6
Wir werden die Komponenten des Moments des Bargmann-Gruppe nicht aufschreiben. Schriftlich schreiben wir das Moment der Bargmann-Gruppe wie folgt:
J B = { ein Skalar m, plus die anderen Komponenten des Moments }
Die coadjungierte Wirkung
zeigt, wie sich die verschiedenen Komponenten des Moments transformieren. Aber diese coadjungierte Wirkung beginnt mit der einfachen Beziehung:
(63)
m' = m
Die coadjungierte Wirkung der Bargmann-Gruppe auf ihr Moment beginnt damit, die Masse zu bewahren, die somit einen rein geometrischen Status erhält.
Konstruktion der coadjungierten Wirkung der Poincaré-Gruppe auf ihrem Momentenraum J p.
Wenn Sie bereits völlig verloren sind, lassen Sie es einfach. Das ist normal und wird mit den Seiten immer schwieriger. Ich weiß nicht mehr genau, wem das folgende gilt. Wahrscheinlich Theoretischen Physikern oder Mathematikern, aber sicher nicht Handwerkern. Aber ein Student der Grande Ecole oder Physik-Lizentiat, der sich festhält, kann folgen. Es sind einfach nur Matrizen.
Alles beginnt mit einer Gruppe von Matrizen der Größe (4,4), die die Lorentz-Gruppe bilden, deren Element
List.
Diese werden axiomatisch definiert anhand einer Matrix
G:
(64)
gemäß:
(65)
t L G L = G
wobei die Transponierte der Matrix
Lvorkommt.
Die Matrizen
Lbilden eine Gruppe.
Beweis.
Das neutrale Element ist
L
= 1:
Seien
L 1
und
L 2
zwei Elemente der Menge. Prüfen wir, ob das Produkt
L 1 L 2
der Gruppe angehört. Falls dies der Fall ist:
t ( L 1 L 2 ) G L 1 L 2 = G
Aber:
t ( A B ) = t B t A
Daher:
t ( L 1 L 2 ) G L 1 L 2 = t L 2 t L 1 G L 1 L 2 = t L 2 ( t L 1 G L 1 ) L 2 = t L 2 G L 2
Berechnen wir nun die inverse Matrix von L. Wir starten mit der axiomatischen Definition der Elemente L:
t L G L = G
Wir multiplizieren rechts mit
L -1
:
t L G L L -1 = G L -1 t L G = G L -1
Wir multiplizieren links mit
G:
G t L G = G G L -1 G t L G = L -1
Daher ist die inverse Matrix von
L:
L -1 = G t L G
Also:
(66)
der Raum-Zeit-Vektor. Die Matrix
Gkommt von der Minkowski-Metrik, die dann geschrieben werden kann (mit c = 1):
(67)
Übung: Zeigen Sie, dass die inverse Matrix folgt:
(68)
Wir führen dann einen translationsraumzeitlichen Vektor ein:
(69)
Von dem aus bauen wir das Element
g p
der Poincaré-Gruppe:
(70)
Übung: Zeigen Sie, dass dies eine Gruppe bildet und berechnen Sie die inverse Matrix:
(71)
Hier ist der „Tangentialvektor der Gruppe, Element ihrer „Lie-Algebra“:
(72)
Von hier aus berechnen wir die Antiwirkung:
(73)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
Aus Gründen der Rechenbequemlichkeit stellen wir fest, dass:
(74)
G d L
eine antisymmetrische Matrix ist. Nennen wir sie:
(75)
daher:
(76)
Setzen wir:
(77)
Von diesem Material aus bauen wir die Antiwirkung:
(78)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
Nach allen Berechnungen erhalten wir die Abbildung:
(79)
Wenn Sie diesen Teil mit einfachen Matrizenberechnungen überspringen möchten, sehen Sie sich Gleichung (80) an, unten auf der Seite
(79a)
(79b)
woraus die Elemente der Antiwirkung folgen:
(79c)
aber:
(79d)
daher:
(79e)
aber
GG = 1
daher:
(79f)
woraus wir die Abbildung erhalten:
(79g)
Was die gesuchte Antiwirkung darstellt, die Abbildung:
(80)
Zurück zum Unterpunkt „Gruppen und Physik“