7
Ein Element
g
p der Poincaré-Gruppe
Gp wird durch eine Folge von Parametern {
p
i} definiert,
deren Anzahl, wie wir bereits sagten, die
Dimension der Gruppe
darstellt. Die Matrix
d g
(g = e)
besteht aus den Größen
{
dp
i} . Die obige Abbildung ist also von folgendem Typ:
(81)
Mit anderen Worten, einem Satz von Skalaren
dp
i
wird ein gleich großer Satz von Skalaren
dp
i
' zugeordnet.
Die Dualität besteht darin, die Invarianz eines Skalars zu postulieren, gemäß:
(82)
wobei n die Dimension der Gruppe ist (zehn für die Poincaré-Gruppe). Die Skalare Ji repräsentieren die Komponenten des Impulses, mit der gleichen Anzahl.
Wir entschließen uns, den Impuls
J
in zwei Objekte zu zerlegen. Das erste ist eine anti-symmetrische Matrix
M
der Größe (4,4), also mit sechs Komponenten, und das zweite ein „Vierervektor“
P
, eine Matrix der Größe (4,1) :
(83)
(84) J = {
M
,
p
, E} = {
M
,
P }
Wir schreiben das Skalarprodukt in der Form:
(85)
Tr bedeutet „Spur von“, und wir haben noch:
(86)
eine lineare Form, deren Invarianz die Dualität sichert.
mit:
(87)
(87b)
(87c)
aber
GG
= 1
daher gilt:
(88)
Identifizieren Sie die Terme in
y (89)
Das heißt:
(90)
----> Dort folgen erneut Berechnungsdetails
mit Matrizen. Falls Sie möchten,
klicken Sie hier
um direkt zum Ergebnis zu gelangen.
In der Spur können Sie die Terme zyklisch vertauschen.
(90a)
(90b)
(90c)
Der zweite Term auf der rechten Seite ist gleich dem Produkt einer
Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix.
Dies ist gleich der Spur des umgekehrten Produkts
(im Folgenden schematisch, das Produkt einer Zeilenmatrix mit
einer Spaltenmatrix):
(90d)
In dieser Spur kann ich eine zyklische Permutation durchführen:
(90e)
Daraus folgt:
(90f)
(90g)
Hier wenden wir erneut den Satz
über die Spuren von Matrizen an, die das Produkt einer anderen Matrix mit einer
symmetrischen Matrix sind.
Jede Matrix kann symmetrisiert
oder antisymmetrisiert werden. Außerdem ist die Spur des Produkts einer Matrix
mit einer symmetrischen Matrix null.
(90h)
Ich kann das auf die Matrix (90i) anwenden
da die Spur genommen wird
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
aber:
(90l)
daher
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
und:
(90q)
schließlich:
(90r)
Zusammenfassend und durch Vertauschen der Primzahlen erhalte ich meine Gruppenaktion:
Bilder
Zurück zum Unterabschnitt „Gruppen
und Physik“