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Zentrale Erweiterung der Poincaré-Gruppe.
Eine solche Erweiterung wird im Buch von J.M. Souriau, „Structure des Systèmes Dynamiques“, erwähnt. Seine Methode der geometrischen Quantisierung ermöglicht es, ausgehend von der Gruppe, die Gleichungen der Quantenmechanik wiederherzustellen. So führt beispielsweise die Bargmann-Gruppe, die den nichtrelativistischen Massenpunkt beschreibt, zur Schrödinger-Gleichung, die ebenfalls nichtrelativistisch ist.
Ausgangspunkt ist die Galilei-Gruppe. Es handelt sich um eine (5,5)-Matrix, die folgendermaßen konstruiert ist:
(152)
Die Rotationsmatrix hängt von drei Parametern ab, den Eulerwinkeln. Daher hat die Gruppe die Dimension zehn.
Mit den Bezeichnungen:
(153)
(154)
verbunden mit dem Raum-Zeit-Raum:
(155)
Obwohl dies seltsam erscheinen mag, tritt die Masse m als geometrisches Objekt bei der Konstruktion der ko-adjungierten Wirkung der Gruppe auf ihrem Momentenraum nicht auf. Dies ist nur durch eine nichttriviale Erweiterung dieser Gruppe möglich, die Bargmann-Gruppe (1960).
(156)
Das Vorhandensein des Skalars f erhöht die Dimension dieser Gruppe um eins: sie hat nun elf Dimensionen.
Diese Gruppe wirkt auf einen fünfdimensionalen Raum, den Raum-Zeit-Raum, plus einer zusätzlichen Dimension z durch die Wirkung:
(157)
Die ko-adjungierte Wirkung der Bargmann-Gruppe auf ihren Moment wurde oben bereits angegeben. Man sieht, dass die Hinzufügung des Skalars f, die die Gruppe um eine Dimension erhöht, eine zusätzliche Komponente im Moment hinzufügt, die dann mit der Masse m identifiziert werden kann (die dabei übrigens erhalten bleibt: m' = m).
Von der Bargmann-Gruppe ausgehend und ihre Methode der geometrischen Quantisierung anwendend, kann Souriau nun die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung konstruieren.
Die relativistische Quantengleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung. Es war daher naheliegend zu fragen, von welcher Gruppe sie abgeleitet werden könnte. Es ist die zentrale Erweiterung:
(158)
„pe“ für „erweitertes Poincaré“. Hier wurde die Poincaré-Gruppe aus dem orthochronen Untergruppe des Lorentz-Gruppe Lo konstruiert.
Der zugehörige Raum ist ebenfalls fünfdimensional:
(159)
(t, x, y, z, z).
Diese Erweiterung ist einfacher als die von Bargmann, aber in der Relativitätstheorie sind die Dinge grundsätzlich einfacher. Man zeigt nebenbei, dass zwischen dem 1 und dem f in der ersten Zeile nur die Zeilenmatrix 0 = (0 0 0) stehen kann: ausschließlich Nullen.
Die Methode der geometrischen Quantisierung führt dann zur Klein-Gordon-Gleichung. Beziehungsweise auf die Wirkung der Gruppe auf ihren Momentenraum erhält man Folgendes:
(160)
J_pe = {c, M, P} = {c, J_p}
Die Berechnung ist nicht kompliziert; sie entspricht im Wesentlichen vollständig der Berechnung der ko-adjungierten Wirkung der Poincaré-Gruppe auf ihren Moment.
Man berechnet die antipodale Wirkung:
(160b)
und drückt dann die Invarianz des Skalarprodukts (Dualität) aus:
(160c)
Wenn Sie diesen Rechenschritt bewältigen, ist das ein deutliches positives Zeichen. Es würde bedeuten, dass Sie langsam in dieses Durcheinander hineinwachsen.
Ein Skalar c tritt auf, dessen einzige Funktion darin besteht, erhalten zu bleiben. Was bedeutet er? Keine Erklärung. Es ist einfach „etwas, das erhalten bleibt“. Man kann ihm beispielsweise den Status einer elektrischen Ladung zuweisen.
Die erste Idee, die aufkommt, ist, diese Art der Erweiterung mehrfach durchzuführen:
(161)
Später wird gezeigt, dass man diese Operation beliebig oft wiederholen kann und jeweils einen zusätzlichen Skalar hinzufügt:
(162)
J_pe = {c₁, c₂, c₃, ..., M, P}
J_pe = {c₁, c₂, c₃, ..., J_p}
mit folgender ko-adjungierter Wirkung:
(163)
Man wird dann bestimmte diskrete Werte der Momentkomponenten als Ladungen des Teilchens betrachten.
Nun könnte der Leser sagen: Tatsächlich könnte man beispielsweise sechs zusätzliche Zeilen hinzufügen. Man erhielte dann die Invarianz von Skalaren, die man identifizieren könnte mit:
(164)
c₁ = e (elektrische Ladung)
c₂ = cB (Baryonenzahl)
c₃ = cL (Leptonenzahl)
c₄ = cₘ (Myonenladung)
c₅ = cₜ (Tau-Ladung)
c₆ = v (gyromagnetisches Verhältnis)
Es genügt, die Gruppe mit der entsprechenden Wirkung zu betrachten, die einem zehndimensionalen Raum zugeordnet ist:
(165)
(x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
Wiederum konstruiert man die Gruppe um die orthochrone Untergruppe Lo der Lorentz-Gruppe:
Lo = Ln (neutrale Komponente)
» Ln (Rauminversion).
Diese zweikomponentige Gruppe führt einfach sechs Skalare hervor, die das Teilchen begleiten, ohne mit irgendetwas zu interagieren. Der Moment wird:
(167)
J_pe = {q, cB, cL, cₘ, cₜ, v, J_p}
wobei J_p den „Poincaré-Anteil“ darstellt. Doch dies bleibt von begrenztem Interesse.
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