Souriau
wohnt in einer Wohnung im alten Aix. Die Tür, die auf die Straße führt, ist prächtig.
In der Eingangshalle steht ein ziemlich ungewöhnliches Fahrzeug
: eine Trage, aus der Zeit, die der Eigentümerin, einer Dame, Archäologin, glaube ich, gehört. Die Trage steht an der Wand. Es bleibt nur noch, zwei Träger zu finden, die beiden langen Holzstangen in die Ringe zu stecken und sich hineinzusetzen, um einen Spaziergang zu machen. Die Öffnungen sind verglast: die Seitenfenster können heruntergeklappt werden, nicht mit einer Kurbel, sondern durch das Ziehen von Lederriemen, wie es in den Wagen der Eisenbahnen meiner Kindheit der Fall war.
Wie
all das träumhaft ist. Ich realisiere, dass ich noch nie eine Trage benutzt habe. Ich bin überzeugt, in Zeiten der Arbeitslosigkeit, dass Menschen ihr Leben damit verbringen könnten, die erste reguläre Tragelinie im alten Aix zu betreiben. Es wäre ausreichend, ein Fahrzeug zu bauen, das den alten Tragen ähnelt. Das muss nicht sehr schwierig sein. Dann zwei bestickte Kleidung, zwei Perücken und los. Route: Der Cours Mirabeau. Das wäre mehr als ausreichend. Danach wäre es nur noch nötig zu träumen, etwas Fantasie zu haben.
Jean-Marie
lebt allein mit seinem Kater, Pioum, in seiner großen Wohnung, voller Goldarbeiten, Holzvertäfelungen. Pioum ist niedlich. Trotzdem habe ich nicht viel Anziehungskraft für Katzen. Aber dieser ist äußerst gastfreundlich und zärtlich.
Wir arbeiten meistens in der Küche, einen Stock höher. Ein kleines Zimmer, unter dem Dach, dessen Enge im Kontrast zur Größe der Räume unten steht. Jedes Mal versucht Jean-Marie, mir seinen Lieblingsgetränk zu geben: das Fernet-Branca, basierend auf Artischocken, das ich absolut ekelerregend finde, aber dem er alle Vorzüge zuschreibt.
Wenn
er in der Stadt unterwegs ist, nimmt er seinen GPS mit, der ihn nie verlässt. Es ist tatsächlich faszinierend, von Satelliten geleitet zu werden, die vierzigtausend Kilometer von der Straße entfernt sind, auf der man geht. Um eine bessere Empfang zu haben, neigt Souriau dazu, auf der Achse der Straße zu gehen, mit dem Blick auf den Flüssigkristallbildschirm. Effektiv, scheinbar, aber dennoch relativ gefährlich.
Ich
finde, wir haben viel Spaß. Ein Abend im Dezember besuchte ich ihn, und das gab folgendes Gespräch.
-
Ich
werde dir über Gruppen erzählen. Erinnerst du dich an die Axiome? -
Ja, es gibt sechs. Sie lauten:
1 - Es
gibt Elemente a, b, c ... die zu einer Menge E gehören
2 - Es
gibt eine innere Operation, bezeichnet mit o ("Kreis"), die es ermöglicht, zwei Elemente einer Menge zu kombinieren.
a
gehört zur Menge E
b
gehört zur Menge E
a o b
gehört zur Menge E
3 - Diese
Operation ist assoziativ:
a o b o c
= (a o b) o c = a o (b o c) 4 - Es
gibt ein neutrales Element e, so dass:
a o e = e o a = a 5 - Jedes
Element a der Menge besitzt ein Reziprokes, bezeichnet mit a -1, so dass:
a -1 o a = a o a -1 = e
Das sind
fünf?
-
Schließlich,
fünf, oder vier, oder eins. Es gibt keine absolute Regel in Bezug auf die Nummerierung der Axiome. Man könnte genauso gut die Axiome 1 und 2 zu einem einzigen zusammenfassen: -
Es
gibt Elemente a, b, c, usw., die zu einer Menge E gehören, mit einer inneren Verknüpfung, die folgende Bedingungen erfüllt:
a
gehört zur Menge E
b
gehört zur Menge E
a o b
gehört zur Menge E
das ist gleichbedeutend.
-
Gut,
fünf, vier, egal. Worauf willst du hinaus? -
Ich werde das entfernen, was du die Axiome 4 und 5 genannt hast, das neutrale Element und das Reziproke definierend, und sie durch das Sandwich-Axiom ersetzen. Insgesamt sind die Axiome:
1 - Es
gibt Elemente a, b, c ... die zu einer Menge E gehören
2 - Es
gibt eine innere Operation, bezeichnet mit o ("Kreis"), die es ermöglicht, zwei Elemente einer Menge zu kombinieren.
a
gehört zur Menge E
b
gehört zur Menge E
a o b
gehört zur Menge E
3 - Diese
Operation ist assoziativ:
a o b o c
= (a o b) o c = a o (b o c) 4 - Seien
drei Elemente a, b, c, die zur Menge E gehören.
Sei die Gleichung:
a o y o b = c
Sie besitzt
eine eindeutige Lösung.
Das
nenne ich das Sandwich-Axiom, wobei das „Schinken“ y zwischen den Elementen a und b eingeschlossen ist, und c ist die „Sandwich-Entität“. Das Axiom bedeutet:
Man
kann immer das Schinken aus einem Sandwich entfernen.
und ich sage, dass diese Axiome die Gruppen definieren, sie sind äquivalent zu den vorherigen.
-
Diese
eindeutige Lösung y ist ein Element der Menge E, da die Operation intern und assoziativ ist. -
Natürlich,
das ist selbstverständlich. -
Aber es ist besser, es zu sagen. Ich weiß nicht, wie du es anstellen wirst, um die beiden Axiome zu finden, die sich auf das neutrale Element und die Existenz des Reziproken beziehen, aber ich verstehe zumindest, was dich zu dieser Idee geführt hat.
-
Ich
dachte mir „Wozu dient das?“ -
Genau.
Wozu dient ein neutrales Element? In dieser Form bedeutet es „wenn ich eine Menge E und ein neutrales Element habe, kann ich alle Elemente dieser Menge mit diesem kombinieren und das gleiche Ergebnis erhalten“. Das ist mir egal. Ebenso, wozu dient das Inverse an sich? Wenn man mit Gruppen rechnet, auf irgendeinem Ding, man schafft es immer, durch Multiplikationen rechts oder links mit Elementen oder deren Inversen, um a o a -1 oder a -1 o a zu erhalten, die man durch e ersetzt, dann b o e oder e o b, die man durch b ersetzt. Dein Sandwich-Axiom ist „funktional“. -
Wenn du
willst. Gehen wir zu den Theoremen über, die aus dem Sandwich-Axiom folgen. Das erste ist:
I - Es
existiert ein neutrales Element, das mit sich selbst verknüpft, sich selbst ergibt:
e = e o e
II - Dieses
neutrale Element ist eindeutig.
Beweis:
Wir
starten mit dem Sandwich-Axiom. Die Gleichung a o y o b = c besitzt eine eindeutige Lösung y.
Das
gilt auch, wenn b = c = a, also a o y o a = a besitzt eine eindeutige Lösung. Multiplizieren wir rechts mit y:
a o y o a o y = a o y
Nennen
wir a o y = e
Das
ist ein Element der Menge, da a und y der Menge angehören und die Operation intern ist. Daher existiert ein Element der Menge, so dass:
e o e = e
Das
Theorem I ist bewiesen. Gehen wir zur Eindeutigkeit, zum Theorem II. Wenn es nicht eindeutig wäre, würde es ein anderes Element der Menge geben, nennen wir es f, das folgt:
f o f = f
Wir haben:
e o e = e
Multiplizieren
wir rechts mit f:
e o e o f = e o f
Nochmals
multiplizieren wir rechts mit e:
e o e o f o e = e o f o e
Verwenden
wir die Assoziativität:
e
o (e o f) o e = e o f o e
Das
sind zwei Sandwiches. Nennen wir sie:
p = e
o (e o f) q = e o f o e
Gemäß
dem Sandwich-Axiom können wir „das Schinken herausziehen“, das heißt, die Ausdrücke (e o f) und f berechnen, die gleich sein werden, da p = q. Also:
(e o f)
= f
Wir
wiederholen den Vorgang, ausgehend von der Aussage, die dem zweiten Element f zugeschrieben wird:
f o f = f
Multiplizieren
wir rechts mit e, zweimal links:
e o f o f = e o f e o e o f o f = e o e o f
Verwenden
wir die Assoziativität:
e
o (e o f) o f = e o e o f
Mit
Hilfe des zweiten Mal des Sandwich-Axioms folgert man, dass:
e o f = e
also:
e = f
Theorem
III: Wenn ich dieses Element e „gleich seinem Quadrat“ nehme, folgt, dass a o e = a
Beweis:
Wir
verwenden...