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Eine quadratische Matrix vom Rang (n,n) wirkt auf einen Spaltenvektor (n,0). Wie bereits gezeigt wurde, beinhaltet die euklidische Gruppe 2d, die sich auf einen Raum (x,y) bezieht, keine Operationen auf Spaltenvektoren:
(51)
sondern auf Spaltenvektoren:
(52)
Dies stellt ein Beispiel für die Wirkung der Gruppe auf einen Raum X mit x ∈ X dar. Es gibt unendlich viele mögliche Wirkungen, selbst nur die Wirkung der Gruppe auf sich selbst. Die Wirkungen werden durch Axiome definiert:
(53)
Betrachtet man den Spaltenvektor:
(54)
wobei x beispielsweise die Vektoren darstellt:
(55)
(56)
so erfüllt er die Axiome der Gruppenwirkung. Man kann dann eine Linksmultiplikation der quadratischen Matrix, die das Gruppenelement repräsentiert, mit einer Zeilenmatrix y vornehmen und sich fragen, ob dies ebenfalls eine Wirkung ist:
(57)
A g (y) = y x g
Die Antwort lautet nein. Dies ist keine Gruppenwirkung: Sie erfüllt nicht die oben genannten Axiome. Es handelt sich vielmehr um das, was ich eine „Antiwirkung“ nenne, die den folgenden „Anti-Axiomen“ gehorcht:
(58)
Ein Mathematiker würde sagen, dass es keinerlei Notwendigkeit gibt, solche „Antiwirkungen“ einzuführen, und dass nur ein einziges Axiomensystem ausreicht. Sicherlich. Ebenso kann die sogenannte Antiwirkung:
(59)
AA g (m) = g⁻¹ x m x g
für einen gegebenen Vektor m, als eine Wirkung des Elements g⁻¹ interpretiert werden. Ebenso ist eine „Antiwirkung“ nichts anderes als die duale Wirkung einer Wirkung. Ich fand es aus didaktischen Gründen zweckmäßig, diesen Begriff einzuführen.
Von einer Gruppe quadratischer Matrizen, die von n Parametern pᵢ abhängt, kann man Matrizen erzeugen, indem man alle diese Parameter nach:
dpᵢ differenziert. Die so erhaltenen Matrizen, die mit Elementen dpᵢ besetzt sind, bilden keine Gruppe, sondern das, was man den „Tangentialvektor an die Gruppe“ nennt:
d g
(seine „Lie-Algebra“, die übrigens auch keine echte Algebra ist, aber lassen wir das…).
Die Gruppe kann daher auf den Tangentialvektor d g „im Umfeld des neutralen Elements e der Gruppe“ durch die „Antiwirkung“ wirken:
(60)
AA g (m) = g⁻¹ x d g (g=e) x g
Man erhält somit das Schema:
(61)
Doch eine Antiwirkung ist die duale einer Wirkung. Wenn jedoch Dualität besteht, bleibt das Skalarprodukt S erhalten.
Souriau suchte daher, eine zweite Gruppenwirkung zu konstruieren, nämlich die Wirkung der Gruppe auf ihren Raum der Momente. Diese Wirkung, die sogenannte „koadjungierte“ oder „essentielle“ Wirkung, konnte jedoch nicht direkt entstehen. Stattdessen musste er diesen Zwischenschritt durchlaufen, den ich die „Antiwirkung der Gruppe auf ihren Tangentialvektor“ nenne.
Die gesuchte Wirkung entsteht somit als duale der Antiwirkung der Gruppe auf ihren Tangentialvektor. Und die duale einer Antiwirkung ist eine Wirkung, die folgendermaßen geschrieben wird:
(62)
A g (J)
wobei J der „Moment“ ist: eine Ansammlung von Größen, die Attribute eines „materialen Punktes“ darstellen. Die betreffende Wirkung, die sogenannte „koadjungierte“ Wirkung, zeigt, wie sich diese Attribute im Laufe der Bewegung verändern.
Es existiert eine Gruppe, die später vorgestellt wird, die eine Erweiterung der Galilei-Gruppe ist, die ebenfalls später vorgestellt wird und die Gruppe von Bargmann (1960) heißt. Durch Anwendung dieser Methode auf diese Gruppe kann man ihren Moment J B und die Art und Weise konstruieren, wie die Gruppe auf ihn wirkt.
Souriau pflegt zu sagen:
Der Moment folgt der Bewegung wie sein Schatten.
Schöne Metapher, entlehnt aus seinem Werk „Grammaire de la Nature“. Der materielle Punkt bewegt sich tatsächlich im Raum-Zeit-Raum (x,y,z,t). Dabei ändern sich seine Eigenschaften, was durch diese koadjungierte Wirkung der Gruppe auf ihren Raum der Momente beschrieben wird.
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