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Zurück zur zentralen Frage.
Wir sind bereit, eine Expedition zu unternehmen, das heißt, eine einfache Matrix zu schreiben, eine Gruppe zu erfinden, die von einer bestimmten Anzahl von Parametern abhängt und auf einem Raum mit einer bestimmten Anzahl von Dimensionen (hier konkret zehn) wirken kann. Dann, arbeitend wie ein Boustrophedon (von „bous“, dem Ochsen, und „strophedein“, dem Pfluggraben), haben wir diese berühmte
adjungierte Wirkung der Gruppe auf ihren Momentenraum
berechnet und diesen definiert, seine Eigenschaften, seine Komponenten und die Art und Weise, wie diese adjungierte Wirkung auf sie einwirkt, wobei wir nun versuchen werden, ihr einen
Bedeutung
und eine
physikalische Interpretation
zu geben.
Blicken wir kurz zurück auf den bisher zurückgelegten Weg, indem wir eine Gruppe erneut in Betracht ziehen, die formal komplizierter erscheint:
(168)
doch uns eine adjungierte Wirkung lieferte, nachfolgend:
(169)
die sofort die Komponenten dieses
punktartigen Objekts
, dieses
materiellen Punktes
, offenbarte.
(170)
J B = { E , m , p , f , l } J B = = { E , m , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz }
In jedem Fall wussten wir von Anfang an, dass dieser geheimnisvolle Impuls aus elf Skalaren bestehen müsse, da ihre Anzahl der Dimension der Gruppe entsprechen musste, die ebenfalls elf beträgt. Ein Blick auf die Matrixelemente der Bargmann-Gruppe:
(171)
a ist eine „orthogonale“ Matrix, eine Matrix, die „dreht“ oder „mit einer Drehung in einem dreidimensionalen Raum verbunden ist“. Wir hatten sie bereits im zweidimensionalen Fall ausführlich dargestellt. In diesem Fall hing sie nur von einem einzigen Parameter ab, dem Rotationswinkel
a
.
Im dreidimensionalen Fall hängt sie von drei Parametern ab, den Euler-Winkeln:
a b g
Der Geschwindigkeitsvektor
v
liefert drei zusätzliche Parameter:
vx vy vz
Die räumliche Translation
c
bringt drei weitere hinz:
D x D y D z
und die zeitliche Translation ein weiteres:
e = D t
Insgesamt: zehn.
Ein mysteriöser elfter Parameter hinzufügen:
f
„verbunden mit der Quantenwelt“. Gut...
Gesamtsumme: elf. Also ein Impuls mit elf Komponenten, den ich in folgender Form darstellen könnte:
(172)
J B = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Beim Berechnen aller Komponenten konnte ich Beziehungen zwischen ihnen erkennen, wie sie sich gegenseitig verknüpften und gruppierten, um folgendes zu bilden:
-
Skalare (E und m)
-
Vektoren (
p
und
f
)
- eine Matrix:
l
.
Es ist, als würde ich sagen: Ein Mensch hat einen Kopf, zwei Arme und zwei Beine. Aber wie bewegt er sich, wie sind diese „Komponenten“ miteinander „gegelenkig“ verbunden?
Die adjungierte Wirkung gab uns anschließend genau an, wie die Gruppe auf diese Impulskomponenten einwirkt:
(173)
In dieser Tabelle erkannten wir sofort, dass im berühmten Impuls eine seiner Komponenten, m (der wir auch seinen ursprünglichen, willkürlichen Namen J 2 hätte belassen können), ein einfacher Skalar ist, der gegenüber dieser Gruppenwirkung unberührt bleibt.
Wir dachten dann, dass dieser Status recht gut zu dem passt, was wir über die
Masse
m in einer nicht-relativistischen Welt wissen.
Diese Impulsgleichungen lieferten uns die Werte der sogenannten Attribute, der Komponenten des Impulses, der dem materiellen Punkt zugeordnet ist: Wir verfolgen die Materie in ihren Zuständen: Wenn sie gedreht wird (
a
), räumlich verschoben (
c
), zeitlich verschoben (e), mit einer Geschwindigkeit
v
ausgestattet und mysteriös in dieser ebenso rätselhaften fünften Dimension
z
um eine Menge
f
verschoben wird, von der uns gesagt wird, dass „alles dies mit der Quantenwelt zusammenhängt“.
Nun gut...
Der Impuls unterliegt einer Transformation durch die adjungierte Wirkung, die auf ihn einwirkt. Er wechselt von einem „Zustand“:
(174)
zu einem anderen „Zustand“:
(175)
Warum sollten wir dann nicht einen gewissen „Grundzustand“ betrachten, der folgendermaßen wäre:
(176)
J B = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }
und sagen, dass eine adjungierte Wirkung dann Attribute hervorrufen würde, die ich erkennen könnte?
Aber ich sehe, dass ich zumindest die Masse m berücksichtigen muss, da die adjungierte Wirkung sie nicht verändert. Wenn ich sie also Null setze, bleibt sie Null. Daher muss ich von dem Grundobjekt ausgehen:
(177)
J B = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
Dieses Objekt hat keine Energie. Die Gruppenwirkung verleiht ihm Energie. Ebenso verleiht sie ihm Impuls, einen Transport und eine Rotation.
Eine kinetische Energie:
(178)
Ein Impuls (der integristische Physiker würde sagen: eine „Bewegungsgröße“):
(179)
m v
Ein „Drehen“, eine Art „eigenes Drehimpulsmoment“,
als ob unser materieller Punkt sich selbst drehen könnte
(was für eine kleine Metallkugel mit Masse m möglich wäre,
die klein genug ist, um als punktförmiges Objekt betrachtet zu werden):
(180)
Es bleibt dieses äußerst verwirrende Objekt für einen Physiker, der „Transport“. Wenn E auf meinen materiellen Punkt wirkt, habe ich ihm ein „Transportattribut“ verliehen, obwohl er zuvor keines besaß, und dieses ist:
(181)
Alle Komponenten der Gruppenmatrix wurden als unabhängige Größen behandelt. Das ist „die allgemeinste Verschiebung“.
Schließlich kann ein Mensch, wenn man auf ihn einwirkt, „verschoben“ und in alle möglichen Zustände versetzt werden.
Hier handelt es sich um die allgemeinste Verschiebung, bei der unser materieller Punkt
entweder:
- gedreht wird:
a
- räumlich verschoben:
c
-
zeitlich verschoben: e
-
mit einer Geschwindigkeit ausgestattet:
v
- um eine mysteriöse Menge
f
in einem ebenso rätselhaften Raum
z
verschoben.
Oder:
- aus der Ferne beobachtet wird
c
- von einem Beobachter, der sich mit einer Geschwindigkeit
v
bewegt
- unter einem Winkel
a
-
gemäß einer Filmsequenz, die e = D t früher oder später aufgenommen wurde.
-
von einem „fünften Blickwinkel“ im Raum
z
aus, wo der Beobachter mysteriös um
z
verschoben wäre.
Alles dies soll „zurückkommen“.
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