Das Umstülpen des Kleinschen Flaschenkörpers

Das Umstülpen des Torus

5. Dezember 2004

Seite 6

Das nicht-triviale Umstülpen des Torus
J.P.Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences.
Tome 293, Sitzung vom 5. Oktober 1981, Serie 1, S. 269-272

Ich werde mich darauf beschränken, die Folge der Zeichnungen vorzustellen, ohne sie zu kommentieren.

Nicht-triviales Umstülpen des Torus. Erster Teil der Transformation

Nicht-triviales Umstülpen des Torus. Zweiter Teil der Transformation

Wenn man zur Figur v kommt, sieht man, dass es dann leicht ist, die graue und die rosa Struktur zu verbinden, um dieses Objekt in ein zweifaches Überlagerung der Kleinschen Flasche zu verwandeln.

Das Umstülpen erfolgt nun durch den Austausch der Blätter. Im Folgenden das gleiche Bild mit einer farbkodierten Darstellung.

Zweifache Überlagerung der Kleinschen Flasche mit farbkodierter Darstellung

(Dieses Bild ist nicht Teil meines jährlichen Berichts an das CNRS. Es finden Sie im Topologicon)

Die verschiedenen Familien von Tori.

Was Stephen Smale 1957 bewiesen hatte, war, dass es nur eine Familie von Einbettungen der Kugel gab und dass alle diese Einbettungen durch eine Homotopie miteinander verbunden werden konnten. Diese bildeten eine Gruppe, deren neutrales Element darin bestand, das Objekt unverändert zu lassen. Es wurde gefragt, ob dies auch für den Torus der Fall sein könnte. Die Mathematiker Ioan James und Emery Thomas zeigten, dass die Einbettungen des Torus sich auf vier Kontinenten verteilten, zwischen denen man mit einer regulären Homotopie nicht wechseln konnte.

Die vier Familien von Tori

Der „Standard-Torus“, der in der Mitte der Seite gezeichnet ist, gehört zur gleichen Familie wie das Objekt in b. Das habe ich im Vorbeigehen in der Version des Torus-Umstülpens gezeigt, die ich 1980 erfunden habe. Die in der Erwähnung genannte Familie a stellt einen Torus dar, der einen 360°-Wickel erfahren hat. Er sieht dem Standard-Torus ähnlich, aber beide werden durch ihr Kartensystem definiert, indem zwei Familien von Kurven verwendet werden. Beim Standard-Torus werden zwei Mengen von Kreisen verwendet, die als Meridiane und Parallelen angenähert werden. Auf dem Torus a müsste man die Familie der aufgeklebten Kreise durch eine zweite Familie ergänzen, die in entgegengesetzter Richtung gewunden ist. Dann kann man zeigen, dass es unmöglich ist, mit einer regulären Homotopie das Gitter dieses Torus a mit dem Gitter des Standard-Torus (Meridiane und Parallelen) in Deckung zu bringen. In diesem Sinne sind sie unterschiedliche Objekte. Alle diese Objekte können offensichtlich als zweifache Überlagerung der Kleinschen Flasche konfiguriert werden.

Die Macht der Werkzeuge des Geometers ist es, vorhersagen zu können, was möglich ist und was nicht. Den Standard-Torus in den Torus der Figur b zu verwandeln: Ja. Von c zu d zu wechseln: Nein.

Das erspart Zeitverschwendung und ermutigt besonders, Dinge zu suchen, die keineswegs offensichtlich sind, wie das Umstülpen einer Kugel. So ist es in allen Wissenschaften. Es kommt vor, dass Menschen fruchtbare Ansätze über Jahre oder sogar Jahrhunderte verpassen, einfach weil sie glauben, sie seien unmöglich zu realisieren. Ich habe einige Jahre meines Lebens damit verbracht, eine Theorie der Abschaltung von Schockwellen um ein Objekt, das sich mit Überschallgeschwindigkeit in einem Gas bewegt, mit Hilfe eines Laplace-Kraftfeldes, der „MHD“ zu konstruieren. Ein Student hat sogar seine Doktorarbeit zu diesem Thema unter meiner Leitung geschrieben, und wir haben diese Arbeiten in verschiedenen Fachzeitschriften und wissenschaftlichen Konferenzen veröffentlicht. Es ist ein Thema, das erst seit dreißig Jahren an die Oberfläche kommt. Man vermutet, dass die Amerikaner Flugzeuge mit Hyperschallgeschwindigkeit besitzen, die bei Mach 10 fliegen können, ohne Schockwellen zu erzeugen (und insbesondere ohne die gewaltigen thermischen Belastungen zu erleiden, die mit der Kompression des Luft hinter diesen „Bumsen“ verbunden sind). Es handelt sich um das berühmte Aurora-Mythos, ein Flugzeug, das auf der Höhe der Polarlichter, zwischen 80 und 150 km Höhe, unterwegs ist. Aurora ist auch die Vorläuferin zukünftiger Raumfahrzeuge, die sich auf der Luft stützen und viel wirtschaftlicher sind als die Raketen des CNES. In Frankreich war es nicht möglich, solche Forschungen zu starten (ich hatte diese Ideen 1975), weil die Leute, insbesondere am CNRS, sie für völlig unvernünftig hielten. Das Ergebnis ist ein dreißig Jahre Rückstand gegenüber den USA, den ich für völlig unüberholbar halte.

Die Tabakblase

Um vollständig zu sein, muss man die Versionen des Kugelumstülpens erwähnen, die eine Tabakblase als zentrales Objekt haben. Das war ein Objekt, das in meiner Jugend üblich war, aber heute kaum noch vorkommt. Der erste, der diese Sequenzen gezeichnet hat, war Georges Francis. In den letzten Jahren arbeite ich an einer polyedrischen Version dieser Versionen, die bereits ein ziemlich schönes zentrales Modell geliefert hat. Aber um Ihnen das zu zeigen, muss ich es wiederfinden. Ich hoffe, bald, denn es ist eines der faszinierendsten Objekte, die ich je geschaffen habe.

Seite vorher Seite danach

Zurück zu Guide Zurück zur Startseite

Anzahl der Besuche dieser Seite seit dem 8. Dezember 2004:

Bilder