- Mehr über Einbettung und Geodäten.
Nicht alle Flächen können in R3 eingebettet werden. Betrachten wir zum Beispiel die Metrik
(134)
wobei Rs
0 und r > 0
auf R modulo 2 
definiert ist
Mit diesen eigentümlichen Koordinaten [ r , ] ausgedrückt,
ist dieses Linienelement fast überall regulär (außer am Punkt r = 0).
Andernorts entsteht kein Problem. Ihre Isometriegruppe ist O2. Die Bahnen der Gruppe
sind Kreise r = konstant. Wir könnten uns vorstellen, dass diese Fläche in R3
eingebettet werden könnte, wo sie achsensymmetrisch um eine z-Achse erscheinen würde.
( = konstant ) Geodäten existieren. Wir könnten denken, dass sie „Meridianlinien"
der Fläche sind und dass die Gleichung z ( ) eines solchen
Meridians aufgebaut werden kann, wie wir es am Anfang der Arbeit getan haben. Entlang ( = konstant ) Geodäten :
(135)
Wenn diese
Fläche in R3 eingebettet werden kann, entlang jener Geodäten :
(136)
was ergibt :
(137)
Schlussfolgerung : diese Fläche kann nicht in R3 eingebettet werden.
Diese Metrik (135) ruft eine gewisse abstoßende Wirkung hervor.
Nicht alle Flächen, wie sie durch ihre Metrik definiert sind, können es sein. Jedenfalls „existieren" diese Flächen, auch wenn
wir sie nicht mit unseren Händen greifen können.
Betrachten wir die folgende
3d-Hyperfläche, definiert durch :
(138)
mit Rs
0 und r > 0
ist auf R modulo 2 definiert
Wir können eine solche Hyperfläche nicht einbetten.
Aber sie existiert und besitzt „ebene Geodäten" ( 
= /2).
Wir können das geodätische
System dieser 2d- und 3d-Hyperfläche berechnen. Wir können sie in einer Ebene (r,) darstellen.
Sie sind reell.
(139)
Ihre
Gestalt ist identisch mit der der vorhergehenden 2 Fläche, wie sie durch ihr
Linienelement (134) definiert ist. Diese beiden geometrischen Objekte sind einfach zusammenhängend.
Abb.25
: Geodäten entsprechend
den Linienelementen (134)
und (138)
(Beachten Sie, dass es einer Abstoßungswirkung ähnelt).
Es gibt etwas Verwirrendes. Bei gegebenem Linienelement können wir das geodätische System berechnen. Zum Beispiel
entspricht das der klassischen Darstellung der Schwarzschild-Geometrie :
(140)
Wir können die Kurven
r () berechnen, die dieser Differentialgleichung entsprechen.
Sie sind reell, auch
für r < Rs-Werte !
Abb.26 :
Vollständige geodätische Linie, entsprechend
dem Schwarzschild-Linienelement.
Wir verstehen, warum Physiker nach Betrachtung dieses seltsamen Ergebnisses verwirrt waren.
Aber es gibt eine mathematische Tatsache : ein Linienelement kann ein reelles geodätisches
System erzeugen, wobei einige Abschnitte einem imaginären Längenelement ds entsprechen.
Was ist mit der Physik ? Wir identifizieren ds als ein Eigenzeit-Inkrement. Oben haben wir
entschieden anzunehmen, dass imaginäres ds keinem physikalischen Pfad entspricht,
was uns zwang, die „lokale Topologie" der Hyperfläche zu überdenken,
indem wir die „lokale sphäroidale Topologie" in eine „lokale hypertoroidale
Topologie" änderten.
In früheren Arbeiten behielt man diese Hypothese der „lokalen sphäroidalen Topologie" bei,
sodass die physikalische Interpretation des „Inneren" der Schwarzschild-
Sphäre problematisch wurde. In Referenz [1], in Abschnitt 6.8 lesen wir :
(Innerhalb der Schwarzschild-
Sphäre) so würde es natürlich erscheinen, r als Zeitmarker
und t als radialen Marker neu zu interpretieren (...)
... das würde implizieren, dass ds2 < 0 entlang dieser Weltlinie.
- Die analytische Erweiterung von Kruskal.
Im klassischen [x� , r ,
, ] Koordinatensystem ist die Radialgeschwindigkeit des
Lichts :
(141)
sodass sie gegen null strebt, wenn r gegen Rs strebt. Das Argument von Kruskal ist das folgende ( Referenz [1],
Abschnitt 6.8 ).
Dies
ist ein unerwünschtes Merkmal der Schwarzschild-Koordinaten, das wir wie folgt eliminieren können; wir suchen eine Transformation für r und t zu neuen Variablen
u und v , in denen das Linienelement die Form hat :
(6.187)
... wir gelangen zu einer Transformation,
die für das Innere des Schwarzschild-Radius geeignet ist :
(6.204)
Während, außerhalb jener Sphäre :
(6.201)
*
*
Die
grundlegende Anforderung ist, dass f auf der Schwarzschild-Sphäre r = Rs regulär ist.
Nochmals aus [1] :
Somit dientu als globaler radialer Marker, und v dient als globaler Zeit-
marker.
Übrigens, aus (6.187) ergeben Null-Geodäten (ds = 0) eine „konstante Licht-
geschwindigkeit" :
(142)
Aus (6.201) sehen wir, dass wenn r gegen unendlich strebt, f gegen null strebt, sodass
Adler, Schiffer und Bazin sagen [1] :
Sie entsprechen jedoch nicht Kugelkoordinaten für den flachen Raum in
asymptotischer Entfernung, wie es die Schwarzschild-Koordinaten tun.
Die Kruskal-Metrik ist auch eine nichtsinguläre Lösung der Einstein-Gleichung
in diesen Regionen und ist äquivalent zur Schwarzschild-Lösung, hat aber keine
Singularität an der Grenze (der Schwarzschild-Sphäre). Dies ist eine analytische
Erweiterung der Mannigfaltigkeit.
Kruskal konzentriert sich auf das Problem an dieser Grenze, die nichtsingulär wird,
wobei die Singularität im „geometrischen Zentrum" konzentriert wird, wo
f gegen unendlich strebt. Unter weiterer Verwendung von Referenz [1] geben wir die Passage wieder, die
den radialen Pfaden einwärts gerichteter Photonen gewidmet ist :
In
Bezug auf u , v ist die Trajektorie einfach; in Bezug auf r und
t sehen wir jedoch, dass sie bei einem endlichen r > Rs und endlichem
x� beginnt, einwärts gegen r = Rs wandert, während x� gegen unendlich strebt,
und die Linie x� = unendlich zum Inneren der Schwarzschild-
Sphäre überquert. Danach fährt r fort, entlang der Trajektorie abzunehmen, aberx� nimmt ab. ... Die vorliegende Behandlung macht auch klar, dass x� kein
vernünftiger Zeitmarker innerhalb der Schwarzschild-Sphäre ist.
Wir sehen, dass „nichts perfekt ist". Mit seiner eigentümlichen Koordinatenwahl
bewältigt Kruskal die Überquerung der Schwarzschild-Sphäre, indem er das singuläre
Merkmal der geometrischen Lösung in eine „zentrale Singularität" einschließt.
Aber die Metrik ist im Unendlichen nicht mehr lorentzsch.
Dies zeigt, wie die Koordinatenwahl die Interpretation der Lösung verändert.
Die unsere führt eine Änderung der „lokalen Topologie" ein (hypertoroidale
Brücke ), aber jede Singularität wird eliminiert.
22)Zurück zur Einbettung.
Das Wiener-Graustein-Theorem besagt, dass jede n-dimensionale Fläche mit n >
2 in einen Raum eingebettet werden kann, dessen minimale Dimension
(143)
beträgt
Für 4d-Hyperflächen entspricht dies einem 10-dimensionalen Raum. Wir wissen, dass die Geodäten der Schwarzschild-
Geometrie in Ebenen liegen. = p/2 entspricht
einer von ihnen. Dann können wir uns auf eine Teilmenge von (
= p/2) Geodäten konzentrieren. Diese Geodäten hängen von zwei Parametern l und h ab.
Wir wissen, dass ( l =1 ) Geodäten Teilchen entsprechen,
deren Geschwindigkeit im Unendlichen null ist. Wählen Sie zusätzlich die Teilmenge der ( = konstant ) Geodäten. Dann :
(144)
Führen Sie eine zusätzliche Koordinate z ein und schreiben Sie :
(145)
ds 2
= dr 2 + dz 2
(146)
Eine Differential-
gleichung, deren Lösung ist :
(147)
Wir können diese Geodäten in einem 3d [ z , r ,]
Raum darstellen. Sie sind Meridianlinien einer achsensymmetrischen Fläche.
Abb.
27 : Der Meridian der Fläche, in der eine isometrische Einbettung****der ( = konstant) Schwarzschild-Geodäten
vorgenommen wird.
Im 3d-Raum sieht diese Fläche wie Abbildung 28 aus (ein Halbschnitt).
Abb.28 :
Die Einbettungsfläche.
Wenn wir die „radialen" Geodäten darauf zeichnen, erhalten wir Abbildung 29.
Abb.29
: Darstellung „radialer" Geodäten. Unten : ihre Projektion
auf eine [ r ,] Ebene.
Es ist eine sehr partielle Einbettung, denn sie ist auf die Menge der „radialen"
Geodäten beschränkt. Abbildung 29 ruft eine Falte hervor und legt Enantiomorphie nahe. Tatsächlich,
betrachten Sie eine Menge von drei Punkten, die radialen Geodäten folgen. Wir erhalten
Abb.30-a
: Drei Massenpunkte, die entlang „radialer" Pfade zum Schlund fallen.
und :
**Abb.30-b
: Dasselbe, nach Überquerung des Schlunds.
Das Dreieck
wurde invertiert.**
Auf der ebenen Projektion [ r ,] ist die Orientierung
des Dreiecks umgekehrt.
Stellen Sie sich nun vier Testteilchen vor, die radialen Trajektorien folgen und zur
Schwarzschild-Sphäre fallen und ein Tetraeder bilden. Siehe Abbildung 31.
Abb.31 :
Vier Teilchen, die entlang „radialer"
Geodäten auf die Schwarzschild-Sphäre in einem euklidischen 3d-Darstellungsraum fallen.
Abb.32 :
Nach dem „Abprallen" an der Schwarzschild-Sphäre reisen die Teilchen
im Zwillingsraum. Das Tetraeder ist umgekehrt (Enantiomorphie)
Kehren wir zur vorhergehenden Darstellung zurück. Der Normalenvektor ist ebenfalls umgekehrt :
Abb.33
: Eine eigentümliche = konstante Geodäte in ihrer
Darstellung
In der Menge der (l = 1) Geodäten, in einem
( r ,, z ) Raum.