Kugelumdrehung und Permutation der Kuspidalpunkte

Die Kugelumdrehung

8. Dezember 2004

Seite 2

Permutation der Kuspidalpunkte einer Crosscap

Dies wird ein kleiner Zwischenfall, im Stil von „Wozu dient die Kugelumdrehung?“. Hier: um die beiden Kuspidalpunkte einer Crosscap zu vertauschen, was zunächst unmöglich schien. Ich habe diesen kleinen Trick vor etwa zwölf Jahren erfunden. Es wurde nie veröffentlicht. Aber wo sollte man etwas derartiges veröffentlichen? Man weiß nicht so recht. Es handelt sich nicht um ein „wichtiges mathematisches Ergebnis“, aber es ist doch ein recht reizvolles Übungsstück. In dem Folgenden werden wir polyedrische Darstellungen verwenden. Auf der rechten Seite die „runde“ Crosscap und auf der linken Seite eine ihrer möglichen polyedrischen Darstellungen.

**Die Crosscap mit einer ihrer mehrfachen polyedrischen Darstellungen. **

In der Abbildung unten rechts haben wir die beiden Kuspidalpunkte C1 und C2, die sich an dem Ende ihrer Selbstschnittlinie befinden, in eine Art Kugelportion untergebracht. Wir wissen, dass wir eine Kugel umdrehen können. Also können wir diesem Objekt den gleichen Umgang zukommen lassen, ohne uns um die verschiedenen Schritte dieser Transformation zu kümmern. In der polyedrischen Darstellung bedeutet dies, den Würfel umzudrehen.

Alles, was wir wissen, ist, dass am Ende der Operation zwei Arten von Einstülpungen vorhanden sein werden, die so aussehen, wie es ein Beobachter wahrnehmen würde, der sich „innerhalb“ der ursprünglichen Crosscap befinden würde (was eine unpassende Ausdrucksweise ist, da diese Fläche einseitig ist).

Nach der Umdrehung, vom Würfel links, von der Kugel rechts

Die polyedrische Darstellung ist dennoch sehr praktisch, um den Überblick über diese Operationen nicht zu verlieren. Es bleibt nur noch, zwei Finger in diese Einstülpungen zu stecken und alles nach außen zu ziehen:

Den Kuspidalpunkt C2 nach außen ziehen

Wenn Sie es amüsant finden, können Sie die polyedrischen Modelle aus Karton bauen. Oder vielleicht baut jemand mutig diese Modelle in VRML, damit sie manipuliert werden können.

Es bleibt nur noch, die Operation abzuschließen.

**Übergang zu einer Einbettung, die der ursprünglichen entspricht, mit vertauschten Kuspidalpunkten. **

Ich habe einst versprochen, einen Bericht zu schreiben über meine Begegnungen mit dem Psychoanalytiker Jacques Lacan. Die Crosscap hatte ihm als Modell für den „grundlegenden Wunsch“ gedient. Er hatte sich auf den „zentralen Kuspidalpunkt“ konzentriert und den zweiten einfach ignoriert. In dieser zentralen Region hatte Lacan den „sprachlichen Phallus“ oder das „kleine a-Objekt“ lokalisiert. Ich erzähle Ihnen den Rest ein andermal. Immerhin hatte Lacan nicht vorausgesehen, dass diese Punkte „vater-mutiert“ werden könnten. Tatsächlich, als er mir von dieser linguistisch-geometrisch-psychoanalytischen Modellierung erzählte, runzelte ich die Stirn, weil ich mir vorstellte, dass in dieser Crosscap die beiden Kuspidalpunkte unterschiedliche Rollen spielen könnten, und im nächsten Moment, nachdem ich mir die Frage gestellt hatte, wusste ich bereits, wie man sie austauschen konnte. Lacan war ziemlich überrascht, das erinnere ich mich. Sein grundlegender Wunsch hatte zwei sprachliche Phallen statt nur einer. Alles seine Angelegenheit war um dieses Objekt herum aufgebaut. Doch ich bot ihm sofort eine Alternative an, indem ich den sprachlichen Phallus am Pol (einzigen) einer Boy-Fläche platzierte. So kehrte alles in Ordnung zurück und er war sehr zufrieden.

Dieses Ereignis fand kurz vor seinem Tod statt. Soweit ich beobachten konnte, hat sich dieses psychanalytisch-geometrische Neuanordnen anscheinend noch nicht innerhalb der Gemeinschaft der lacanischen Psychoanalytiker verbreitet.

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