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Teilchen mit Spin und nicht verschwindender Masse.
Es besteht nun kein direkter Zusammenhang zwischen Energie und Impuls, wie bei Photonen und Neutrinos, Teilchen mit verschwindender Masse.
(131)
m bezeichnet die Ruhemasse, die dann mit der Masse übereinstimmt, die aus der Bargmann-Gruppe hervorgeht, und es gilt:
(132a)
(132b)
Beschränken wir uns auf:
Proton
Elektron
Neutron
sowie ihre Antiteilchen.
Die Teilchen besitzen verschiedene Ladungen, Eigenschaften, die ebenfalls nicht aus der Poincaré-Gruppe hervorgehen:
-
Die elektrische Ladung e = ± 1
-
Die Baryonenzahl cB = ± 1
-
Die Leptonenzahl cL = ± 1
-
Die Myonenzahl cm = ± 1
-
Die Tau-Nummer ct = ± 1
-
Der gyromagnetische Faktor
Die Umkehrung all dieser Größen entspricht der C-Symmetrie. Man kann dies daher wie folgt zusammenfassen:
(133)
die eine beliebige Orientierung annehmen kann, ebenso wie der Spin.
Das magnetische Moment ist gleich dem gyromagnetischen Faktor
v
multipliziert mit dem Spin
s.
(134)
Hier haben wir einen fetten Buchstaben
s
für den Spin verwendet. Das bedeutet, dass die Richtung des Spins der Teilchen beliebig sein kann. Ihr Betrag hingegen ist eine ihrer Eigenschaften und grundsätzlich invariant (geometrische Quantisierung der Rotation der Teilchen).
Die C-Symmetrie, die Ladungskonjugation, die den gyromagnetischen Faktor
v
umkehrt, kehrt auch das magnetische Moment um. Der Spin bleibt dabei unverändert.
Permanente Magnete.
Wenn man ein Stück weichen Eisen in ein hinreichend starkes Magnetfeld bringt und dann das Feld abschwächt, behält der Metallstück eine permanente Magnetisierung. Was ist geschehen?
Das Magnetfeld richtet die Spins der Elektronen aus, die sich wie kleine Magnete, kleine magnetische Dipole, verhalten.
Aber warum behalten sie dann die von außen vorgegebene Richtung bei? Durch Nachahmung. Jedes Elektron richtet sich nach dem Magnetfeld seiner Nachbarn aus. Und da auch die anderen Elektronen dies tun, behalten all diese Momente ihre Parallelität bei. Das ist wie „Panurge im Weltraum“. Solange man den Metallstück nicht erhitzt oder es nicht schlägt, bleibt diese schöne elektronische Ordnung erhalten.
Magnetisches Moment der Antimaterie.
Die Ladungskonjugation, die der Materie-Antimaterie-Transformation im Sinne von Dirac entspricht (dies wird später genauer erläutert), führt aufgrund der Umkehrung des gyromagnetischen Faktors zur Umkehrung des magnetischen Moments, während der Spin unverändert bleibt.
Natürlich verändert diese C-Symmetrie weder die Energie noch den Impuls des Teilchens.
Die vier Komponenten der Lorentz-Gruppe.
Wie bereits gesehen, ist das Element
Lder Lorentz-Gruppe L axiomatisch definiert. Es muss folgende Bedingung erfüllen:
(135)
(136)
Jede Matrix
L, die dieser Definition genügt, gehört zur Gruppe L. Es handelt sich um eine (4,4)-Matrix, die beispielsweise auf folgendes wirken kann:
(137)
also auf den Raum-Zeit-Raum. Man kann sich daher fragen, ob diese Matrizen nicht Symmetrien in diesem Raum ausführen könnten. Könnte man beispielsweise x durch -x ersetzen? Können die Matrizen in verschiedene Untergruppen eingeteilt werden, die diese Operation ausführen, und solche, die sie nicht ausführen?
Vor langer Zeit (auf Englisch: many beautiful candles ago) wurde dies bereits untersucht und gezeigt, dass die Lorentz-Gruppe tatsächlich aus vier Arten von Matrizen besteht.
Ln – diejenigen, die weder Raum noch Zeit umkehren.
Ls – diejenigen, die den Raum umkehren.
Lt – diejenigen, die die Zeit umkehren.
Lst – diejenigen, die beide umkehren.
Man bezeichnet diese Mengen als
Komponenten
einer Gruppe. Die Lorentz-Gruppe besteht daher aus vier Komponenten.
Unmittelbar können wir vier Matrizen angeben, von denen jeweils eine zur genannten Untergruppe gehört:
(138)
A n = 1
(neutrales Element), gehört zu
Ln: kehrt weder Raum noch Zeit um.
A s gehört zu Ls: kehrt den Raum um.
A t gehört zu Lt: kehrt die Zeit um.
Ast gehört zu Lst: kehrt sowohl Raum als auch Zeit um.
Um eine Gruppe (hier eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe) zu bilden, muss eine Menge von Matrizen das neutrale Element
1
im betrachteten Format (n,n), hier (4,4), enthalten. Nur die Matrizen der Menge Ln erfüllen diesen Anspruch. Sie bilden eine
Untergruppe der Lorentz-Gruppe.
Da diese Menge das neutrale Element der Gruppe enthält, nennt man sie auch die
neutrale Komponente der Gruppe.
Die anderen Mengen von Matrizen bilden keine Untergruppen (unmöglich: sie enthalten nicht das neutrale Element).
Bemerkung:
(139)
At = - A s A
st = - A n
Man kann nun die Menge Lo = Ln
»
Ls betrachten, die eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe ist und die man
orthochron
[1] nennt. Die Matrizen Lac = Lt
»
Lst bilden keine Gruppe, sondern die Menge der Komponenten, die der Zeitumkehr entsprechen, die man
antichron
[12] nennt. Die vollständige Lorentz-Gruppe ist:
(140)
L = Lo
»
Lac
Man kann jedoch auch bemerken, dass das Element
(141)
m L
o mit
m
= ± 1
die vollständige Gruppe abdeckt.
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