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Das einzige, was ich sagen kann, ist:
- dass ich mich von der „Zielgröße“ um einen Abstand
c
entfernt habe.
- dass ich sie beobachtete, während ich selbst mit einer Geschwindigkeit
v
bewegte.
- dass ich gegenüber dieser Zielgröße um einen Zeitversatz
D t
verschoben war.
Im Verhältnis zu mir:
--- Ich habe ihre Masse m nicht verändert.
--- Ich habe ihr einen Impuls m
v
(Impulsgröße) verliehen.
--- Ich habe ihr einen Übergang m [c - v D t] verliehen.
--- Und eine Rotation:
Lassen wir dies näher erläutern:
(118a)
(118b)
(118c)
bzw.:
(118d)
Man kann die drei unabhängigen Komponenten der Rotationsmatrix
l
als die eines Vektors auffassen. Dieser Vektor lässt sich dann schreiben als:
(119)
Obwohl wir im Rahmen unseres Raumes das Vektorprodukt nicht definiert haben, d. h. ihm keine rechts-links-Orientierung zugewiesen haben, können wir dies dennoch als Vektorprodukt betrachten:
(120)
Das umgekehrte
v
bezeichnet dabei das Vektorprodukt. Man erkennt, dass die letzte Zeile der Formeln, die die adjungierte Wirkung auf den Impuls beschreiben, entspricht:
(121)
l
ist eine Matrix und kein Vektor (aber in unseren Notationen bezeichnen fettgedruckte Buchstaben indifferenterweise sowohl Matrizen als auch Vektoren, während kursiv geschriebene Buchstaben Skalare bezeichnen).
Dieser Vektor, der als Vektorprodukt entsteht, beginnt für den Physiker bereits, etwas Vertrautes zu erinnern: das
Drehimpuls
.
Man nimmt eine Teilchen, entfernt sich von ihm um
c
und beobachtet es, während man mit der Geschwindigkeit
v
umherwandert. Es wirkt, als wäre das Gegenteil der Fall: dass das Teilchen von einem annahmsweise ruhenden Beobachter entfernt ist und sich mit der Geschwindigkeit
v
bewegt.
(122)
Übrig bleibt der „Übergang“
f = m [c - v D t]
Dieser verschwindet einfach durch
c = v D t
, d. h. durch eine Verbindung zwischen der Geschwindigkeit
v
und der raumzeitlichen Verschiebung:
(123)
Betrachten wir nun den Impuls, der aus der Poincaré-Gruppe abgeleitet wurde, in einem Koordinatensystem, in dem der Übergang verschwindet:
(124)
Eine Teilchen ist eine spezielle Wahl innerhalb des Impulses. Dennoch ermöglichen Koordinatentransformationen, den Übergang
f
zu eliminieren und die Komponenten der Rotation
l
und des Impulses
Pauf eine einzige Komponente (Bewegung in z-Richtung) zu reduzieren:
(125)
Das Objekt, das durch die Poincaré-Gruppe beschrieben wird, besitzt daher a priori:
-
Eine Energie E
-
Einen Impuls P
-
Ein intrinsisches Drehmoment l
Das Drehmoment ist eine Masse mal eine Länge mal eine Geschwindigkeit, also dimensioniert wie M L² T⁻¹, also wie die Plancksche Konstante h.
Die Methode der
geometrischen Quantisierung
, entwickelt von Souriau (siehe: Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973), zeigt, dass dieses Drehmoment proportional sein muss zu:
(125b)
in halbzahligen Werten. Das heißt entweder die Einheit (Photon) oder 1/2 für andere Teilchen wie Elektron, Proton, Neutron, Neutrinos und deren Antiteilchen.
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