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Die vier Komponenten der Poincaré-Gruppe.
Von der Lorentz-Gruppe aus konstruiert man die
Poincaré-Gruppe, bereits erwähnt:
(142)
C ist der Vektor der „raumzeitlichen Translation“.
(143)
Diese Poincaré-Gruppe besitzt ebenfalls vier
Komponenten, jeweils verbunden mit der entsprechenden Komponente
der Lorentz-Gruppe.
Oben ist die Wirkung der Gruppe auf ihren Bewegungsraum dargestellt.
Interessant sind jedoch die Wirkungen der vier Komponenten
auf den Impuls. Siehe: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques,
Dunod 1973 (und Birkhäuser 1997, auf Englisch), Kapitel III, Seite 197, Abschnitt
mit dem Titel:
Raum- und Zeitinversionen.
Erinnern wir uns an die Komponenten des Impulses, die der
Poincaré-Gruppe zugeordnet sind:
E: Energie
p: Impuls
f: Durchgang
l: Wirbel
Um den Notationen von Souriau nahe zu kommen, nennen wir:
- L_n die neutrale Komponente der Lorentz-Gruppe.
- L_s diejenige, die den Raum invertiert.
- L_t diejenige, die die Zeit invertiert – L_st diejenige, die beide invertiert.
Da C eine raumzeitliche Translation ist,
sind die vier Komponenten der Poincaré-Gruppe:
g_p (L_n, C) – neutrale Komponente
g_p (L_s, C) – Raum-Inversion
g_p (L_t, C) – Zeit-Inversion
g_p (L_st, C) – Raum- und Zeit-Inversion.
Wir untersuchen die Wirkung auf die Impulskomponenten.
Wir müssen die Formeln betrachten, die die Wirkung der Gruppe auf ihren
Impulsraum angeben:
(144)
P ist der Viervektor:
(145)
Wir können die Matrizen aufschreiben, die analysiert werden müssen:
(146)
mit l = ±1 und m = ±1.
L_n = L(l = 1; m = 1)
L_s = L(l = -1; m = 1)
L_t = L(l = 1; m = -1)
L_st = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
Nun wenden wir uns der Untersuchung der Wirkung auf Wirbel und Durchgang zu.
(149)
Doch im vorliegenden Fall gilt:
C = 0
(150)
daraus folgt:
l' = l und f' = l·m·f
Daraus ergibt sich:
(151)
g_p (L_n, C):
I E → E; p → p; f → f; l → l
g_p (L_s, C):
I E → E; p → -p; f → -f; l → l
g_p (L_t, C):
I E → -E; p → p; f → -f; l → l
g_p (L_st, C):
I E → -E; p → -p; f → f; l → l
Die Inversionen verändern niemals den Wirbel l.
Dagegen sind Zeitinversion und Energieinversion,
E → -E, synonym.
Der Wirbel ist synonym mit dem Spin, wenn er quantisiert ist.
Keine Inversion verändert ihn.
Der Spin (als Betrag des Wirbelvektors der Teilchen) ist lediglich eine Zahl.
Die Ruheenergie einer Teilchen beträgt mc².
Die Zeitinversion ist synonym mit der Inversion der Masse m.
Die Rauminversion invertiert die Masse nicht.
Die ersten beiden Komponenten der Gruppe werden von Souriau
„orthochron“ genannt,
die beiden letzten „antichron“.
Er weist darauf hin, dass dies das Problem negativer Massen aufwirft,
das Physiker nicht gern sehen. Tatsächlich: Was geschieht bei der Begegnung zweier Teilchen mit den Energien +mc² und -mc²?
Es tritt eine vollständige Annihilation auf.
Es handelt sich nicht um die einfache Materie-Antimaterie-Annihilation, die Photonen erzeugt.
Es würde ein Phänomen entstehen, das rein aus Nichts besteht.
Um diesem Problem negativer Massen zu entgehen,
sieht Souriau zwei Lösungen vor. Die erste besteht darin, einfach zu entscheiden,
dass Teilchen mit negativer Masse nicht existieren. Die zweite besteht darin,
die antichronen Transformationen auszuschließen.
Wörtlich paraphrasiert könnten wir sagen:
- Gott, in seiner unendlichen Weisheit...
Wir setzen nun die Entwicklung von Elementen fort,
die als Ausgangspunkt für unsere eigene Arbeit dienen werden.
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