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Betrachten wir kühl. Wir haben gesehen, dass verschiedene Teilchen (Photonen, Teilchen, Antiteilchen) verschiedene Arten bilden, die einer Aufteilung des Impulsraums in Teilmengen entsprechen, die diesen Arten entsprechen.
Eine Art ist eine Teilmenge besonderer Bewegungen, eine Teilmenge besonderer Impulse.
Sag mir, wie du dich bewegst, und ich sage dir, was du bist.
Der vollständige Poincaré-Gruppe besitzt vier nicht zusammenhängende, verschiedene Komponenten. Innerhalb des orthochronen Untergruppen befinden sich zwei Komponenten: die neutrale Komponente (die das neutrale Element 1 enthält) und eine andere Komponente, die mit der Raumumkehr verbunden ist. Diese Komponente beeinflusst weder die Energie noch die Masse des Teilchens. Sie entspricht lediglich einer anderen Art von Bewegung, die integraler Bestandteil des Impulsraums ist, der Bewegungen von Teilchen mit positiver Energie zugeordnet ist. Alle Bewegungen können in einem gemeinsamen Raum-Zeit-Raum stattfinden. Bei Antimaterie ist die „Faser“ einfach umgekehrt.
(219)
Die erste Petit-Gruppe.
Es ist dann möglich, eine koadjungierte Wirkung zu schaffen, die Materie in Antimaterie und umgekehrt verwandelt, indem man die erweiterte Poincaré-Gruppe wie folgt verändert:
Wir beginnen mit der orthochronen Komponente Go der Lorentz-Gruppe. Wir entfernen also den antichronen Teil der Poincaré-Gruppe, verdoppeln sie jedoch, indem wir schreiben:
(220)
Die koadjungierte Wirkung führt zu:
(230)
c' = l c
---- Gleiche Situation wie zuvor, mit Berechnung der Antiwirkung:
(230 b)
und Invarianz des Skalars:
(230 c)
Aber Achtung: Wenn ihr die Matrix ableitet, klebt uns bitte nicht einen dl an. l ist kein Parameter der Gruppe, keine freie Variable wie etwa f oder C oder Lo. l, mit dem Wert +/- 1, erzeugt lediglich zwei Komponenten der Gruppe (oder genauer: verdoppelt die Anzahl der Komponenten, da die Lorentz-Gruppe bereits zwei Komponenten besitzt, die die orthochrone Lorentz-Gruppe bilden).
Die Anzahl der Komponenten steigt dann auf 2 × 2 = 4. c kann dann als Ladung angesehen werden.
l = -1 führt zu einer Z-Symmetrie.
Erweiterung der Petit-Gruppe.
Wie oben gesehen, kann man sukzessive Erweiterungen der Poincaré-Gruppe (sechsmal) durchführen. (231)
Der Impuls wird dabei entsprechend erweitert:
(232)
Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
Es wurde vorgeschlagen, diese zusätzlichen Skalare als quantisierte Ladungen der Teilchen zu behandeln.
Analog erweitern wir die Gruppe zu:
(233)
Die koadjungierte Wirkung ergibt:
q' = l q
cB' = l cB
cL' = l cL
cm' = l cm
ct' = l ct
v' = l v
l = -1 führt zu einer C-Symmetrie, einer Ladungskonjugation.
Man kann „kompaktifizieren“ mit:
(234)
Die erste Petit-Gruppe wird dann:
(235)
indem man die koadjungierte Wirkung schreibt:
(236)
C' = l C C
--- - C entspricht der C-Symmetrie.