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Eine analytische Darstellung der Boy-Fläche

J.P. Petit und J. Souriau

Nachfolgend die Wiedergabe einer Notiz in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, unterzeichnet von J.P. Petit und J. Souriau, aus dem Jahr 1981.

Dieses Werk hat eine Geschichte. Bis 1985, als mein Album Topologicon bei Belin, in der Reihe der Aventures d'Anselme Lanturlu, erschien, waren die Darstellungen der Boy-Fläche in Fachbüchern selten. Man fand hier und da Fotos von Modellen, die entweder aus Gips oder aus Hühnerdraht hergestellt worden waren. Charles Pugh, aus dem Mathematik-Department der University of Berkeley, ist der unangefochtenen Weltexperte für Hühnerdraht. Mit diesem Material erhielt er sogar einen finanziell wichtigen Preis, als er die Modelle herstellte, die den Umstülpungsvorgang der Kugel nach Bernard Morin beschreiben, welche später von Nelson Max digitalisiert wurden, um einen Film zu erstellen, der in allen Mathematikabteilungen der Welt herumgeht.

Aber ich finde, dass Hühnerdraht ein recht unwürdiger Material ist, besonders für solche hochwertigen wissenschaftlichen Themen. Als ich einen Künstler namens Max Sauze kennenlernte, begann ich, die Technik des Kupferdrahts zu erlernen, der sowohl flexibel als auch steif ist, den Max geschickt verlötnete, ohne ihn zu sehr zu erwärmen, um so keine unerwünschten Spannungen im Material zu erzeugen.

Mein Freund Jacques Boulier, auch bekannt als Vasselin, war damals Professor an den Beaux-Arts in Aix-en-Provence. Ein Jahr lang bot er mir an, einen seiner Professoren zu ersetzen, der ins Ausland gegangen war, was ich tat, und ich übernahm eine halbe Stelle mit Sauze. Während ich die Objekte entwarf, verlötnete Max sie. Unsere Studenten, die uns umringten und neugierig waren, versuchten, uns so gut wie möglich nachzuahmen. In diesem Jahr war die Abteilung der Beaux-Arts in Aix-en-Provence zu einer Art Serienproduktionsstätte für mathematische Flächen geworden.

Wenn Sie es versuchen wollen, ist es nicht schwierig. Sie benötigen einen Spulenkupferdraht, sagen wir, mit einem Durchmesser von einem Millimeter und einer halben, maximal zwei, und eine Schere. Mit diesen können Sie die beiden Kurvenfamilien darstellen, die jede Fläche bilden.

Das Problem besteht darin, diese Objekte richtig zu formen. Dazu ist es gut, die Verbindungspunkte, an denen die "Meridiane" und die "Parallelen" sich kreuzen, gleiten zu lassen. Eine gute Lösung besteht darin, einfach die beiden Metalldrähte mit Faden zu verbinden. Es ist eng genug, um dem Objekt Halt zu geben, aber auch glatt genug, um Deformationen und Anpassungen zu ermöglichen.

Erst wenn Sie sich sicher sind, dass das Objekt mathematisch Ihren Wünschen entspricht, können Sie es jemandem überlassen, der geschickt mit Silberlötzinn umgehen kann und weiß, wie man die Stäbe ohne Erwärmen löten kann, was Max mit Meisterei beherrschte.

Eines Tages brachte ich ein Modell der Boy-Fläche mit, nachdem ich herausgefunden hatte, wie die Meridiane und Parallelen angeordnet werden mussten. Anscheinend konnte man es so hinbekommen, dass die Meridiane den Anschein einer Familie von Ellipsen erweckten.

Max kopierte das Objekt sorgfältig. Ich ging dann zu Souriau. Sein Sohn (der nie die Geduld hatte, sein Physikstudium abzuschließen) spielte mit dem Apple II seines Vaters. Ich sagte zu ihm:

• Jérôme, würdest du gerne eine reine Mathematik-Publikation unter deinem Namen haben?

• Na klar, warum nicht? Wer muss man dafür töten?

• Niemand. Siehst du dieses Objekt. Nimm einen Winkelmesser, messe diese Ellipsen und versuche, eine halbempirische Darstellung dieser Fläche zu konstruieren.

• Wir können es immer versuchen, gib her...

Zwei Tage später war es fertig. Der Artikel wurde schnell in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris akzeptiert und unter unseren beiden Namen veröffentlicht: J.P. Petit und J. Souriau.

Aber da der Vater Jean-Marie und der Sohn Jérôme heißt, sind alle Mathematiker überzeugt, dass es ein Werk ist, das Souriau Senior und ich gemeinsam geschaffen haben.

Die Darstellung der Fläche mit einem kleinen BASIC-Programm überraschte viele Mathematiker sehr, die etwas Komplizierteres erwartet hatten. Die Sache hatte eine unangenehme Rückwirkung. Der Mathematiker Bernard Morin hatte einen Doktoranden, Apéry, Sohn von Apéry-Senior, dem Autor des unerträglichen Theorems, wonach die Summe der Kuben ganzer Zahlen eine irrationale Zahl ist. Unter anderem...

Ich wusste davon nichts. Unsere Fortschritte beunruhigten Morin sehr, besonders, da ich ihm damals naiv versicherte, dass diese Methode es ermöglichen sollte, die vier Ohren-Fläche zu beschreiben, die ihn berühmt gemacht hatte, die mit dem Hühnerdraht von Pugh gebaut und von Max digitalisiert worden war, usw.

Morin runzelte die Stirn:

• Nein, das ist unmöglich!

Wir werden uns das später anschauen. Ich bin immer noch überzeugt, dass es anders ist. Aber diese Phrase war die Gegenstück zur berühmten Antwort, die Archimedes dem römischen Soldaten zurief, der ihn in seinen Überlegungen störte - Noli tangere circulos meos!

Auf Französisch "Berühre nicht meine Kreise!"

Hier war es eher von der Art "Berühre nicht meine Ellipsen!"

Später nutzte Apéry meine Entdeckung, dass man der Boy-Fläche ein System von elliptischen Meridianen verleihen konnte, um die erste implizite Gleichung des Objekts zu konstruieren:

f (x, y, z) = 0

Morin, wütend, dass ich in seinen eigenen mathematischen Arbeiten auftauchte, zwang Apéry, in seiner Doktorarbeit zu erwähnen, dass Sauze den Trick mit den Ellipsen entdeckt hatte. Max bestritt dies nicht, aber das ist nicht richtig. Der Beweis ist in meinem Keller: das Modell, das ich zu Max brachte, um es ordentlich zu machen.

Schließlich ist dies alles ziemlich albern. Diese Anekdote dient dazu, zu zeigen, dass Mathematiker nicht intelligenter sind als Physiker.

Der Polytechniker Colonna, Pionier in Sachen Computergrafik, nutzte unsere Gleichungen in vollem Umfang, ohne ihre Herkunft zu erwähnen. Aber es gibt einen amüsanten Detail: Wenn Sie auf einem Bildschirm Bilder der Boy-Fläche sehen, und es ist "unsere", wird sie unweigerlich drei leichtere "Falten" in der Nähe ihres Pols zeigen. Ein Fehler in der Gleichung. Jérôme, Sohn von Souriau, hatte dies rasch gemacht, und ein letzter kleiner Schlag mit dem Eisen in der Nähe des Pols wäre nicht schlecht gewesen. Das ist immer noch machbar, übrigens, für jeden, der es möchte.

Diese Saga der Boy-Fläche ist noch nicht zu Ende. Um vollständig zu sein, erwähnen wir noch eine Person: Carlo Bonomi, ein italienischer Milliardär. Ich lernte ihn während einer Expedition in das Bermuda-Dreieck kennen (aber das ist eine ganz andere Geschichte). Wir fuhren damals mit hoher Geschwindigkeit auf seinem Luxusyacht, die einen atemberaubenden Luxus bot, auf der Suche nach einer untergegangenen Pyramide, die in einem Buch von Charles Berlitz erwähnt wurde. Wir fanden die Pyramide nicht und wurden nur knapp von den vielen Haien, die in diesen Gewässern lebten, gefressen. Wenn Sie ein Atlas haben, der Ort...