erweitern, wie durch das Linienelement beschrieben:
(20)
Diese Metrik bezieht sich auf eine 3d-Hyperfläche, hier ausgedrückt in einem [r, q, j]-Koordinatensystem. Die Variable r ist keine „radiale Distanz", die „Kugelkoordinaten" entspricht. Wir finden ähnliche Pathologien in diesem neuen Linienelement wieder, die durch Einführung derselben Koordinatenänderung (6) beseitigt werden können.
[r, q, j] → [r, q, j]
Dann wird dieses Linienelement zu:
(21)
Seine Signatur wird zu (+, +, +) und seine Determinante:
(22)
verschwindet nicht mehr.
Die Geodäten dieser Hyperfläche liegen in Ebenen. q = p/2 ist eine von ihnen. In ihrer [r, j]-Darstellung sind sie mit denen von Abbildung 2 identisch. Die Isometriegruppe ist O3 und die entsprechenden Bahnen sind Sphären. Unter diesen besitzt eine eine minimale Fläche (die Kehlensphäre dieser 3d-toroidalen Brücke). Die Großkreise der Sphären-Bahnen sind keine geodätischen Kurven, außer den besonderen, die auf der Kehlensphäre liegen, deren Umfang 2 p Rs beträgt. Die Geodäten dieser besonderen Sphäre sind die einzigen geschlossenen. Wir können dieses besondere geometrische Gebilde eine hypertoroidale Geometrie nennen. Diese 3d-Fläche ist nicht einfach zusammenhängend. Sie besitzt eine einzige 3d-Falte, die als eine Menge zweier begrenzter halber 3d-Falten betrachtet werden kann, die entlang ihres sphärischen Randes (der Kehlensphäre) zusammengeklebt sind. In großer Entfernung von dieser „hypertoroidalen Brücke" strebt die Metrik gegen die euklidische, im Folgenden in Kugelkoordinaten geschrieben:
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- Schwarzschild-Geometrie.
Klassischerweise nimmt man an, dass ihre Isometriegruppe SO3 X R ist, wobei sich R auf eindimensionale Translationen bezieht. Dann pflegt man zu sagen, dass diese Metrik zeitunabhängig und kugelsymmetrisch ist, wobei man annimmt, dass R Zeittranslationen entspricht.
Ausgedrückt in einem [x�, r, q, j]-Koordinatensystem, wobei x� der Zeitmarker ist, lautet das Linienelement
(24)
Klassischerweise schreibt man x� = ct, was die kosmische Zeit t „eines äußeren Beobachters" definieren soll. Wenn r >> Rs, strebt (21) gegen die Minkowski-Metrik. Klassischerweise wird r einer radialen Koordinate gleichgesetzt. (21) zeigt eine Irregularität des Terms grr und einen Wechsel der Signatur bei r = Rs.
Wiederum können wir diese Metrik regularisieren, indem wir die Koordinatenänderung (6) verwenden und zu einem [t, r, q, j]-System übergehen. Dann wird das Linienelement zu:
(25)
Die Bahnen der O3-Isometriegruppe sind Sphären. Unter dieser Menge besitzt eine, die Kehlensphäre (Schwarzschild-Sphäre), eine minimale Fläche. Die Hyperfläche ist nicht einfach zusammenhängend. Sie bildet eine einzige Raum-Zeit-Falte, die als eine Menge zweier halber 4d-Raum-Zeit-Falten (Zwillingsfalten) betrachtet werden kann, wobei die erste r > 0 und die zweite r < 0 entspricht, weshalb die Kehlensphäre r = 0 entspricht. Wir können die Geodäten berechnen, die in der q = p/2-Ebene liegen. Gemäß: „Kugelkoordinaten":
Abb. 6: Kugelkoordinaten.
Das Element ist dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
Die Kreise j = konstant sind Geodäten der Sphäre, aber offensichtlich repräsentieren sie nicht alle Geodäten der Fläche. Nur diejenigen, die durch zwei antipodale Punkte (Pole) verlaufen.
Die Kreise q = konstant sind keine Geodäten, außer demjenigen, der q = p/2 (Äquator) entspricht.
In einem [r � Rs, j]-Koordinatensystem entsprechen diese (nicht-null-Längen-)Geodäten:
(26)
Die Wahl der Konstantenmenge [l, h] bestimmt die Geodäte. Unter ihnen finden wir hyperbelartige Geodäten, die die Kehlensphäre r = Rs nicht schneiden. Siehe Abbildung 7.
Abbildung 7: Schwarzschild-Geometrie. [r, j] Darstellung einer hyperbelartigen ebenen Geodäte,
die die Kehlensphäre r = Rs nicht schneidet
Wir finden auch quasi-elliptische Geodäten. Siehe Abbildung 8
Abb. 8: Schwarzschild-Geometrie. [r, j] Darstellung quasi-elliptischer Geodäten.
Konzentrieren wir uns nun auf Geodäten, die die Kehlensphäre r = Rs schneiden. In einer [r, j]-Darstellung sei a der Winkel zwischen der Tangente an die Geodäte und dem Radialvektor.
(27)
Die erste Lagrange-Gleichung ergibt:
(28)
Für Werte r � Rs ist der Parameter l strikt positiv. Eine weitere Lagrange-Gleichung ist:
(29)
und ergibt eine monotone Entwicklung des Winkels j bezüglich der Eigenzeit s. In dieser (q = p/2)-Ebene hängt das Wirbeln vom Vorzeichen von h ab.
Gemäß dieser neuen Interpretation der Schwarzschild-Geometrie (betrachtet als eine nicht einfach zusammenhängende Hyperfläche) können wir die Geodäte in einer [r, j]-Darstellung abbilden, wie in Abbildung 9 gezeigt.
Abbildung 9a: [r, j] Darstellung einer Geodäte, die die Kehlensphäre (Schwarzschild-Sphäre) schneidet, entsprechend h � Rs
Ein Teil der Geodäte wurde als gestrichelte Linie gezeichnet, da er annahmegemäß zur zweiten halben 3d-Falte gehört, die mit der ersten entlang der Kehlensphäre, der Schwarzschild-Sphäre, verbunden ist. Es deutet einen Bruch an. Dieser ist jedoch durch dieses besondere [r, j]-Darstellungssystem bedingt, das unserer (armen) menschlichen geometrischen Intuition vertrauter ist. In einem 3d-Darstellungsraum erhalten wir Abbildung 9b. Teilchen „prallen" gleichsam auf der Schwarzschild-Sphäre ab.
Abb. 9b: Im 3d-euklidischen Darstellungsraum prallen Teilchen gleichsam auf der Schwarzschild-Sphäre ab.
Aus diesem Blickwinkel „gibt es nichts innerhalb der Schwarzschild-Sphäre", denn in diesem „Inneren" sind wir einfach „außerhalb der Hyperfläche". Erinnere daran, dass die Kehlensphäre, die Schwarzschild-Sphäre, dem Wert r = 0 entspricht. Die erste halbe Falte entspricht (r > 0) und die zweite (r < 0).
In einer [r, j]-Darstellung wird der Aspekt der Geodäte ziemlich anders. Berechnen wir die Tangente des Winkels b zwischen der Geodäte und dem Radiusvektor (siehe Abbildung 6).
(30)
Wenn r gegen � 0 thr � r strebt, weshalb:
(31)
In der [r, j]-Darstellung sind die Geodäten, die von einer halben Falte zur anderen verlaufen, tangential zum Radialvektor. Es gibt keinen Winkelbruch mehr am Ursprung, wobei dieser das Bild des Kehlenkreises (r = 0) ist. Um eine vollständige Beschreibung dieser Geodäten zu erhalten, müssen wir zum Linienelement zurückkehren, wie es im [t = x�/c, r, q, j]-Koordinatensystem (24) ausgedrückt ist, unter Verwendung des Lagrange-Gleichungssystems, mit:
(32)
Unter diesen Gleichungen finden wir:
(33)
Für einen gegebenen h-Wert ist die Entwicklung von j monoton bezüglich der Eigenzeit s.
Abb. 10: [r, j] Darstellung einer Geodäte, die von einer halben Falte (r > 0) zur anderen (r < 0) übergeht.
Wie zuvor wurde der Teil der Geodäte, der zur zweiten halben 3d-Falte gehört, als gestrichelte Linie gezeichnet.
Wir können keine Einbettung der 4d-Hyperfläche angeben, wie wir es zu Beginn des Artikels für eine 2d-Fläche getan haben. Übrigens haben wir es mit 4d-Geodäten zu tun, nicht mit 3d. [r, q, j]- und [r, q, j]-Räume sind nichts anderes als Darstellungsräume, die die Dinge etwas klarer machen sollen. Die wirklichen Geodäten sind in einen 4d-Raum eingeschrieben. Jedenfalls legt die [r, q, j]-Darstellung eine gewisse 3d-„hypertoroidale Brücke" nahe, weshalb die [r, q, j]-Darstellung einen gewissen 3d-„Hyperkegel" nahelegt. In dieser zweiten (3d-)Darstellung einer solchen 2d-Fläche sind es Geodäten, die von einer halben Falte zur anderen verlaufen und durch den (r = 0)-Punkt gehen. Dies ist einem 2d-Kegel ähnlich. Siehe Abbildung 11
Abb. 11: Geodäte eines Kegels. Rechts:
eine Fläche mit einem konischen Punkt.