Seminarvorschlag zur Kosmologie
- November 2006
Geometrisierung des kosmologischen Modells von Andrei Sakharov
J.P. Petit & G. D’Agostini
- November 2006
Der Nobelpreisträger Andrei Sakharov ist wenig bekannt für seine Arbeiten im Bereich der Kosmologie ( [1], [2], [3] ). Einer der Autoren ( [7], [8], [9], [10], [11] ) arbeitete bereits ab 1977 in dieser Richtung, ohne Kenntnis seiner Arbeiten, die er erst 1984 bei Erscheinen des französischen Werkes „Andrei Sakharov, scientifische Werke“ [4], ursprünglich 1982 auf Englisch veröffentlicht [5], erfuhr.
In einer vereinfachten Darstellung dieses Modells, das eine T-Symmetrie impliziert, erläutert Andrei Sakharov seine zentrale Sorge: die Abwesenheit von Antimaterie im beobachtbaren Universum zu erklären. Nach Betrachtung einer T-Symmetrie entscheidet sich Sakharov für universelle CPT-Symmetrie [6].
Wir werden diese Idee geometrisch übersetzen, indem wir folgende Werkzeuge verwenden:
- Dynamische Gruppen
- Raum der Impulse (Dual der Lie-Algebra der Gruppe)
( Referenz: Struktur dynamischer Systeme, J.M. Souriau, 1972 [12] )
Ausgehend von der Poincaré-Gruppe, der Isometriegruppe des Minkowski-Raums, entspricht die Anzahl der Impulskomponenten der Dimension der Gruppe, also zehn.
Diese Komponenten werden wie folgt gruppiert:
- Eine Komponente ist die Energie E
- Drei Komponenten bilden den Impulsvektor
- Drei Komponenten bilden, wie Souriau sie nennt, den „Durchgang“
- Die verbleibenden drei bilden den „Wirbel“.
(Diese Herangehensweise ermöglicht es, den Spin als rein geometrisches Objekt erscheinen zu lassen, siehe Referenz [12], S. 181.)
Die Lorentz-Gruppe besitzt vier zusammenhängende Komponenten.
- Die erste, die neutrale Komponente der Gruppe, kehrt weder Raum noch Zeit um.
- Die zweite kehrt den Raum um (P-Symmetrie), nicht aber die Zeit.
- Die dritte kehrt die Zeit um, nicht aber den Raum (T-Symmetrie).
- Die vierte kehrt sowohl Raum als auch Zeit um (PT-Symmetrie).
Souriau fasst die ersten beiden Komponenten der Lorentz-Gruppe zu dem sogenannten orthochronen Untergruppe L₀ zusammen. Die Elemente dieses Untergruppen bewahren bei ihrer Wirkung auf eine Bewegung die Zeitrichtung. Die verbleibenden Komponenten bilden den antichronen Teil Lₐ, dessen Elemente die Zeit umkehren (T-Symmetrie).
Der Poincaré-Gruppe, der aus der Lorentz-Gruppe durch Hinzufügen der raumzeitlichen Translationen gebildet wird, entsprechen ebenfalls vier zusammenhängende Komponenten.
Die Untersuchung der Wirkung der vollen Poincaré-Gruppe (mit ihren vier Komponenten) auf ihren Impulsraum zeigt, dass die T-Symmetrie das Vorzeichen der Energie umkehrt (Referenz [12], S. 197, „Raum- und Zeitumkehr“, Gleichung (14.67)).
Kaluza zeigte, dass die Eigenschaft eines relativistischen Massenpunkts, eine elektrische Ladung zu tragen, äquivalent ist der Einbettung seiner Bewegung in einen Raum mit einer zusätzlichen Dimension, von der Art:
t, x, y, z, z
Ein Punkt in diesem „Kaluza-Raum“ entspricht dann dem Vektor:
Der zugehörige dynamische Gruppe ist die zentrale Erweiterung der Poincaré-Gruppe. Die Wirkung dieser Gruppe auf den Kaluza-Raum kann matrizenmäßig dargestellt werden als:
L, eine (4,4)-Matrix, ist das Element der Lorentz-Gruppe, deren Dimension sechs beträgt.
C ist der Viervektor der raumzeitlichen Translation:
f ist ein Skalar. Diese zentrale Erweiterung der Poincaré-Gruppe hat Dimension 11. Dies ist definitionsgemäß auch die Anzahl der Impulskomponenten. Die Einbettung der Bewegung eines relativistischen Massenpunkts in einen Raum mit einer zusätzlichen Dimension, der Kaluza-Dimension, verleiht dem Impuls eine zusätzliche skalare Komponente:
die elektrische Ladung q
Die Wirkung dieser Gruppe auf ihren Impulsraum bringt eine zusätzliche Relation hervor, die die Erhaltung der elektrischen Ladung ausdrückt:
q′ = q
Um eine C-Symmetrie sichtbar zu machen, muss man zu einer Gruppe mit acht zusammenhängenden Komponenten übergehen, deren Elemente folgendermaßen aussehen:
Bei der Untersuchung der Wirkung der Gruppe auf ihren Impuls wird die Wirkung auf die elektrische Ladung:
Wie in der Referenz [13] (Geometrie und Relativität, S. 413) gezeigt, ergibt sich die Identität zwischen Ladungskonjugation und Umkehr der Kaluza-Dimension. Wir haben somit eine klare geometrische Übersetzung der C-Symmetrie vor uns.
Wie bereits erwähnt, enthält die Poincaré-Gruppe Elemente, die die Symmetrien P, T und PT realisieren. Betrachten wir den orthochronen Teil L₀ der Lorentz-Gruppe, der eine bequeme Darstellung des Lorentz-Gruppenelements ermöglicht, indem man die Elemente des orthochronen Untergruppen (m = +1) und die des antichronen Teils (m = –1) trennt. Das Element der Poincaré-Gruppe kann nun folgendermaßen umgeschrieben werden:
Die antichronen Komponenten der Poincaré-Gruppe oder ihrer zentralen Erweiterung implizieren die Existenz von Teilchenbewegungen mit negativer Energie. Ihre Begegnung mit Teilchen mit positiver Energie würde zu einer vollständigen Vernichtung führen.
Das Universum, wie wir es verstehen, besteht aus Teilchen mit nicht verschwindender Masse und aus Teilchen mit verschwindender Masse, den Photonen (ohne Voraussetzung über die Masse der Neutrinos). Alle diese Teilchen sind lediglich spezielle Bewegungen eines relativistischen Massenpunkts.
Wenn man die Wirkung aller Komponenten der Gruppe zulässt, deutet dies auf die Existenz hin:
- von Teilchen mit nicht verschwindender Masse und negativer Energie
- von Photonen mit negativer Energie
Aus physikalischer Sicht erscheint es schwierig, die Koexistenz von Objekten mit positiver Energie und ihren T-symmetrischen Gegenstücken mit negativer Energie vorzustellen. Daher kam uns die Idee, einen nicht zusammenhängenden Bewegungsraum zu betrachten.
Wie Sakharov legen wir als Grundlage ein Universum mit zwei Blättern, die CPT-symmetrisch bezüglich einer
vor.
Diese Idee können wir in Gruppensprache übersetzen, indem wir einen Blatt-Index f = ±1 einführen.
Betrachten wir die folgende Gruppe und ihre Wirkung auf einen fünfdimensionalen, nicht zusammenhängenden Raum.
In dieser Konstruktion geht die CPT-Symmetrie (Umkehr von z und x) Hand in Hand mit der Umkehr des Blatt-Index (f → –f).
Die Berechnung der adjungierten Wirkung ergibt:
P ist der Viervektor aus Impuls und Energie.
Wenn der Bewegungsraum, der f = 1 entspricht, Teilchen mit positiver Energie enthält, dann kehrt das Gruppenelement mit m = –1 die Koordinate f (Blattwechsel), die Energie E, den Impuls p und die elektrische Ladung q um und bewirkt eine CPT-Symmetrie.
Die Dualität Materie-Antimaterie (C-Symmetrie) ist in beiden Blättern vorhanden.
So haben wir eine geometrische Beschreibung des ursprünglich von Andrei Sakharov vorgeschlagenen Modells.
Wir können nun versuchen, präzisere Aussagen über den Grenzraum zu machen, der die beiden Blätter (f = +1 und f = –1) verbindet. Eine Dimension muss dabei verschwinden.
In unserem Universum finden wir Bewegungen, die sich durch P-Symmetrie gegenseitig ergeben. Beispiel: zwei Photonen mit gleicher Energie, aber entgegengesetzter Helizität (Phänomen der Lichtpolarisation).
Auch die C-Symmetrie ist in unserem Universum wirksam (nachgewiesene Existenz von Antimaterie, sei es in kosmischen Strahlen oder in Teilchenbeschleunigern).
Doch keine einzige Experiment oder Beobachtung konnte bisher die Existenz von Teilchen mit negativer Energie nachweisen.
Die Energie ist ein Skalar, der mit der Invarianz unter Translationen verbunden ist...