Kugelumdrehung und Einbettung der Kleinschen Flasche

Die Kugelumdrehung

7. Dezember 2004

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**Einleitung. **

Wir werden im Folgenden von geschlossenen Flächen wie der Kugel, dem Torus und anderen sprechen. Es handelt sich um Flächen im Sinne des gewöhnlichen Menschen, also um Objekte mit zwei Dimensionen, die in einem dreidimensionalen euklidischen Raum R3 dargestellt werden, also in unserem mentalen Darstellungsraum. Diese Flächen können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Wenn sie sich nicht selbst schneiden, sprechen wir von Einbettungen (in R3). Wenn sie sich selbst schneiden, sprechen wir dann von Immersionen, und dieser Schnitt wird dann durch das Vorhandensein eines Selbstschnitts-Setzes (self-intersection) dargestellt.

In unseren Einbettungen nehmen wir an, dass das Tangentialplan kontinuierlich variiert und dass die Fläche beispielsweise keine Singularitäten aufweist, wie der Scheitel eines Kegels. Unsere Flächen sind regulär.

Bei Immersionen verlangen wir dann, dass entlang der Selbstschnittlinien die beiden Tangentialpläne der sich kreuzenden Flächenblätter unterschieden sind.

Die Welt der Geometrie, wie sie der Mathematiker versteht, ist ziemlich anders als die physische Welt. Dass Flächen sich selbst durchdringen, stört sie nicht im Geringsten. Die physische Welt erlaubt solche Dinge nicht. Aber es ist im metaphysischen Welt möglich. So steht in der Bibel, dass, wenn die Toten auferstehen, sie in der Form von "glorifizierten Körpern" sein werden. Sie können dann durch alles hindurchgehen und theoretisch sogar sich selbst durchdringen. Also, wenn die Zeit des Jüngsten Gerichts gekommen ist, und Sie unter der Form eines glorifizierten Körpers in Rom spazieren gehen, und Sie verloren sind und nach dem Piazza Navona suchen, könnten Sie versucht sein, den Weg einem anderen auferstandenen Menschen zu fragen, der dieselbe Erscheinung hat wie Sie. Nehmen wir an, dass die Person, die Sie fragen, in die entgegengesetzte Richtung gegenüber dieser Platz geht. In der gewöhnlichen physischen Welt müsste er sich selbst drehen, um mit dem Finger in diese Richtung zu zeigen. Aber wenn er in Form eines glorifizierten Körpers geht, ist diese Drehung nicht mehr notwendig. Er kann seinen Zeigefinger auf seinen Nabel richten und sich selbst durchdringen. Wenn seine Hand aus seinem Rücken wieder auftaucht, bleibt ihm nur noch, Ihnen zu sagen: "Dort hin". Indem er seinen Arm durch seinen Bauch schiebt, hat er in seiner körperlichen Hülle ein Selbstschnitt-Setz aus zwei Kreisen erzeugt, das verschwindet, wenn er seine normale Konfiguration wiedererlangt.

Wenn ein Mensch den Mund schließt, eine Klemme auf seine Nasenlöcher setzt, um sie zu verschließen und man die anderen natürlichen Öffnungen ignoriert, dann hat seine körperliche Hülle die Topologie der Kugel S2. Stellen wir uns einen auferstandenen Wesen in Form eines glorifizierten Körpers vor, dessen natürliche Öffnungen so verschlossen sind. Wir wissen, dass er sich selbst durchdringen kann, also dass seine körperliche Hülle von einer Einbettung in eine Immersion wechseln kann. Ein metaphysisches Problem, das sich dann stellte, war, ob ein auferstandener Mensch in Form eines glorifizierten Körpers sich selbst umdrehen könnte, ohne Falten zu machen.

Ein kleiner Kommentar am Rande. Zauberer wissen, wie man „magische Kreise“ verwendet, die sich „magisch“ durchdringen können. Man könnte sich vorstellen, Flächen mit einer Art „magischem Gitter“ darzustellen, sodass die beiden Flächen, hier eine in schwarz und eine in rosa, sich ohne Schwierigkeiten durchdringen können.

Das magische Gitter

Egal, man muss zugeben, dass es oft nicht viel Unterschied zwischen Mathematik und Magie gibt. Vor zwanzig Jahren habe ich eine Comic-Strip-Serie namens „Topologicon“ entworfen. Sie ist jetzt vergriffen und nicht mehr erhältlich, außer als Sammlerstück. Auf einer der Seiten konnte man dies sehen:

Es ist sehr schade, dass die Verlage Belin beschlossen haben, diese Sammlung aufzugeben. Man muss sagen, mit einem Herstellungskosten von gerade einmal über einem Euro, die Bände für 13 Euro (plus Versand) zu verkaufen, per Post, außerhalb des Faktums, dass dies eine Gewinnmarge von 12 Euro ergibt, also mit einem Gewinn, der über 92 Prozent des Verkaufspreises liegt, entspricht nicht einer offensichtlichen kommerziellen Strategie, besonders für schwarz-weiß.

Betrachten wir eine Kugel S2, eingebettet in R3. Wir nehmen an, dass ihre äußere Oberfläche grau ist und ihr Inneres eine alte Rosenfarbe hat. Wir können zwei antipodale Punkte, die wir willkürlich „Nordpol“ und „Südpol“ nennen, so lange drücken, bis sie sich an einem Punkt berühren. Man kann das z. B. mit einem Krapfen machen. Wenn es sich um einen mathematischen Krapfen handelt (wir wissen nicht, ob Krapfen überhaupt in Form eines glorifizierten Körpers auferstehen), können die beiden polaren Bereiche, nachdem sie sich an einem Punkt berührt haben, sich selbst durchdringen, wobei eine Selbstschnittkurve entsteht, die die Form eines Kreises annimmt. Vorweggenommen, sagen wir, dass diese Fläche eine Katastrophe des Typs Do durchgemacht hat.

Man könnte dann versucht sein, den Krapfen, die Kugel, weiter umzudrehen, indem man die Operation fortsetzt. Aber dann entsteht ein Faltenbereich, der sich zu einem hässlichen Faltenbereich entwickelt, oder genauer gesagt, zu einer Rückwärtsfläche (Abbildung d).

Am Ende der 50er Jahre blieb die schwere Frage, ob man metaphysische Krapfen ohne Falten umdrehen konnte, ungelöst. Ehrlich gesagt, alle dachten, dass es strikt unmöglich war. Aber 1957 bewies ein Mathematiker, Stephen Smale (der die Fields-Medaille erhielt, aber für ein ganz anderes Werk), dass die verschiedenen Immersionen der Kugel S2 in R3 einen einzigen Satz bildeten und dass es immer möglich war, eine Folge kontinuierlicher Deformationen von Immersionen (auch reguläre Homotopie genannt) zu finden, die es ermöglichen, von einer Situation in eine andere zu wechseln. Der Schlussfolgerung war, dass man durch eine kontinuierliche Folge von Immersionen vom Standard-Einbettung der Kugel S2 in die antipodale Einbettung wechseln konnte. In einfachen Worten: man sollte eine Kugel ohne Falten umdrehen können, vorausgesetzt, man erlaubt ihr, sich selbst umzudrehen.

Smale's Mentor hieß Raoul Bott. Er fragte seinen Schüler, wie man das anstellen sollte, und Smale antwortete, dass er keine Ahnung hatte, aber dass sein Theorem völlig unangreifbar sei. Smale sah nicht wirklich in den Raum, aber das kümmerte ihn nicht (wie bei vielen Geometern). Und, wenn man ehrlich ist, nachdem er sein Theorem bewiesen hatte, lachte er herzlos über die Art und Weise, wie man die Sache umsetzen könnte, und eilte rasch zu einem anderen Thema über, und ließ seine Kollegen Mathematiker in größter Verwirrung zurück. Ich finde es nicht sehr nett, so Probleme zu erschaffen und dann Leute allein lassen, um die Lösung zu finden, zehn Jahre später.

Man muss sagen, es ist ziemlich schwierig, sich Immersionen in seinem Kopf vorzustellen. Trotzdem kennen wir Flächen, die nur auf diese Weise in R3 dargestellt werden können. Die Kleinsche Flasche zum Beispiel.

Kleinsche Flasche

Sie wurde hier mit einem Gittersystem-Koordinatensystem dargestellt, bestehend aus zwei Mengen von geschlossenen Kurven, wie beim Torus. So kann man eine Kleinsche Flasche ohne Erzeugung von Gittersingularitäten darstellen. Aber wie man sehen kann, muss diese Fläche sich notwendigerweise entlang einer geschlossenen Kurve, einem Kreis, selbst durchdringen. Man kann also eine ...