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Gruppe der Translationen:
...Betrachten wir den 2D-Raum (x,y). In diesem Raum entspricht eine Translation dem Paar von Skalaren (Δx, Δy), und man üblicherweise schreibt:
x' = x + Δx
y' = y + Δy
Man verwendet dann die Addition. Kann man die Translation nicht mit einer ... Multiplikation kodieren?
Betrachten wir die Matrizen:
und die Gruppenwirkung:
Man beachte, dass es sich hier nicht mehr um die einfache Matrixmultiplikation g × r handelt, sondern um die Gruppenwirkung:
Man kann nebenbei auch Translationen in drei, vier und mehr Dimensionen betrachten:
Die entsprechende Gruppenwirkung ist dann:
...Zusätzlich ist die Gruppe der Translationen kommutativ, und das neutrale Element ist die „Null-Translation“. In 3D hat die Gruppe die Dimension drei, in 4D ist sie vierdimensional.
Vorteile von Matrizengruppen. Beispiel: Die Euklidische Gruppe.
...Der Vorteil einer Matrizengruppe besteht darin, dass man gleichzeitig mehrere Dinge behandeln kann, die bislang als unterschiedlicher Natur erschienen, beispielsweise Drehung und Translation. Es genügt dann, die Matrizen zu betrachten:
und die Matrix-Elemente der Gruppe auf den Spaltenvektor anzuwenden, um festzustellen, dass dies der Kombination einer Drehung um den Winkel α und einer Translation entlang dem Vektor (Δx, Δy) entspricht.
...Wie man sieht, wirkt die Matrix g nicht „direkt“ auf die Punkte (x,y) in diesem 2D-Raum, sondern über eine sogenannte „Gruppenwirkung“, die bestimmten Axiomen folgt.
...So „wirkt“ und „transportiert“ eine Gruppe, in diesem Fall Punkte. Es handelt sich hier um die Euklidische Gruppe. In Verbindung mit einem 2D-Raum (x,y) wird diese Gruppe durch drei Parameter definiert. Es ist g(α, Δx, Δy): die Dimension dieser Gruppe ist 3. Speziell:
g(0, Δx, Δy) repräsentiert den Untergruppe der Translationen.
g(α, 0, 0) repräsentiert die Untergruppe der Drehungen um den Ursprung.
g(0, Δx, 0) repräsentiert die Untergruppe der Translationen parallel zu einer Geraden (der Achse OX).
...Die Euklidische Gruppe transportiert Punkte, die an sich keine Eigenschaften besitzen (im Gegensatz zu den Gruppen der Dynamik, die einem einfachen „Massenpunkt“ Eigenschaften wie Masse, Energie, Impuls, Spin verleihen).
...Mit der Euklidischen Gruppe muss man Mengen von Punkten betrachten. Als ob in der Chemie die Atome untereinander nicht unterscheidbar wären und nur die Geometrie von Molekülanordnungen eine Information trügen.
...Eine geometrische Figur, Dreieck (als Menge aus drei Punkten oder drei Strecken betrachtet), Quadrat (als Menge aus vier Punkten oder vier Strecken betrachtet), kann durch die Gruppe transportiert werden. Hier kommt der zentrale Begriff der „Art“ ins Spiel. Zwei „Objekte“ gelten als derselben Art, wenn es ein Element der Gruppe gibt, das es erlaubt, eines auf das andere zu bringen.
Im Hinblick auf die Euklidische Gruppe bilden Quadrate mit gleicher Seitenlänge a eine Art:
Quadrate derselben Art.
...Wenn die Seitenlängen a und b unterschiedlich sind, gehören diese Objekte nicht zur selben Art. Es gibt kein Gruppenelement, das von einem zum anderen führt.
Im Hinblick auf die Euklidische Gruppe bilden diese Quadrate keine gemeinsame Art.
Euklid erlaubt keine Ähnlichkeitsabbildungen (Homothetien). Um dies zu berücksichtigen, müsste man zu einer anderen Gruppe übergehen, der Gruppe von Descartes:
Gruppe mit vier Parametern
g(λ, α, Δx, Δy),
wobei λ ein Ähnlichkeitsfaktor ist. Die Dimension dieser Gruppe ist somit 4.
Von hier aus kann man sich leicht vorstellen, dass eine Euklidische Gruppe auch auf Objekte im dreidimensionalen Raum wirken kann.
...Es geht nicht darum, einen kompletten Kurs über Gruppen zu halten, sondern nur einige Ideen zu vermitteln. Was ist Zoologie? Eine Wissenschaft, die Tiere untersucht und klassifiziert. Wenn man sich auf die Form beschränkt, ermöglicht die Euklidische Gruppe die Klassifizierung von erwachsenen Hasen. Um Hasen unterschiedlicher Größe in derselben Art zu klassifizieren, müsste man die Gruppe von Descartes heranziehen, da es kein Element der dreidimensionalen Euklidischen Gruppe gibt, das von einem kleinen Hasen zu einem großen Hasen führen würde.
...Sie lächeln? Sie irren sich. Sie haben vielleicht in Ihrer Wohnung oder Ihrem Haus ein kleines Kind, das gerade lernt, und in einer Ecke spielt. Ihnen haben Sie ein klassisches Spielzeug gegeben, bei dem es darum geht, verschiedene Formen in eine Art Kasten einzuführen: Zylinder, Würfel oder Prismen mit dreieckiger Grundfläche.
...Was tut das Kind gerade? Es gewöhnt sich an die dreidimensionale Euklidische Gruppe. Es klassifiziert Objekte nach Arten, was ihm später ermöglichen wird, sie zu erkennen und „Formen zu erkennen“.
...Obwohl die Zylinder unterschiedliche Farben haben, prüft das Kind, ob es Gruppenwirkungen (Verschiebungen dieser Objekte im 3D-Raum) gibt, die es ermöglichen, den Zylinder A und den Zylinder B zur Deckung zu bringen, indem es den Ausschnitt verwendet, der die „Hohlform“ des Zylinders oder Prismas darstellt – den Eingang zur Fachabteilung in seinem Sortierkasten. So lernt es, dass diese Zylinder A und B im Hinblick auf das Kriterium Form (Euklidische Gruppe) zur selben Art gehören.
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