Umdrehung des Torus in der Topologie
Die Umdrehung des Torus
- Dezember 2004
Seite 5
Eine Folge dieser Arbeiten: die triviale Umdrehung des Torus
Obwohl es so schwierig war, eine Kugel umzudrehen, ist es dagegen sehr einfach, einen Torus umzudrehen. Man kann sogar sagen, dass es etwas für einen zehnjährigen Kind ist. Es handelt sich schließlich um eine Kugel mit einem Henkel. Man verfährt so wie bei der Vertauschung der beiden cuspiden Punkte einer Crosscap, also man dreht die Kugel einfach um, ohne sich Gedanken zu machen. Der Henkel befindet sich dann innerhalb. Man kann sagen, dass dieser „Pfad“ in einen „Untergrundpass“ verwandelt wird. Nun wissen alle Straßenbauingenieure, dass ein Untergrundpass in einem Straßennetz mit Hilfe einer regulären Homotopie in einen Punkt verwandelt werden kann.
Wenn die Kugel umgedreht ist, reicht es aus, einen Finger in diesen Passagier zu schieben und einen starken Zug auszuüben. Siehe die nachfolgenden Zeichnungen.
Die triviale Umdrehung des Torus
Obwohl es auf dieser Zeichnung etwas schwer zu erkennen ist, ist in a einer der Erzeugerkreise des Torus dargestellt, die eine der beiden Familien von Kreisen bilden, die zur Kartografierung des Torus ohne Erzeugung einer Netzsingularität verwendet werden (siehe Topologicon). Wenn der Henkel in eine Region einer Kugel mit einem Henkel b konzentriert ist, ist die Kurve immer noch sichtbar. Wenn die Kugel mit einem Henkel umgedreht wird, in c, und der Operator seinen Finger in den Passagier schiebt, umgibt diese Kurve seinen Finger. Wenn er den Henkel „herauszieht“, in d, sieht man (Endbild e, das des umgedrehten Torus), dass dieser Kreis nun der „Halskreis“ der Oberfläche geworden ist. Somit, wenn man von einem Torus ausgeht, der mit einem doppelten Netz aus Meridiankreisen und Parallelkreisen kartografiert wurde (der Halskreis gehört zu dieser zweiten Familie), sieht man, dass die Umdrehungsoperation diese beiden Familien vertauscht. Das hat etwas Magisches, und ich gebe zu, dass es mein eigenes Verständnis übersteigt. Jeder muss lernen, seine Grenzen zu kennen. Persönlich glaube ich, dass es bestimmte mentale Vorgehensweisen gibt, bei denen das Gehirn mit einem Sicherungsschalter ausgestattet sein sollte.
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