8
(91)
Diese adjungierte Wirkung kann in matrixform geschrieben werden.
Die Matrix der Poincaré-Gruppe ist:
(92)
ihre Transponierte ist:
(93)
Betrachten wir die Matrix:
(94)
Das heißt, wir werden den Impuls
(95)
Jp = {
M,
P }
in Matrixform schreiben und das Produkt bilden:
(96)
(97)
(98)
das ich der Matrix zuordnen kann:
(99)
Jp ist also der Impuls der Poincaré-Gruppe, in Matrixform. Und die adjungierte Wirkung kann geschrieben werden als:
(100)
Als Übung kann der Leser, aufbauend auf den Axiomen, überprüfen, dass es sich tatsächlich um eine
Wirkung
handelt.
Der Impuls der Poincaré-Gruppe kann wie folgt explizit dargestellt werden:
(101)
Diese Matrix ist antisymmetrisch (was bedeutet, dass ihre Hauptdiagonale aus Nullen besteht).
Mist die Matrix:
(102)
Lassen Sie uns diese explizit darstellen:
(103)
Es handelt sich tatsächlich um eine antisymmetrische Matrix, wie bereits zu Beginn angenommen, die von sechs Parametern abhängt:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Die drei letzten ( fx , fy , fz ) sind die Komponenten eines Vektors, des Vektors
f
:
(105)
Die ersten drei ( lx , ly , lz ) sind die unabhängigen Komponenten einer antisymmetrischen (3,3)-Matrix, des
Drehimpuls
l
:
(106)
Somit:
(107)
Der Vektor
Pist der
Vierervektor Impuls-Energie
:
(108)
Es ist nun möglich, den Impuls der Poincaré-Gruppe allgemein zu explizieren:
(109)
Es lässt sich überprüfen, dass es sich tatsächlich um ein Objekt mit zehn Komponenten handelt (die Anzahl entspricht der Dimension der Gruppe).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p
, f , l
}
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