Kugelumdrehung und Einbettung der Kleinschen Flasche

Die Kugelumdrehung

7. Dezember 2004

Seite 1

Einleitung.

Wir betrachten in dem Folgenden geschlossene Flächen, wie die Kugel, der Torus und einige andere. Es handelt sich dabei um Flächen im Sinne des gewöhnlichen Menschen, also um Objekte mit zwei Dimensionen, die in einem dreidimensionalen euklidischen Raum, R3, dargestellt werden, also in unserem mentalen Darstellungsraum. Diese Flächen können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Wenn sie sich nicht selbst schneiden, sprechen wir von einer Einbettung (in R3). Wenn sie sich selbst schneiden, sprechen wir dann von einer Immersion und dieser Schnitt wird dann durch das Vorhandensein eines Selbstschnitts-Setzes (self-intersection) dargestellt.

In unseren Einbettungen nehmen wir an, dass die Tangentialebene kontinuierlich variiert und dass die Fläche beispielsweise keine Singularitäten aufweist, wie beispielsweise der Scheitel eines Kegels. Unsere Flächen sind regulär.

Bei Immersionen verlangen wir dann, dass entlang der Selbstschnittlinien die beiden Tangentialebenen der sich kreuzenden Blätter unterschiedlich sind.

Die Welt der Geometrie, wie sie der Mathematiker versteht, ist ziemlich anders als die physische Welt. Dass Flächen sich selbst durchdringen, stört sie nicht im Geringsten. Die physische Welt erlaubt solche Dinge nicht. Doch in der metaphysischen Welt ist es möglich. So steht in der Bibel, dass, wenn die Toten auferstehen, sie in der Form von "glorifizierten Körpern" sein werden. Sie können dann durch alles hindurchgehen und theoretisch sogar sich selbst durchdringen. Also, wenn die Zeit des Jüngsten Gerichts gekommen ist, und Sie unter der Form eines glorifizierten Körpers in Rom spazieren gehen, und Sie verloren sind und nach dem Piazza Navona suchen, könnten Sie versucht sein, den Weg einem anderen auferstandenen Menschen zu fragen, der dieselbe Erscheinung hat wie Sie. Nehmen wir an, die Person, die Sie befragen, geht in die entgegengesetzte Richtung zu dieser Plätze. In der gewöhnlichen physischen Welt müsste er sich selbst drehen, um mit dem Finger in diese Richtung zu zeigen. Doch wenn er unter der Form eines glorifizierten Körpers geht, ist diese Drehung nicht mehr nötig. Er kann mit dem Finger auf seinen Nabel zeigen und sich selbst durchdringen. Wenn seine Hand aus seinem Rücken wieder auftaucht, bleibt ihm nur noch, Ihnen zu sagen: "Geh dahin". Indem er seinen Arm durch seinen Bauch schiebt, hat er in seiner körperlichen Hülle ein Selbstschnitt-Setz aus zwei Kreisen erzeugt, das verschwindet, wenn er seine normale Form wieder annimmt.

Wenn ein Mensch den Mund schließt, eine Klemme auf seine Nasenlöcher setzt, um sie zu verschließen, und man vernachlässigt seine anderen natürlichen Öffnungen, dann hat seine körperliche Hülle die Topologie der Sphäre S2. Stellen wir uns einen auferstandenen Wesen in Form eines glorifizierten Körpers vor, dessen natürliche Öffnungen so verschlossen sind. Wir wissen, dass er sich selbst durchdringen kann, also dass seine körperliche Hülle von einer Einbettung in eine Immersion wechseln kann. Ein metaphysisches Problem, das sich dann stellte, war, ob ein auferstandener Mensch in Form eines glorifizierten Körpers sich selbst umdrehen könnte, ohne Falten zu machen.

Ein kurzer Kommentar. Zauberer wissen, wie man "magische Kreise" verwendet, die sich "magisch" durchdringen können. Man könnte sich vorstellen, Flächen mit einer Art "magischem Gitter" darzustellen, sodass die beiden Blätter, hier in schwarz und rosa dargestellt, sich ohne Schwierigkeiten durchdringen können.

Das magische Gitter

Egal, man muss zugeben, dass es oft nicht viel Unterschied zwischen Mathematik und Magie gibt. Vor zwanzig Jahren habe ich eine Comic-Serie namens "Topologicon" entworfen. Sie ist jetzt vergriffen und nicht mehr erhältlich, außer als Sammlerstück. Auf einer der Seiten konnte man dies sehen:

Es ist schade, dass die Verlage Belin beschlossen haben, diese Sammlung aufzugeben. Man muss sagen, mit einem Herstellungskosten von gerade einmal über einem Euro, die Alben für 13 Euro (plus Versand) zu verkaufen, per Post, außerhalb des Faktums, dass dies eine Gewinnmarge von 12 Euro ergibt, also mit einem Gewinn, der 92 Prozent des Verkaufspreises übersteigt, entspricht das nicht einer offensichtlichen kommerziellen Strategie, besonders für schwarz-weiß.

Betrachten wir eine Sphäre S2, eingebettet in R3. Wir nehmen an, dass ihre äußere Oberfläche grau ist und ihr Inneres in einem alten Rosa-Farbe. Wir können zwei antipodale Punkte, die wir willkürlich als "Nordpol" und "Südpol" bezeichnen, so lange drücken, bis sie sich an einem Punkt berühren. Man kann das beispielsweise mit einem Krapfen machen. Wenn es sich um einen mathematischen Krapfen handelt (wir wissen nicht, ob Krapfen überhaupt als glorifizierte Körper auferstehen), können die beiden polaren Bereiche, nachdem sie sich an einem Punkt berührt haben, sich selbst durchdringen, wobei eine Selbstschnittkurve entsteht, die die Form eines Kreises annimmt. Vorweggenommen, sagen wir, dass diese Fläche eine Katastrophe des Typs Do durchlaufen hat.

Man könnte dann versucht sein, den Krapfen, die Kugel, weiter umzudrehen, indem man die Operation fortführt. Doch dann entsteht ein Faltenbereich, der sich zu einem hässlichen Faltenbereich oder genauer gesagt zu einer Rückwärtsfläche (Abbildung d) entwickelt.

Am Ende der 1950er Jahre war die schwere Frage, ob man Krapfen in der metaphysischen Welt ohne Falten umdrehen könnte, noch ungeklärt. Ehrlich gesagt, alle dachten, dass es streng unmöglich sei. Doch 1957 bewies ein Mathematiker, Stephen Smale (der die Fields-Medaille erhielt, aber für ein ganz anderes Werk), dass die verschiedenen Immersionen der Sphäre S2 in R3 einen einzigen Satz bilden und dass es immer möglich ist, eine Folge stetiger Verformungen von Immersionen (auch reguläre Homotopie genannt) zu finden, die es ermöglichen, von einer Situation in eine andere zu wechseln. Der Schlussfolgerung war, dass man durch eine kontinuierliche Folge von Immersionen von der Standard-Einbettung der Sphäre S2 zur antipodalen Einbettung wechseln konnte. In einfachen Worten: Man sollte eine Kugel ohne Falten umdrehen können, vorausgesetzt, man erlaubt ihr, sich selbst umzudrehen.

Smale's Mentor hieß Raoul Bott. Er fragte seinen Schüler, wie man es anstellen sollte, und Smale antwortete, dass er keine Ahnung hatte, aber dass sein Theorem völlig unangreifbar sei. Smale sah nicht wirklich in den Raum, aber das kümmerte ihn nicht (wie bei vielen Geometern). Und, wenn man ganz ehrlich ist, nachdem er sein Theorem bewiesen hatte, machte er sich nicht die geringste Sorge darüber, wie man die Sache konkretisieren könnte, und eilte rasch zu einem anderen Thema über, wodurch er seine Kollegen Mathematiker in größte Verwirrung brachte. Ich finde es nicht sehr nett, so Probleme zu erschaffen und dann Leute zehn Jahre später allein lassen, um die Lösung zu finden.

Es ist zugegebenermaßen ziemlich schwierig, sich Immersionen in seinem Kopf vorzustellen. Dennoch kennen wir Flächen, die nur auf diese Weise in R3 dargestellt werden können. Die Kleinsche Flasche beispielsweise.

Kleinsche Flasche

Sie wurde hier mit einem Gittersystem-Koordinatensystem dargestellt, bestehend aus zwei Mengen von geschlossenen Kurven, wie beim Torus. So kann man eine Kleinsche Flasche ohne Erzeugung von Gitter-Singularitäten gittern. Doch wie man sehen kann, muss diese Fläche zwangsläufig eine geschlossene Kurve, einen Kreis, durchdringen. Man kann also eine ...