Umkehrung des Kleinschen Flaschen-Toroids
Die Umkehrung des Torus
- Dezember 2004
Seite 6
Die nicht-triviale Umkehrung des Torus **
**J.P.Petit: ** **
Comptes Rendus Académie des Sciences.
Band 293, Sitzung vom 5. Oktober 1981, Serie 1, Seiten 269-272
Ich werde mich darauf beschränken, die Fortsetzung der Zeichnungen vorzustellen, ohne sie zu kommentieren.
Nicht-triviale Umkehrung des Torus. Erster Teil der Transformation
Nicht-triviale Umkehrung des Torus. Zweiter Teil der Transformation
Wenn man zur Figur v kommt, sieht man, dass es dann einfach ist, die graue und die rosa Struktur zusammenzubringen, um dieses Objekt in ein zweifaches Überlagerung der Kleinschen Flasche zu verwandeln.
Die Umkehrung erfolgt dann durch Austausch der Blätter. Im Folgenden das gleiche Bild mit einer farbkodierten Darstellung.
Zweifache Überlagerung der Kleinschen Flasche mit farbkodierter Darstellung
( Dieses Bild gehört nicht zu meinem jährlichen Bericht beim CNRS. Es ist im Topologicon zu finden )
Verschiedene Familien von Tori.
Was Stephen Smale 1957 bewiesen hatte, war, dass es nur eine Familie von Einbettungen der Kugel gab und dass alle diese Einbettungen durch eine Homotopie miteinander verbunden werden konnten. Diese bildeten eine Gruppe, deren neutrales Element darin bestand, das Objekt unverändert zu lassen. Es wurde gefragt, ob dies auch für den Torus der Fall sein könnte. Die Mathematiker Ioan James und Emery Thomas zeigten, dass die Einbettungen des Torus sich auf vier Kontinenten verteilten, zwischen denen man mit einer regulären Homotopie nicht hinüberwechseln konnte.
Die vier Familien von Tori
Der „Standard-Torus“, der in der Mitte der Seite gezeichnet ist, gehört zur gleichen Familie wie das Objekt in b. Das habe ich in meiner 1980 erfundenen Version der Umkehrung des Torus gezeigt. Die in der Erwähnung genannte Familie a stellt einen Torus dar, der einen 360°-Drehung unterzogen wurde. Er sieht dem Standard-Torus ähnlich, aber beide werden durch ihr Kartensystem definiert, mit Hilfe zweier Familien von Kurven. Beim Standard-Torus werden zwei Mengen von Kreisen verwendet, die als Meridiane und Parallelen angenähert werden. Auf dem Torus a müsste man die Familie der aufgeklebten Kreise durch eine zweite Familie ergänzen, die in entgegengesetzter Richtung verdreht ist. Dann kann man zeigen, dass es unmöglich ist, mit einer regulären Homotopie das Netz des Torus a mit dem Netz des Standard-Torus (Meridiane und Parallelen) in Deckung zu bringen. In diesem Sinne sind es unterschiedliche Objekte. Alle diese Objekte können selbstverständlich als zweifache Überlagerung der Kleinschen Flasche konfiguriert werden.
Die Macht der Werkzeuge des Geometers ist es, vorhersagen zu können, was möglich ist und was nicht. Den Standard-Torus in den Torus der Figur b zu verwandeln: Ja. Von c zu d zu wechseln: Nein.
Das vermeidet, sinnlos Zeit zu verlieren, und ermutigt besonders, Dinge zu suchen, die keineswegs offensichtlich sind, wie beispielsweise das Umkehren einer Kugel. So ist es in allen Wissenschaften. Es kommt vor, dass Menschen jahrelang oder sogar Jahrhunderte lang fruchtbare Methoden übersehen, einfach weil sie glauben, sie seien nicht durchführbar. Ich habe einige Jahre meines Lebens damit verbracht, eine Theorie der Abschaltung von Schockwellen um ein Objekt zu konstruieren, das sich mit Überschallgeschwindigkeit in einem Gas bewegt, mit Hilfe eines Laplace-Kraftfeldes, der „MHD“. Ein Student hat sogar seine Doktorarbeit zu diesem Thema unter meiner Leitung geschrieben, und wir haben diese Arbeiten in verschiedenen Fachzeitschriften und wissenschaftlichen Konferenzen veröffentlicht. Es ist ein Thema, das erst seit dreißig Jahren an die Oberfläche kommt. Man vermutet, dass die Amerikaner Flugzeuge mit Hyperschallgeschwindigkeit besitzen, die bei Mach 10 fliegen können, ohne Schockwellen zu erzeugen (und insbesondere ohne die gewaltigen thermischen Belastungen zu erleiden, die mit der Kompression des Luft hinter diesen „Bams“ verbunden sind). Es handelt sich um das berühmte Aurora-Mythos, ein Flugzeug, das auf der Höhe der Polarlichter, zwischen 80 und 150 km Höhe, unterwegs ist. Aurora ist auch die Vorläuferin zukünftiger Raketen, die sich auf der Luft stützen und viel kosteneffizienter als die Raketen des CNES sein werden. In Frankreich war es nicht möglich, solche Forschungen zu initiieren (ich hatte diese Ideen 1975), weil die Leute, insbesondere beim CNRS, sie für völlig unvernünftig hielten. Das Ergebnis ist ein dreißig Jahre Verzögerung gegenüber den USA, die meiner Meinung nach unüberholbar sind.
Die Tabakblase
Um vollständig zu sein, muss man die Versionen der Kugelumkehrung erwähnen, die eine Tabakblase als zentrales Objekt haben. Das war ein Objekt, das damals, als ich jung war, üblich war, aber heute kaum noch vorkommt. Der erste, der diese Sequenzen gezeichnet hat, war Georges Francis. In den letzten Jahren arbeite ich an einer polyedrischen Version dieser Versionen, die bereits ein ziemlich schönes zentrales Modell geliefert hat. Aber um Ihnen das zu zeigen, muss ich es wieder finden. Ich hoffe, das bald zu schaffen, denn es ist eines der faszinierendsten Objekte, die ich je geschaffen habe.
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