Umkehrung des Torus in der Topologie

Die Umkehrung des Torus

9. Dezember 2004

Seite 5

Eine Folge dieser Arbeiten: die triviale Umkehrung des Torus

Obwohl es so schwierig war, eine Kugel umzukehren, ist es dagegen sehr einfach, einen Torus umzukehren. Man kann sogar sagen, dass es etwas für ein zehnjähriges Kind ist. Es ist schließlich nichts anderes als eine Kugel mit einem Henkel. Man verfährt so, wie es bei der Vertauschung der beiden Eckpunkte einer Crosscap geschehen ist, also kehrt man die Kugel einfach um, ohne sich Gedanken zu machen. Der Henkel befindet sich dann innerhalb. Man kann sagen, dass dieser „Pfeiler“ zu einem „Untergrundgang“ wird. Nun wissen alle Straßenbauingenieure, dass ein Untergrundgang in einem Straßennetz mithilfe einer regulären Homotopie in einen Punkt verwandelt werden kann.

Wenn die Kugel umgedreht ist, reicht es aus, einen Finger in diesen Gang zu schieben und einen kräftigen Zug auszuüben. Siehe die nachfolgenden Zeichnungen.

Die triviale Umkehrung des Torus

Obwohl es auf dieser Zeichnung etwas schwer zu erkennen ist, ist in a einer der Erzeugerkreise des Torus abgebildet, die zu einer der beiden Kreisfamilien gehören, die es ermöglichen, den Torus zu kartografieren, ohne eine Netz-Singularität zu erzeugen (siehe Topologicon). Wenn der Henkel in einen Bereich einer kugelförmigen Fläche mit einem Henkel b konzentriert wird, ist die Kurve immer noch sichtbar. Wenn die kugelförmige Fläche mit einem Henkel umgedreht wird, in c, und der Operator seinen Finger in den Gang schiebt, umgibt diese Kurve seinen Finger. Wenn er den Henkel „herauszieht“, in d, sieht man (Endbild e, das des umgedrehten Torus), dass dieser Kreis nun der .. Halskreis der Oberfläche geworden ist. Somit, wenn man von einem Torus ausgeht, der mit einem doppelten Netz aus Meridiankreisen und Parallelkreisen kartografiert wird (der Halskreis gehört zu dieser zweiten Familie), sieht man, dass die Umkehrung die beiden Familien vertauscht. Das hat etwas Magisches, und ich gebe zu, dass es meine persönliche Vorstellungskraft übersteigt. Jeder sollte lernen, seine Grenzen zu kennen. Persönlich glaube ich, dass es in bestimmten geistigen Prozessen gibt, bei denen das Gehirn mit einem Sicherungsschutz ausgestattet sein sollte.

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