Kugelumdrehung und Permutation der Kuspidalpunkte

Die Kugelumdrehung

8. Dezember 2004

Seite 2

Permutation der Kuspidalpunkte einer Crosscap

Dies wird ein kleiner Zwischenfall sein, im Stil von „Wozu kann die Kugelumdrehung gut sein?“. Hier: um die beiden Kuspidalpunkte einer Crosscap zu vertauschen, was zunächst unmöglich schien. Ich habe dieses kleine Kunststück vor etwa einem Jahrzehnt erfunden. Es wurde nie veröffentlicht. Aber wo sollte man so etwas veröffentlichen? Man weiß nicht so recht. Es handelt sich nicht um ein „wichtiges mathematisches Ergebnis“, aber es ist doch ein ziemlich reizvolles Übung. In dem Folgenden werden wir polyedrische Darstellungen verwenden. Rechts die „runde“ Crosscap und links eine ihrer möglichen polyedrischen Darstellungen.

**Die Crosscap mit einer ihrer vielen polyedrischen Darstellungen. **

In der Abbildung unten rechts haben wir die beiden Kuspidalpunkte C1 und C2, die sich an dem Ende ihrer Selbstschnittlinie befinden, in eine Art Kugelportion untergebracht. Wir wissen, dass wir eine Kugel umdrehen können. Also können wir diesem Objekt denselben Vorgang unterziehen, ohne uns um die verschiedenen Schritte dieser Transformation zu kümmern. In der polyedrischen Darstellung bedeutet dies, den Würfel umzudrehen.

Alles, was wir wissen, ist, dass am Ende der Operation zwei Arten von Einbuchtungen vorhanden sein werden, die so aussehen, wie es ein Beobachter wahrnehmen würde, der sich „innerhalb“ der ursprünglichen Crosscap befindet (was eine unpassende Ausdrucksweise ist, da diese Fläche einseitig ist).

Nach der Umdrehung, vom Würfel links, von der Kugel rechts

Die polyedrische Darstellung ist dennoch sehr praktisch, um den Überblick über diese Operationen zu behalten. Es bleibt nur noch, zwei Finger in diese Einbuchtungen zu stecken und alles nach außen zu ziehen:

Den Kuspidalpunkt C2 „nach außen“ ziehen

Wenn Sie es amüsant finden, können Sie die polyedrischen Modelle aus Karton bauen. Oder vielleicht baut jemand mutig diese Modelle in VRML, damit man sie manipulieren kann.

Es bleibt nur noch, die Operation zu beenden.

**Übergang zu einer Einbettung, die der ursprünglichen entspricht, mit vertauschten Kuspidalpunkten. **

Ich habe einmal versprochen, einen Bericht zu schreiben über meine Begegnungen mit dem Psychanalytiker Jacques Lacan. Die Crosscap hatte ihm als Modell für das „grundlegende Fantasie“ gedient. Er hatte sich auf den „zentralen Kuspidalpunkt“ konzentriert und den zweiten einfach ignoriert. In dieser zentralen Region hatte Lacan den „linguistischen Phallus“ oder das „kleine a-Objekt“ lokalisiert. Ich erzähle Ihnen den Rest eines anderen Mal. Immerhin hatte Lacan nicht vorausgesehen, dass diese Punkte „vater - mutiert“ werden könnten. Tatsächlich, als er mir von dieser linguistisch-geometrisch-psychanalytischen Modellierung erzählte, runzelte ich die Stirn, während ich mir vorstellte, dass in dieser Crosscap die beiden Kuspidalpunkte unterschiedliche Rollen spielen könnten, und im nächsten Moment, nachdem ich die Frage gestellt hatte, wusste ich bereits, wie man sie austauschen konnte. Lacan war ziemlich überrascht, das erinnere ich mich. Seine grundlegende Fantasie hatte zwei linguistische Phallen statt nur einem. Alles, was er tat, war um dieses Objekt herum aufgebaut. Aber ich bot ihm sofort eine andere Lösung an, indem ich den linguistischen Phallus an den (einzigen) Pol einer Boy-Fläche platzierte. So kehrte alles in Ordnung zurück, was ihm sehr zufriedenstellend war.

Dieses Ereignis fand kurz vor seinem Tod statt. Soweit ich beobachten konnte, hat dieses psychanalytisch-geometrische Neuanordnen anscheinend noch nicht in der Gemeinschaft der lacanischen Psychanalytiker eingegangen.

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