- Die Wahl eines Zeitmarkers.
In den [ t , r , q , j ]-Koordinaten, die dem Linienelement (25) entsprechen, ist die Determinante der Metrik:
(34)
die verschwindet, wenn r null wird. Jedenfalls zeigte Eddington 1924 [10], dass die Nullität der Metrik koordinatenabhängig war. Kehren wir zunächst zur ursprünglichen Form zurück
(35)
Bestehen Sie auf der Tatsache, dass die Wahl des Koordinatensystems eine rein willkürliche ist, denn die Metrik, Lösung der Tensorform-Gleichung
(36)
S
= 0
ist grundsätzlich koordinateninvariant. Wir entscheiden, dass Teilchen Geodäten folgen. Die willkürlich gewählten Koordinaten bringen die physikalische Bedeutung dieser geometrischen Lösung. Wir können x� = ct wählen, wobei c eine Konstante ist. Aber wir können ein anderes Bezugssystem wählen. Es liegt an uns. Die einzige Anforderung für einen gewählten chronologischen Marker x� oder t , x ist, dass die Metrik asymptotisch euklidisch wäre:
(37)
oder:
(38)
wie in kartesischem Koordinatensystem ausgedrückt. Denken Sie daran, dass eine riemannsche Metrik euklidisch ist, wenn man ein Koordinatensystem finden kann, in dem die quadratische Form des Linienelements konstante Koeffizienten hat. Die Menge der Vorzeichen ist die Signatur.
Wenn diese letzte ( + - - - ) ist, ist dies eine Minkowski-Metrik.
(39)
da sie mit einer elementaren Distanz identifiziert wird, scheint es eine vernünftige Anforderung zu sein, der Metrik aufzuerlegen, asymptotisch euklidisch "in großer Entfernung" zu sein, unabhängig von der gewählten Definition für eine solche Distanz ( r oder r , von oben).
Die Definition der "kosmischen Zeit" oder des "Raummarkers" bleibt eine völlig freie Wahl. Umgekehrt können wir die Eigenzeit s oder, genauer gesagt, das Zeitintervall Ds zwischen zwei gegebenen Punkten der Mannigfaltigkeit nicht ändern, denn es ist grundsätzlich koordinatenunabhängig. Zusätzlich nimmt man an, dass Teilchen sich in beide Richtungen entlang einer gegebenen Geodäte bewegen können.
Abb. 12: Die Bewegung eines Teilchens auf einer gegebenen Geodäte.
Die Bewegung eines Testteilchens entlang einer Geodäte ist ein Phänomen. Eine andere Geodäte der Mannigfaltigkeit soll sich auf einen "externen Beobachter in Ruhe" beziehen. Aber der Ruhezustand hängt von der Koordinatenwahl (x�, x1 , x2 , x3) ab, die völlig willkürlich ist.
Dieser "externe Beobachter" soll sich in einem Teil der Mannigfaltigkeit befinden, wo die Metrik euklidisch oder quasi-euklidisch ist, d.h. die Form (37) hat. Dann bedeutet die Ruhebedingung, dass
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Für einen solchen Ruhezustandsbeobachter identifiziert sich jedes Eigenzeitintervall mit dem zugehörigen willkürlich gewählten "kosmischen Zeitintervall":
(41)
Ds
= Dx�
...Die Wahl der kosmischen Zeit ist rein willkürlich, die zeitliche Entwicklung des Testteilchens hängt von dieser Wahl ab. Betrachten Sie zwei Punkte A und B auf einer gegebenen Geodäte, die sich auf einen externen Beobachter beziehen soll. Diese Punkte sind Raum-Zeit-Ereignisse. In Abbildung 13 sollen die gepunkteten Linien sich auf konstante kosmische Zeit x� beziehen.
Abb. 13: Ein "externer Beobachter in Ruhe", der die Entwicklung eines Testteilchens auf einer Geodäte "betrachtet". Kosmische Zeit x�
Betrachten Sie nun eine andere Wahl x für die kosmische Zeit. Siehe Abbildung 14.
Abb. 14: Ein "externer Beobachter in Ruhe", der die Entwicklung eines Testteilchens auf einer Geodäte "betrachtet". Kosmische Zeit x
Präzisieren wir, dass gepunktete Linien keine Photonenbahnen sind. Photonen bewegen sich auf eigentümlichen Null-Geodäten, die koordinateninvariant sind.
Wir haben immer noch Ds(O) = Dx� = Dx, aber die Intervalle Ds'(TP) und Ds"(TP) können ziemlich unterschiedlich sein, obwohl sie sich auf dieselbe Geodäte beziehen, denn die Paare (A',B') und (A",B") können sich unterscheiden. Grundsätzlich hängen sie von der gewählten Zeitkoordinate oder dem "Zeitmarker" ab.
- Die Eddingtonsche Zeitkoordinatenänderung und ihre erweiterte Form.
Die folgende Koordinatenänderung, die 1924 von Eddington eingeführt wurde, eine Illustration dieses Punktes, ist:
(42)
Dann wird das Linienelement
(43)
Da der gxx-Term auf der Sphäre r = Rs null wird, ist diese letzte eine Fläche unendlicher Rotverschiebung (wie im klassischen Schwarzschild-Metrik-Linienelement). Die Matrix wird:
(44)
deren Determinante ist:
(45)
- r 4
sin2 q
und nicht mehr verschwindet, welcher r-Wert auch immer ist. Aus Gründen, die später erklärt werden, erweitern wir diese Koordinatenänderung auf:
(46)
Ausgedrückt mit dem ( x , r , q , j )-Koordinatensystem wird das Linienelement:
(47)
dessen Determinante dieselbe Form (44) hat. Beachten Sie, dass die Eddingtonsche Koordinatenänderung dem Wert d = - 1 entspricht.
Wir untersuchen die Geodäten mit den Lagrange-Gleichungen, basierend auf der Funktion:
(48)
mit:
Zusätzlich haben wir klassisch aus dem Linienelement-Ausdruck für materielle Teilchen (ds � 0):
(49)
Eine Lagrange-Gleichung ergibt:
(50)
Betrachten Sie die ebene Geodäte q = p/2 , die ergibt:
(51)
Entlang einer Geodäte ist die Entwicklung von j in Bezug auf die Eigenzeit s monoton. Eine andere Lagrange-Gleichung ergibt:
(52)
d.h.:
(53)
In Kombination mit (49) verschwindet überraschenderweise d:
(54)
Beachten Sie, dass wenn dr = 0 (Nullgeschwindigkeit), wenn r gegen unendlich tendiert, dies l = 1 entspricht. Wenn r gegen unendlich tendiert, nach (53):
(55)
Wenn l � 1 , wenn r gegen unendlich tendiert, erhalten wir:
(56)
mit
erhalten wir
(57)
Im [ r , j ] finden wir für nicht-null Geodäten (ds � 0) den differentiellen Ausdruck der klassischen Form wieder:
(58)
der Muster der Abbildungen 7, 8 und 9 liefert. Nun können wir eine neue kosmische Zeit definieren durch:
(59)
x = ct
...Das Linienelement (43) ist immer noch asymptotisch euklidisch. In "großer Entfernung" identifiziert sich die Eigenzeit Ds eines Ruhebeobachters mit dem Intervall Dt.
- Zeitintervalle für radiale Bahnen.
Wir können das Zeitintervall Dt = Dx/c eines Teilchens mit nicht-null Masse, das einer Geodäte folgt, durch die Differentialgleichung berechnen:
(60)
Für "radiale Geodäten" ( h = 0 ):
(61)
Nahe der Schwarzschild-Sphäre erhalten wir:
(62)
l = 1 entspricht einem Testteilchen, dessen Geschwindigkeit im Unendlichen gegen null tendiert.
Betrachten Sie diesen besonderen Fall:
(63)
Aus (54)
n = - 1 entspricht (dr < 0)-Bahnen.
n = +1 entspricht (dr > 0)-Bahnen.
...Beachten Sie, dass die besondere Eddingtonsche Koordinatenänderung (für r � Rs) d = + 1 entspricht. Wenn wir die radiale Reisezeit Dt eines Testteilchens in Bezug auf diese neue kosmische Zeit berechnen, finden wir, dass diese letzte von der Richtung dieser Bewegung und vom Vorzeichen von d abhängt, d.h. vom Produkt dn. Wenn es positiv ist, ist die Reisezeit eines Testteilchens entlang einer radialen Geodäte (r � Rs) endlich. Wenn es negativ ist, wird diese Reisezeit unendlich.
...Als erste Konsequenz, wenn auf das kugelsymmetrische Schwarze-Loch-Modell angewendet, ergibt die Eddingtonsche Koordinatenänderung eine endliche Freifallzeit Dt. Wenn r = Rs wird die Geschwindigkeit des Teilchens:
(64)
Ein Testteilchen, das zur Schwarzschild-Sphäre fällt, erreicht sie mit der Geschwindigkeit c.
- Lichtgeschwindigkeit.
Photonen bewegen sich auf Null-Geodäten, entsprechend:
(65)
Betrachten Sie die Geschwindigkeit:
(66)
Aus (65) erhalten wir:
(67)
Wenn r gegen unendlich tendiert, tendiert vj gegen � c .
Wenn dr < 0 haben wir n < 1 . Dann, wenn r = Rs für (d r< 0)-Bahnen:
(68)
Wenn ein Testteilchen zur Schwarzschild-Sphäre entlang einer radialen Bahn fällt, erreicht es sie mit der Lichtgeschwindigkeit.
Zusammengefasst:
(69)
(70)
Die Lichtgeschwindigkeit ist unterschiedlich, wenn man (dr > 0)- oder (d r< 0)-Bahnen betrachtet.
- Der Frame-Dragging-Effekt.
Betrachten Sie die Kerr-Metrik:
(71)
wobei r eine Raumkoordinate ist, die sich von der oben definierten unterscheidet. Wir reproduzieren lediglich die Gleichung 7.110 der Referenz [1].
Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Photons (ds = 0) für Bewegungen, die tangential zu Kreisen sind (q = p/2, r = konstant). Wir finden:
(72)
d.h. zwei verschiedene Werte. Dies entspricht einem azimutalen Frame-Dragging und ist eine Eigenschaft der Kerr-Metrik. Aus Referenz [1], 7.7, "Die Kerr-Lösung und Rotation" lesen wir:
Ein sehr interessanter physikalischer Effekt ergibt sich aus der Rotationsnatur der Kerr-Lösung; ein Körper in geodätischer Bewegung erfährt eine Kraft proportional zum Parametera die an eine Corioliskraft erinnert. Grob gesprochen können wir uns die rotierende Quelle so vorstellen, dass sie den Raum um sich herum "mitzieht". Im Machschen Sinne "konkurriert" die Quelle mit den Lorentzschen Randbedingungen im Unendlichen bei der Etablierung eines lokalen Inertialsystems.
In Eddingtonschen Koordinaten umformuliert, induziert das Schwarze Loch, betrachtet als Feldquelle, ein radiales Frame-Dragging.
- Schwarzes Loch und weißer Springbrunnen.
In Abschnitt 4 haben wir eine neue Interpretation der Schwarzschild-Geometrie vorgeschlagen, wo die Schwarzschild-Sphäre, siehe Abbildung 9, sich wie eine Kehl-Sphäre verhält, die zwei "Halb-Raum-Zeit-Falten" verbindet. Wir können uns eine ähnliche Struktur vorstellen, die die beiden folgenden Schwarzschild-Geometrien kombiniert:
(73)
(74)
Diese beiden sind aus (43) abgeleitet, wobei das erste Linienelement (73) d = -1 und das zweite (74) d = +1 entspricht. Die Verknüpfung bereitet keine Schwierigkeit, da d nicht in der Berechnung der [ r, j ]-Darstellung der Geodäten erscheint. Siehe Gleichung (58). Wir erhalten ein Paar "Schwarzes Loch-weißer Springbrunnen", ohne "zentrale Singularität". Materie kann in das Schwarze Loch eintreten, aber nicht herausgehen. Auf der anderen Seite kann Materie aus dem weißen Springbrunnen herausfließen, aber nicht hineingelangen. Die Durchgangszeit ist in einer Richtung endlich und entlang der anderen unendlich. Berechnet mit der neuen kosmischen Zeit x ist die endliche Durchgangszeit ähnlich der mit der Eigenzeit s berechneten. Für radiale Bahnen:
(75)
Diese Zeit ist sehr kurz. Wie in diesem Artikel gezeigt wurde, basiert das Schwarze-Loch-Modell auf einer besonderen Wahl der Koordinaten und insbesondere der kosmischen Zeit. Wie in Abschnitt 6 betont, ist die Wahl des Zeitmarkers rein willkürlich. Die klassische ergibt ein quasi-stationäres System, wo der Fall der in das Schwarze Loch gegossenen Materie in Bezug auf einen externen Beobachter "in der Zeit eingefroren" ist. Aber der vorliegende Artikel zeigt, dass eine andere Wahl des Zeitmarkers, abgeleitet aus Eddingtons Idee, den Prozess "auftaut". Aus diesem Blickwinkel können Schwarze Löcher oder Paare Schwarzes Loch-weißer Springbrunnen nicht als permanente Objekte existieren, denn sie können Dutzende Sonnenmassen pro Millisekunde verschlingen. So dass es immer noch eine offene Frage gibt:
- Was geschieht, wenn ein Neutronenstern seine Stabilitätsgrenze überschreitet?
- Darstellungsraum.
Bevor wir versuchen, ein alternatives Modellprojekt zu präsentieren, einige Worte zu dem, was wir "Darstellungsräume" nennen könnten. Zu Beginn des Artikels haben wir eine 2d-Oberfläche untersucht, wie durch ihr Linienelement definiert. Es erschien möglich, diese Oberfläche in R3 einzubetten, was eine isometrische Darstellung dieses geometrischen Objekts ergab. Übrigens erwähnten wir eine [r,j]-Darstellung.
Es ist nicht möglich, eine offensichtliche Darstellung einer vierdimensionalen Hyperfläche zu geben, denn wir können sie nicht zeichnen und Abbildungen zeigen. Aber die Hyperfläche kann in vielen Darstellungsräumen abgebildet werden, entsprechend verschiedenen Koordinatenwahlen, denn das Objekt ist grundsätzlich koordinateninvariant. Wir können zum Beispiel die Änderung (6) einführen. Dann wird das Linienelement:
(76)
für r > 0
und:
(77)
für r < 0.
"Radiale" Geodäten (Zum Beispiel q = p/2 , dj = 0 ) fokussieren auf das geometrische Zentrum O des Systems (in dieser besonderen Darstellung). Dieser Punkt ist mit einem "hyperkonischen Punkt" vergleichbar.
Eine Symmetrie in Bezug auf einen Punkt in einem 3d-Raum ist eine P-Symmetrie.
In diesem [ t , r , q , j ] ist das Schwarzschild-Linienelement P-symmetrisch. Es ist auch zeitunabhängig (invariant durch Zeitverschiebung, d.h. entspricht einem stationären Zustand) und T-symmetrisch, invariant durch:
t � - t