Die Umkehrung der Kugel

Die Umkehrung der Kugel

7. Dezember 2004

Seite 3

**Die elementaren Katastrophen. **

Wir haben bereits oben erwähnt, dass die Einbettungen, die wir betrachteten, so beschaffen waren, dass die Tangentialebenen entlang ihrer Selbstschnittmengen, falls solche vorhanden waren, voneinander unterschieden blieben. Es ist dann möglich, von einer Einbettung zu einer anderen durch vier elementare Katastrophen zu gelangen. Morin gab ihnen Namen, die auf den folgenden Zeichnungen zu finden sind. Die erste führt zur Erzeugung einer geschlossenen Kurve (und ihrer Zerstörung, der umgekehrten Operation). Dies geschieht, wenn man seinen Ellenbogen in das Wasser einer Waschschüssel taucht, um dessen Temperatur zu beurteilen (links). Abbildung a4: Die Flächen berühren sich an einem Punkt. In a5 wurde die Selbstschnittkurve erzeugt. In der folgenden Textstelle nennen wir diese Operation „die Katastrophe des Ellenbogens“.

Die „Katastrophe des Ellenbogens“: Erzeugung – Zerstörung einer geschlossenen Kurve

Die zweite Katastrophe ist die „Mandarinen-Scheibe“:

**Die Katastrophe der Erzeugung – Zerstörung einer „Mandarinen-Scheibe“. **

Wenn man diese Bilder gut betrachtet, sieht man von links nach rechts, wie ein parabolischer Zylinder sich einem Dieder nähert. Die Selbstschnittmenge besteht aus zwei parabolischen Kurven, die getrennt sind, und offensichtlich auch aus der Kante des Diheders. In der mittleren Abbildung berührt die Kante des Diheders eine der Erzeugenden des Zylinders. Diese Kante ist an diesem Punkt tangential zum Zylinder. Die Selbstschnittmenge besteht aus zwei parabolischen Kurven, die sich an einem Punkt berühren und an der Kante des Diheders. Rechts: Der parabolische Zylinder hat seine Bewegung fortgesetzt. Die Selbstschnittkurve hat sich verändert. Sie besteht aus der Kante des Diheders und den parabolischen Kurven, die sich an zwei Punkten auf der Kante des Diheders schneiden. Man kann auch umgekehrt denken, dass der parabolische Zylinder ruhig bleibt und die beiden „Schnittflächen“ sich bewegen. Die rechte Abbildung würde dann zwei Hiebe mit einer Axt oder zwei Schnitte mit einer Säge darstellen. Der Schnitt ist ebenfalls dargestellt. Morin verglich ihn mit einer „Mandarinen-Scheibe“, ein sehr anschauliches Bild.

Die dritte Katastrophe ist die „Hose“.

Die Katastrophe „der Hose“

Die Bilder sind ausreichend eindeutig. Man sieht von links nach rechts eine Hose in das Wasser absteigen. Links fliegt der Vogel unter dem Schritt hindurch, während der Fisch in einer der Hosenbeine gefangen bleibt. Rechts fliegt der Fisch hindurch, während der Weg, den der Vogel benutzt hat, verschwunden ist. In der Mitte ist die Zwischenlage. Wichtig ist die lokale Veränderung der Schnittkurve, die einem sogenannten „Chirurgie“ entspricht, einem Veränderung des Anschlusses von Kurvenbögen. Versuchen Sie, diese Transformation gut zu verstehen, die sich als die schwierigste erweisen wird, um sie in der Homotopie der Kugelumkehrung umzusetzen und gut zu erkennen. Merken Sie sich, dass diese Katastrophe einen Weg gleichzeitig schließt und einen anderen in der senkrechten Richtung öffnet.

Die vierte und letzte Katastrophe ist die „Umkehrung eines Tetraeders“ :

Die Katastrophe, die ein Tetraeder umkehrt

Die Selbstschnittkurve besteht aus vier „Geraden“, die die Verlängerungen der vier Seiten eines Tetraeders sind. In der linken Abbildung wurde dieses Tetraeder isoliert, das seine grauen Flächen nach außen zeigt. Rechts ist das Gegenteil: die Flächen sind rosa. In der Mitte ist die Zwischenlage: Das Tetraeder ist zu einem Punkt Q reduziert (vierfach, da es sich an der Stelle befindet, an der vier Flächen sich kreuzen).

Mit diesen vier Katastrophen werden wir versuchen, eine Kugel durch eine kontinuierliche Folge von transversalen Einbettungen umzukehren. Diese Variante stammt vom Mathematiker (blind) Bernard Morin. Unsere Begegnung lohnt es, erzählt zu werden. Eines Tages bat mich ein Techniker der Fakultät für Geisteswissenschaften, meine Zeichenkünste einem Vortragenden zu bringen, der über Geometrie sprechen sollte. Ich kam zu diesem Termin ohne jede Vorsicht. Ich war immer recht geschickt darin, Objekte im Raum zu sehen, und als unser Professor der höheren Mathematik uns ein Problem der Darstellenden Geometrie stellte, zeichnete ich die Schnittlinie und stellte gleichzeitig eine perspektivische Darstellung her, während er seinen Text vortrug. Doch diesmal sollte es anders ablaufen.

Ich hatte keine Schwierigkeiten, die oben gezeigten Figuren zu zeichnen. Doch als es darum ging, sie in ein Schema zu integrieren, das die Kugelumkehrung beinhaltete, verlor ich schließlich völlig die Nerven, konfrontiert mit einer ganzen Reihe von Flächen, die sich hintereinander befinden. Verärgert kehrte ich zu diesem seltsamen Mann zurück, der, obwohl er sein Sehvermögen verloren hatte, sich in diesem Formen-Entfalten sicherer fühlte als ich. Ich besuchte dann seine Vorlesungen über mehrere Monate. Das Gespräch war ziemlich kompliziert. Auf seiner Seite hatte er nur die Sprache zur Verfügung. Auf meiner Seite konnte ich ihm entweder meine Zeichnungen beschreiben oder ihm Modelle geben, die ich zu Hause oder später vor Ort hergestellt hatte. Es wäre nützlich gewesen, diese Gespräche zu protokollieren, absolut surrealistisch, von der Art:

*- Versuche dir vorzustellen, zwei Kurven, die sich zu einer Art Eiermixer verbinden. *

Trotz der schwierigen Persönlichkeit des Mannes blieben diese Begegnungen für mich unvergesslich. Ich gewöhnte mich schließlich daran, zwei Aspirin vor unseren Arbeitssitzungen einzunehmen, als Vorbeugung. Sein Charakter lässt sich in dem Spitznamen zusammenfassen, den seine Frau ihm gegeben hatte: „Geweihter Blitz“, ein Charakter aus der Comic-Serie von Hergé „Tintin in Tibet“. Morins Groll hatte einen ebenso legendären wie unumkehrbaren Charakter. Es kam vor, dass er manche seiner Feinde, die bereits verstorben waren, erwähnte und dabei sagte:

- Ich werfe ihnen manchmal eine kleine Fluch in das Jenseits, indem ich mir sage, dass, wenn es ihnen nicht schadet, es zumindest nicht gut für sie sein kann.

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