Die Umkehrung der Kugel
Die Umkehrung der Kugel
- Dezember 2004
Seite 3
**Die elementaren Katastrophen. **
Wir haben bereits oben gesagt, dass die Einbettungen, die wir betrachteten, so beschaffen waren, dass die Tangentialebenen entlang ihrer Selbstschnittmengen, falls solche vorhanden waren, unterschieden blieben. Es ist dann möglich, von einer Einbettung zu einer anderen durch vier elementare Katastrophen zu gelangen. Morin gab ihnen Namen, die auf den folgenden Zeichnungen zu finden sind. Die erste führt zur Erzeugung einer geschlossenen Kurve (und ihrer Zerstörung, der umgekehrten Operation). Dies geschieht, wenn man seinen Ellenbogen in das Wasser einer Schüssel taucht, um dessen Temperatur zu prüfen (links). Abbildung a4: Die Flächen berühren sich an einem Punkt. In a5 wurde die Selbstschnittkurve erzeugt. In der Folge des Textes nennen wir diese Operation „die Katastrophe des Ellenbogens“.
Die „Katastrophe des Ellenbogens“: Erzeugung – Zerstörung einer geschlossenen Kurve
Die zweite Katastrophe ist die „Mandarinen-Scheibe“:
**Die Katastrophe der Erzeugung – Zerstörung einer „Mandarinen-Scheibe“. **
Wenn man diese Bilder gut betrachtet, sieht man von links nach rechts, wie ein parabolischer Zylinder sich einem Dieder nähert. Die Selbstschnittmenge besteht aus zwei parabolischen Kurven, die getrennt sind, und offensichtlich auch aus der Kante des Diheders. In der mittleren Abbildung berührt die Kante des Diheders eine der Erzeugenden des Zylinders. Diese Kante ist in diesem Punkt tangent an den Zylinder. Die Selbstschnittmenge besteht aus zwei parabolischen Kurven, die sich in einem Punkt berühren und auch an der Kante des Diheders liegen. In der rechten Abbildung hat der parabolische Zylinder seinen Bewegungsvorgang fortgesetzt. Die Selbstschnittkurve hat sich verändert. Sie besteht aus der Kante des Diheders und den parabolischen Kurven, die sich in zwei Punkten an der Kante des Diheders schneiden. Man kann auch umgekehrt denken, dass der parabolische Zylinder ruht und die beiden „Schnittflächen“ sich bewegen. Die rechte Abbildung würde dann zwei Hiebe eines Beils oder zwei Schnitte mit einer Säge darstellen. Auch die Späne sind dargestellt. Morin verglich sie mit einer „Mandarinen-Scheibe“, eine sehr anschauliche Vorstellung.
Die dritte Katastrophe ist die „Hose“.
Die Katastrophe der „Hose“
Die Bilder sind ausreichend einleuchtend. Man sieht von links nach rechts eine Hose in das Wasser gleiten. Auf der linken Seite fliegt der Vogel unter dem Schritt hindurch, während der Fisch in einer der Hosenbeine eingeschlossen bleibt. Auf der rechten Seite fliegt der Fisch hindurch, doch der Weg, den der Vogel genommen hatte, ist verschwunden. In der Mitte ist die Zwischenlage. Wichtig ist die lokale Veränderung der Schnittkurve, die man als „Chirurgie“ bezeichnet, also einen Wechsel der Verbindung von Kurvenbögen. Versuchen Sie, diese Transformation gut zu verstehen, denn sie wird die schwierigste sein, um sie in der Homotopie der Kugelumkehrung umzusetzen und zu erkennen. Merken Sie sich, dass diese Katastrophe gleichzeitig einen Weg schließt und einen anderen in der senkrechten Richtung öffnet.
Die vierte und letzte Katastrophe ist die „Umkehrung eines Tetraeders“ :
Die Katastrophe, die ein Tetraeder umkehrt
Die Selbstschnittkurve besteht aus vier „Geraden“, die die Verlängerungen der vier Seiten eines Tetraeders sind. In der linken Abbildung wurde dieses Tetraeder isoliert, das seine grauen Flächen nach außen zeigt. Auf der rechten Seite ist es umgekehrt: die Flächen sind rosa. In der Mitte ist die Zwischenlage: das Tetraeder ist auf einen Punkt Q reduziert (vierfach, da es sich an der Stelle befindet, an der vier Flächen sich schneiden).
Mit diesen vier Katastrophen werden wir versuchen, eine Kugel durch eine kontinuierliche Folge von transversalen Einbettungen umzukehren. Diese Variante stammt vom blinden Mathematiker Bernard Morin. Unsere Begegnung lohnt es, erzählt zu werden. Eines Tages bat mich ein Techniker der Fakultät für Geisteswissenschaften, meine Zeichenkünste einem Vortragenden zu bringen, der über Geometrie sprechen sollte. Ich kam zu diesem Termin ohne jede Vorsicht. Ich war stets recht geschickt darin, Objekte im Raum zu sehen und als unser Mathematikprofessor uns ein Problem der Darstellenden Geometrie stellte, zeichnete ich die Schnittlinien und stellte gleichzeitig eine perspektivische Ansicht her, während er seine Aussage produzierte. Doch diesmal sollte es anders laufen.
Ich hatte keine Schwierigkeiten, die oben abgebildeten Figuren zu zeichnen. Doch als es darum ging, sie in ein Schema zu integrieren, das die Kugelumkehrung beinhaltete, verlor ich schließlich völlig die Nerven, konfrontiert mit einem ganzen Set von Flächen, die sich hintereinander befinden. Wütend kehrte ich zu diesem seltsamen Mann zurück, der, obwohl er sein Sehvermögen verloren hatte, sich in diesem Formen-Entfalten sicherer fühlte als ich. Ich besuchte dann seine Vorlesungen mehrere Monate lang. Der Dialog war ziemlich kompliziert. Auf seiner Seite hatte er nur die Sprache zur Verfügung. Auf meiner Seite konnte ich entweder meine Zeichnungen beschreiben oder ihm Modelle übergeben, die ich zu Hause oder später vor Ort hergestellt hatte. Es wäre gut gewesen, diese Dialoge aufzuzeichnen, absolut surrealistisch, von der Art:
*- Versuche dir vorzustellen, zwei Kurven, die sich zu einer Art Eiermixer verbinden. *
Trotz der schwierigen Persönlichkeit des Mannes blieben diese Begegnungen für mich unvergesslich. Ich gewöhnte mich schließlich daran, zwei Aspirin vor unseren Arbeitsstunden zu schlucken, als Vorbeugung. Sein Charakter kann mit dem Spitznamen zusammengefasst werden, den seine Frau ihm gegeben hatte: „Geweihte Blitzkraft“, ein Charakter aus der Comic-Serie von Hergé „Tintin in Tibet“. Morins Ressentiments hatten einen ebenso legendären wie unumkehrbaren Charakter. Es kam vor, dass er bestimmte seiner Feinde erwähnte, die bereits verstorben waren, und sagte über sie:
- Manchmal werfe ich ihnen eine kleine Fluch in das Jenseits zu, und sage mir, dass es ihnen zwar nicht schaden wird, aber zumindest nichts Gutes tun kann.
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