Umkehrung der mathematischen Katastrophe-Kugel

Die Umkehrung der Kugel

8. Dezember 2004

Seite 4

Die Version von Bernard Morin

Um die PDF-Version des Artikels von B. Morin und J.P. Petit aus dem Jahr 1979, erschienen in Pour la Science herunterzuladen

Die Umkehrung der Kugel (2,8 MB)

Wir beginnen mit einer Kugel, die ihre graue Seite nach außen und ihre rosa Seite nach innen zeigt. In b und c bringen wir ihre Pole in Kontakt. Dann durchdringen sich die Schichten nach einer „Katastrophe des Ellenbogens“. Es entsteht eine geschlossene Schnittkurve. Unten und rechts ermöglichen drei halbe Schnitte ein besseres Verständnis der erhaltenen Konfiguration. Zu diesem Zeitpunkt sieht die Kugel wie ein „Kanu“ aus, mit einem „Bauch“ und einer „Decke“ aus doppelter Wand.

Erste Phase: eine „Katastrophe des Ellenbogens“. Entstehung einer geschlossenen Schnittkurve

Zweite Operation: neue Katastrophe des Ellenbogens, Entstehung einer zweiten geschlossenen Schnittkurve.

Zweite Entstehung einer geschlossenen Schnittkurve.

Dazu hat sich das „Kanu“ gebogen, mit einer Drehbewegung, was es ermöglichte, zwei Teile des „Bauches“, die sich diametral gegenüberliegen, in Kontakt zu bringen. Das folgende Bild ist das Ergebnis von zwei Katastrophen, die zu der Entstehung von „Mandarinen-Scheiben“ führen.

Nach der Entstehung von zwei „Mandarinen-Scheiben“

Auf der linken Seite wurden Schnitte im Modell vorgenommen. In der Mitte zeigt die Art und Weise, wie die beiden Zylinder, deren lokale Querschnittsform der griechischen Buchstaben „Gamma“ entspricht, sich durchdrungen haben. Man erinnere sich, dass die Katastrophe der Entstehung von „Mandarinen-Scheiben“ dadurch stattfand, dass man einen „Stumpf“ mit zwei Ebenen, die einen Diederwinkel bilden, schnitt. Jede der zylindrischen Strukturen, deren Querschnitt in Form von „Gamma“ ist, beinhaltet sowohl die abgerundete Querschnittsform als auch den Diederwinkel. Schauen Sie sich die Abbildung i genau an. In j wurde die gesamte Schnittkurve gezeichnet. Der größte Teil der geschlossenen Kurve stammt von der ersten „Katastrophe des Ellenbogens“, die die Kugel in ein „Kanu“ verwandelte. Nach der Entstehung der beiden Mandarinen-Scheiben erhalten wir ein komplexeres System, von dem j ein Teil ist. In j" sieht man, dass diese Struktur mit dem Zusammensetzen von zwei „Mandarinen-Scheiben“ an zwei Kanten eines Tetraeders, die nicht benachbart sind, verglichen werden kann.

Alles wird eines Tages viel einfacher zu verstehen sein, wenn ich Animationen produzieren kann. Das stellt für mich technisch kein Problem dar. Es ist nur eine Frage der Zeit. Selten sind Menschen in der Lage, nicht nur räumlich zu sehen, also diesen Kodierungsstil mit Linien, Strichen, Farben, Schatten und Reflexionen zu lesen, sondern auch in ihrem Kopf eine Kette von Transformationen zu verknüpfen, wobei sie sich den vorgeschlagenen Bewegungsablauf vorstellen. Ich hoffe eines Tages die Zeit zu haben, all diese Dinge zu machen. Dabei sei angemerkt, dass man polyedrische Modelle verwenden könnte, wie ich es getan habe, um zu zeigen, wie man eine Crosscap in eine Boy-Fläche verwandeln kann. Das ist die Zukunft. Doch diese Modelle müssen erfunden werden. Weiter unten finden Sie die optimierte polyedrische Version des zentralen Modells dieser Transformation, die von Bernard Morin entworfen wurde (wir erinnern uns, dass er blind ist!), mit der Art und Weise, wie man es selbst aus einem Schnitt herstellen kann.

Warum habe ich diese Dinge nicht weiter verfolgt? Ich würde sagen: aufgrund von „keinen Absatzmöglichkeiten“. Es gibt keine Mathematik-Zeitschriften, die solche Arbeiten veröffentlichen. Wir konnten es 1975–78 durch einige Notizen in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris schaffen, die sicherlich nicht von vielen gelesen wurden. Aber das lag daran, dass der Akademiker André Lichnérowicz persönlich an diesen Arbeiten interessiert war. Er ist mittlerweile verstorben. Da diese Arbeiten bereits 1975 vollständig abgeschlossen waren, wäre es wünschenswert gewesen, einen Animationsfilm aus meinen Zeichnungen zu produzieren. Da ich in der Animation gearbeitet habe, war ich durchaus in der Lage, eine solche Unternehmung zu koordinieren. Doch es war unmöglich, Finanzierung beim CNRS zu finden, und schließlich war es der amerikanische Mathematiker Nelson Max, der sich von Modellen inspirieren ließ, die sein Kollege Charles Pugh (von dieser gleichen Version der Kugelumkehr) gebaut hatte, und mit Hilfe eines leistungsstarken Computers den ersten Film produzierte. Doch dies ist weder das erste noch das letzte Mal, dass Franzosen, deren Bemühungen keinerlei Resonanz finden, von ausländischen Kollegen, die besser organisiert und unterstützt sind, übertroffen werden.

Gehen wir zur dritten Phase über, der schwierigsten zu verstehen.

Vorbereitung zweier „Hosen-Katastrophen“

In der Abbildung k sind deutlich die beiden Enden der „Hosenbeine“ zu erkennen, deren Detail in einem Vordergrund k' abgebildet ist. Der weiße Pfeil zeigt den „Schritt“ an. Diese Transformation ist wirklich schwer zu verstehen. Ich habe das Bild m hinzugefügt, um besser verstanden zu werden. In l habe ich mit Strichen die Schnittkurve dargestellt, die insgesamt in l' abgebildet ist. Ein Durchgang (der, den der weiße Pfeil benutzt) wird sich schließen. Dieser Schließungsprozess wird mit der Aufwärtsbewegung eines Teils der Schnittkurve an zwei Stellen erfolgen. Diese Kurvenabschnitte werden sich berühren, jeder auf einer der Linien, die zu den „Mandarinen-Scheiben“ gehören. Wenn der Kontakt stattfindet, wird die Chirurgie stattfinden. Die Schwierigkeit besteht darin, dass, nachdem man die vier elementaren Katastrophen auf der vorherigen Seite gesehen hat, man in der Lage sein muss, sie aus allen Winkeln zu betrachten, und gegebenenfalls den Hals verdrehen. In n ist der kritische Moment dargestellt, in dem die Chirurgie stattfindet (die „mittlere Situation“ der Transformation), und in dem der Anschluss der Kurvenabschnitte geändert wird. Man weiß, dass diese „Hosen-Katastrophe“ einen Durchgang schließt und einen anderen öffnet. Der ursprüngliche Durchgang ist durch den weißen Pfeil dargestellt. Doch es gibt noch einen anderen, den man unter dem gleichen Blickwinkel sehen könnte, wenn man das Modell um 180 Grad um eine vertikale Achse dreht. Diese Pfeile bilden nur einen. Bevor diese Katastrophen stattfinden, ist es noch möglich, sich in diesem „geknickten Kanu“ zu bewegen. Wenn diese Katastrophen wirken, wird dieser Durchgang nicht mehr möglich sein. Stattdessen werden zwei andere Durchgänge entstehen. Aber wo sind sie, welche Teile des Raums sind betroffen? Diese Durchgänge verbinden den Innenraum der Mandarinen-Scheiben mit dem Außenraum. In l' sehen Sie diese Mandarinen-Scheiben. Gehen wir zur nächsten Phase über.

Schließung des Durchgangs. Zu einer doppelten kritischen Situation

In o sind die beiden „Hosen-Katastrophen“ an zwei unterschiedlichen Stadien dargestellt. Einer der Durchgänge ist vollständig geschlossen. Wir befinden uns in einer kritischen Situation, kurz bevor sich die Art und Weise, wie die Bögen der Kurve verbunden sind, ändert. Auf der rechten Seite (Detail der Abbildung o' ) ist der Durchgang nur gerade dabei, sich zu schließen. Daher sieht die Form der Schnittkurve o" rechts und links unterschiedlich aus. Auf den Abbildungen p, p' und p" wurde die Kritikalität (die „mittlere Situation“ der Transformation) an beiden Seiten erreicht. Auf der folgenden Tafel haben die Chirurgien ihre Wirkung entfaltet. Die Röhren ...