Kugelumdrehung Mathematische Katastrophen

Die Kugelumdrehung

8. Dezember 2004

Seite 4

Die Version von Bernard Morin

Um die PDF-Version des Artikels von B. Morin und J.P. Petit aus dem Jahr 1979, erschienen in Pour la Science herunterzuladen

Die Kugelumdrehung (2,8 MB)

Wir beginnen mit einer Kugel, die ihre graue Seite nach außen und ihre rosa Seite nach innen zeigt. In b und c bringen wir ihre Pole in Kontakt. Dann durchdringen sich die Schichten nach einer „Katastrophe des Ellenbogens“. Es entsteht eine geschlossene Selbstschnittkurve. Unten rechts ermöglichen drei halbe Schnitte ein besseres Verständnis der erhaltenen Konfiguration. Zu diesem Zeitpunkt sieht die Kugel wie ein „Luftkissenboot“ aus, mit einem „Schlauch“ und einem „Boden“ mit doppelter Wand.

Erste Phase: Eine „Katastrophe des Ellenbogens“. Bildung einer geschlossenen Selbstschnittkurve

Zweite Operation: Neue Katastrophe des Ellenbogens, Bildung einer zweiten geschlossenen Selbstschnittkurve.

Zweite Bildung einer geschlossenen Selbstschnittkurve.

Dazu hat sich das „Luftkissenboot“ mit einer Drehbewegung gebogen, was es ermöglichte, zwei gegenüberliegende Teile des „Schlauchs“ in Kontakt zu bringen. Das folgende Bild ist das Ergebnis von zwei Katastrophen, die zu „Mandarinenstücken“ führten.

Nach Bildung von zwei „Mandarinenstücken“

Auf der linken Seite wurden Schnitte im Modell durchgeführt. In der Mitte zeigt die Art und Weise, wie die beiden Zylinder, deren lokale Querschnittsform der griechischen Buchstaben „Gamma“ ähnelt, sich durchdrungen haben. Erinnern wir uns daran, dass die Katastrophe der „Mandarinenstücke“ dadurch stattfand, dass man einen „Stumpf“ mit zwei Ebenen, die einen Diheder bilden, schnitt. Jede der zylindrischen Strukturen mit einer „Gamma“-Querschnittsform hat sowohl die abgerundete Querschnittsform als auch den Diheder. Schauen Sie sich die Abbildung i genau an. In j wurde die gesamte Selbstschnittkurve gezeichnet. Der größte Teil der geschlossenen Kurve stammt von der ersten „Katastrophe des Ellenbogens“, die die Kugel in ein „Luftkissenboot“ verwandelte. Nach der Bildung der beiden Mandarinenstücke erhalten wir ein komplexeres System, von dem j ein Teil ist. In j" sehen Sie, dass diese Struktur mit dem Zusammensetzen von zwei „Mandarinenstücken“ an zwei Kanten eines Tetraeders, die nicht benachbart sind, verglichen werden kann.

Alles wird eines Tages viel einfacher zu verstehen sein, wenn ich Animationen produzieren kann. Technisch ist das kein Problem. Es ist nur eine Frage der Zeit. Selten sind Menschen in der Lage, nicht nur räumlich zu sehen, also diesen Code zu lesen, der aus Linien, Strichen, Farben, Schatten und Reflektionen besteht, sondern auch in ihrem Kopf Transformationen zu verknüpfen, indem sie sich den vorgeschlagenen Bewegungsablauf vorstellen. Ich hoffe eines Tages die Zeit zu haben, all dies zu machen. Dabei ist es erwähnenswert, dass man polyedrische Modelle verwenden könnte, wie ich es tat, um zu zeigen, wie man eine Crosscap in eine Boy-Fläche verwandeln kann. Das ist die Zukunft. Aber diese Modelle müssen erfunden werden. Weiter unten finden Sie die optimierte polyedrische Version des zentralen Modells dieser Transformation, die von Bernard Morin entworfen wurde (wir erinnern uns, dass er blind ist!), mit der Art und Weise, wie man es selbst aus einem Schnitt herstellen kann.

Warum habe ich diese Dinge nicht weiter verfolgt? Ich würde sagen: aufgrund von „keinen Perspektiven“. Es gibt keine Mathematikzeitschriften, die solche Arbeiten veröffentlichen. Wir konnten es 1975–78 durch einige Notizen in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris tun, die sicherlich nicht von vielen gelesen wurden. Aber das lag daran, dass der Akademiker André Lichnérowicz persönlich an diesen Arbeiten interessiert war. Er ist mittlerweile verstorben. Da diese Arbeiten bereits 1975 abgeschlossen waren, wäre es wünschenswert gewesen, einen Animationsfilm aus meinen Zeichnungen zu produzieren. Da ich in der Animation gearbeitet habe, war ich durchaus in der Lage, ein solches Unternehmen zu koordinieren. Aber es war unmöglich, Finanzierung beim CNRS zu finden, und schließlich war es der amerikanische Mathematiker Nelson Max, der sich von Modellen inspirieren ließ, die sein Kollege Charles Pugh (aus derselben Version der Kugelumdrehung) gebaut hatte, und mit einem leistungsstarken Computer den ersten Film produzierte. Aber dies ist weder das erste noch das letzte Mal, dass Franzosen, deren Bemühungen keinerlei Resonanz finden, von ausländischen Kollegen, die besser organisiert und unterstützt sind, in den Rücken fallen.

Gehen wir zur dritten Phase über, der schwierigsten zu verstehen.

Vorbereitung zweier „Hosenkatastrophen“

In der Abbildung k sind deutlich die beiden Enden der „Hosenbeine“ zu erkennen, deren Detail in einem Vordergrund k' zu sehen ist. Der weiße Pfeil zeigt den „Schritt“ an. Diese Transformation ist wirklich schwer zu verstehen. Ich habe das Bild m hinzugefügt, um besser verstanden zu werden. In l habe ich mit Strichen die Selbstschnittkurve dargestellt, die insgesamt in l' zu sehen ist. Ein Durchgang (der, den der weiße Pfeil nutzt) wird sich schließen. Dieser Schließungsprozess wird mit einer Aufwärtsbewegung einer Teil der Schnittkurve an zwei Stellen einhergehen. Diese Kurvenabschnitte werden sich jeweils an einer der Linien der „Mandarinenstücke“ berühren. Wenn der Kontakt stattfindet, wird die Chirurgie stattfinden. Die Schwierigkeit besteht darin, dass man, nachdem man die vier elementaren Katastrophen in der vorherigen Seite gesehen hat, in der Lage sein muss, sie aus allen Winkeln zu transponieren, und zwar, falls nötig, indem man den Hals verdreht. In n ist der kritische Moment dargestellt, in dem die Chirurgie stattfindet (die „mittlere Situation“ der Transformation), und in dem sich der Anschluss der Kurvenabschnitte ändert. Man weiß, dass diese „Hosenkatastrophe“ einen Durchgang schließt und einen anderen öffnet. Der ursprüngliche Durchgang ist durch den weißen Pfeil dargestellt. Es gibt jedoch einen weiteren, den man unter dem gleichen Winkel sehen könnte, wenn man das Modell um 180 Grad um eine vertikale Achse dreht. Diese Pfeile bilden nur einen. Bevor diese Katastrophen stattfinden, ist es noch möglich, in diesem „geknickten Luftkissenboot“ zu fahren. Wenn diese Katastrophen wirksam werden, ist dieser Durchgang nicht mehr möglich. Stattdessen werden zwei weitere Durchgänge entstehen. Aber wo, welche Bereiche des Raums sind betroffen? Diese Durchgänge werden das Innere der Mandarinenstücke mit dem Äußeren verbinden. In l' sehen Sie diese Mandarinenstücke. Gehen wir zur nächsten Phase über.

Schließung des Durchgangs. Richtung einer doppelten kritischen Situation

In o sind die beiden „Hosenkatastrophen“ in zwei verschiedenen Stadien dargestellt. Einer der Durchgänge ist vollständig geschlossen. Wir befinden uns in einer kritischen Situation, kurz vor dem Wechsel des Anschlusses der Bögen. Auf der rechten Seite (Detail der Abbildung o' ) ist der Durchgang nur gerade dabei, sich zu schließen. Daher unterscheidet sich die Form der Selbstschnittkurve o" rechts und links. Auf den Abbildungen p, p' und p" wird die Kritikalität (die „mittlere Situation“ der Transformation) an beiden Seiten erreicht. Auf der folgenden Tafel haben die Chirurgien bereits ihre Wirkung gezeigt. Die Röhren...