Vorwort zum 1994 in der Zeitschrift Nuovo Cimento veröffentlichten Artikel
Der Ausgangspunkt dieser Arbeit liegt im Jahr 1977. Zwei Notizen in den Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris:
J.P. Petit: "Enantiomorphe Universen mit entgegengesetzten Zeitpfeilen", CRAS vom 8. Mai 1977, Bd. 285, S. 1217–1221
J.P. Petit: "Universen in Wechselwirkung mit ihrem Spiegelbild in der Zeit". CRAS vom 6. Juni 1977, Bd. 284, Serie A, S. 1413–1416
In dem folgenden Artikel versuchten wir, die punktweise Beziehung (involutive Abbildung) zwischen den Punkten der Umgebung der Erde (auf kosmologischer Skala) und den konjugierten Punkten des zweiten Universums herzustellen (das wir hier als „Zwillingsuniversum“: twin universe, „Schattenuniversum“: shadow universe oder „Geisteruniversum“: ghost universe bezeichnen, Begriffe, die wir im Geiste als gleichwertig betrachten), indem wir eine Beziehung der Antipodalität verwendeten, die eine Ausgangshypothese über die Topologie des geometrischen Objekts implizierte. Später stellten wir jedoch fest, dass dies nicht notwendig war, da man die lokale Struktur (F, F*) als zweifaches Überlagerung einer „Knochenvariabilität“ definieren konnte. Die Struktur ist dann die einer zweifachen Überlagerung des projektiven Raums P3, was äquivalent ist zu drei Dimensionen des projektiven Raums P2, der zwei Dimensionen bekannter ist. Die bekannteste Darstellung ist daher die 1902 vom österreichischen Mathematiker Werner Boy entdeckte Fläche, siehe Abbildung 184 (im Prinzip eine Animation, sobald die Website vollständig ist).
Boy war ein Schüler des großen Mathematikers Hilbert, der sich sehr zufrieden mit der Erfindung seines Schülers zeigte. Zur kleinen Geschichte: Nach seiner Erfindung verließ Boy die Universität, und man hörte nie wieder etwas von ihm. Alle von Historikern unternommenen Bemühungen, seine Spur zu finden, waren erfolglos. Es ist unbekannt, ob er an einer schlechten Grippe starb oder als Klempner sein Leben beendete.
Geometer wissen, dass man alle Punkte einer Sphäre S2 gemäß einem projektiven Raum P2 zur Deckung bringen kann, wie in der Abbildung 10 des folgenden Artikels erwähnt. Der Nordpol wird dabei mit dem Südpol zur Deckung gebracht, und der Äquator wickelt sich selbst entlang des Pseudo-Äquators der Boy-Fläche auf. Diese zweifache Überlagerung ist in Abbildung 11 des Artikels dargestellt. Man beachte, zumindest in zwei Dimensionen, dass diese Operation enantiomorphe Objekte, spiegelbildlich, zur Deckung bringt. Abbildungen 12 und 13 sind didaktische Bilder, die zeigen, wie die Klumpen in den Lücken der antipodalen Region liegen würden.
Dieses System der zweifachen Überlagerung kann auf drei und sogar vier Dimensionen erweitert werden, mit Sphären S3 und S4, die jeweils die projektiven Räume P3 und P4 überlagern.
Bevor wir weitergehen, möge der Leser sich mit der Geometrie dieser seltsamen Boy-Fläche vertraut machen. Außerdem findet man verschiedene Varianten des Objekts im Topologicon (Ed. Belin, 1984).
Was den Leser offensichtlich überraschen mag, ist die Tatsache, dass diese Fläche sich selbst entlang einer Menge von Selbstschnitten schneidet, die eine dreiblättrige Kurve ist, die einer Schiffsschraube ähnelt:
Auf dieser Zeichnung links wurde eine Öffnung angebracht, um den Dreipunktschnitt zu zeigen, an dem drei Flächen sich kreuzen. Diese Fläche scheint wirklich besonders zu sein. In Wirklichkeit ist dieses Objekt ein hervorragendes Beispiel, das den Begriff des Darstellungsraums (3D) verdeutlicht, der oben erwähnt wurde.
Der Dreipunktschnitt T und die Kurve der Selbstschnitte entstehen ausschließlich durch die Art und Weise, wie der projektive Raum P2 in R3 dargestellt wird. Eine Sphäre, ein Torus können in R3 eingebettet werden, d. h., sie lassen sich topologisch äquivalente Darstellungen zeigen, bei denen die Fläche sich nicht selbst schneidet. Es ist jedoch unmöglich, den projektiven Raum P2 in R3 einzubetten. Man kann ihn nur einbetten. Die obige Zeichnung (die Boy-Fläche) ist daher eine Einbettung des projektiven Raums in R3. Eine Einbettung eines zweidimensionalen Objekts ist eine Darstellungsart in R3, bei der eine Linie von Doppelpunkten (die Kurve der Selbstschnitte) auftritt, entlang derer zwei Tangentialebenen auftreten, sowie eine gewisse Anzahl von Dreipunktschnitten, an denen drei Flächen sich schneiden. Die Boy-Fläche ist nur eine von unendlich vielen Möglichkeiten, den projektiven Raum P2 in R3 einzubetten. Andere finden sich in einem Artikel, der in den Website-Teil aufgenommen wird, mit dem Titel „Die verschiedenen Gesichter der projektiven Ebene“.
Es ist ziemlich einfach, Bilder der Boy-Fläche durch eine parametrische Darstellung zu erhalten, die wir erfunden und veröffentlicht haben:
---> Der Leser findet im Unterbereich MATHEMATIQUES unter anderem die Wiedergabe der Notiz in den Comptes rendus, die 1981 an der Académie des Sciences de Paris veröffentlicht wurde, zusammen mit J. Souriau (nein, das ist nicht der berühmte Mathematiker, sondern sein Sohn, Jérôme, der später Informatiker wurde), mit der folgenden Referenz:
„Die analytische Darstellung der Boy-Fläche“, Notiz in den Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, Band 293 (5. Oktober 1981), Serie 1, S. 269–272
Dort wird gezeigt, dass die Fläche dann elliptische Meridiane besitzt. Diese Eigenschaft ermöglicht eine einfache Zeichnung. Im Folgenden der Programmcode, der auf der Titelseite meines Comic-Bandes Topologicon steht.
BASIC-Programm
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN(6*MU - P3)
110 E = 6.732 * SIN(3*MU - P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN(P8 * SIN(3*MU))
140 C2 = SQR(A * A + B * B) : C3 = (4 * D * E) / C2
160 CM = COS(MU) : SM = SIN(MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS(TE) : TS = B * SIN(TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM HIER SIND DIE 3 KOORDINATEN
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM ANWEISUNG ZUM ANZEIGEN DER PUNKTE
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
Zur Erinnerung: Es war gerade diese Entdeckung der Möglichkeit, diese Fläche mittels elliptischer Meridiane darzustellen, die dem Mathematiker Apéry später ermöglichte, die erste implizite Darstellung des sechsten Grades zu erhalten:
f(x, y, z) = 0
die wir nicht wiedergeben werden (sie ist ohnehin ziemlich kompliziert, und wir sind überzeugt, dass einfachere existieren müssen, aber dies wird Gegenstand eines anderen Dokuments sein, das in den Bereich MATHEMATIQUES aufgenommen wird).
Die Klein’sche Flasche ist den Lesern bekannter. Es ist ebenfalls unmöglich, sie in R3 einzubetten. Sie erscheint daher in ihrer klassischsten Form als eine Einbettung mit einer Schnittmenge, die eine einfache geschlossene Kurve ist.
Die zweifache Überlagerung der Klein’schen Fläche ist ein Torus T2, ebenso wie die zweifache Überlagerung der Boy-Fläche (projektiver Raum P2) eine Sphäre S2 ist. Der interessierte Leser findet in einer der Säle des Palais de la Découverte in Paris eine dreidimensionale Modellvorlage der Boy-Fläche, die wir vom Plastiker Max Sauze anfertigen ließen, basierend auf einem rohere Modell, das wir selbst erstellt hatten.
Bei diesen Operationen der zweifachen Überlagerung wickeln sich die Meridiane und Parallelen der Objekte auf sich selbst. Man kann beispielsweise zeigen, was mit den „Parallelen“ des Torus geschieht (die ebenfalls in der Darstellung eingebettet sind):
Bei dieser Einbettung des Torus sind die parallelen Kurven offensichtlich keine Geodäten der Fläche (außer dem „Halskreis“). Analoges gilt für die Meridiane des Torus, die Geodäten seiner Einbettung sind...