Wie man eine Cross-Cap-Oberfläche in eine Boy-Oberfläche (links oder rechts, nach Wahl) verwandelt, indem man die Steinersche Romische Fläche dazwischen durchläuft.
Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom
- September - 25. Oktober 2003
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Hier sehen Sie eine „Cross-Cap-Oberfläche“ (so, wie Sie sie in den virtuellen Realitätsszenen entdeckt haben). Sie weist zwei Spitzenpunkte auf, die Endpunkte einer Selbstschnittlinie sind. Man kann sie herstellen, indem man einen Luftballon mit Haarnadeln einklemmt. Sie können aber auch polyedrische Darstellungen davon erstellen. Die unten abgebildete wird uns besonders interessieren.
In Tafel 4 befindet sich das Schwierigste, das man lernen muss. Mir scheint unmöglich, dass jemand diese Objekte gut versteht, nur indem er sich die Abbildungen ansieht. Bauen Sie Modelle. Kurz gesagt, man zieht den Spitzenpunkt
C 2
in Richtung „des Inneren der Oberfläche“ (was, nebenbei bemerkt, keinen Sinn ergibt, da Sie sicher sofort bemerkt haben werden, dass die Cross-Cap-Oberfläche einseitig ist: sie besitzt weder eine äußere noch eine innere Fläche). Wenn man weiterzieht, „durchdringt“ die Oberfläche sich selbst, und die Menge der Selbstschnitte vervollständigt sich, indem man die Ecken etwas abrundet, zu einer Kurve in Form einer Acht. Dabei entsteht übrigens ein dreifach berührter Punkt
T.
Die Oberfläche wird verständlicher in ihrer polyedrischen Form, und unten haben wir bestimmte Elemente vergrößert, um zu zeigen, was uns veranlasst, dieses Objekt in die Steinersche Romische Fläche zu verwandeln (siehe die virtuelle Realitätssimulation), deren einfachste polyedrische Form darin besteht, vier Würfel zusammenzufügen (hier sind nur drei zu sehen).
Tafel 5: links polyedrische Version, rechts runde Version. Der Pfeil verläuft durch den Punkt, den wir „einklemmen“ wollen. Unten beginnt die Klemmoperation.
Tafel 6: Die Klemmung erfolgt und erzeugt einen singulären Punkt
B. Tatsächlich entstehen, da wir von beiden Seiten gleichzeitig klemmen (um Zeit zu sparen), zwei singuläre Punkte
S1 und
S1, dann zwei Spitzenpunkte. Zu diesem Zeitpunkt sind Sie ohne Karton, Schere und Klebeband schlecht dran.
Tafel 7: Hier haben wir lediglich die verschiedenen Spitzenpunkte verschoben. Wenn der Punkt
C2 „offensichtlich“ ist, werden Sie sicher größere Schwierigkeiten haben, die Punkte
C 3 und C
4 als Spitzenpunkte zu erkennen. Dennoch sind sie dort, an den Enden einer Selbstschnittlinie. Über dem Punkt
C3 befindet sich einfach das, was ich einen „Posicono“ genannt habe, also einen Punkt, an dem positive Krümmung konzentriert ist (einen Punkt, an dem negative Krümmung konzentriert ist, nenne ich einen „Negacono“). Durch eine leichte Verformung dieses Objekts gelangt man zur polyedrischen Form der Steinerschen Romischen Fläche (die Steiner in Rom erfunden hat; siehe die virtuelle Realitätssimulation).
Die Sache ist also erledigt. Es gibt verschiedene Arten von Oberflächen, je nach den Regeln, die man festlegt. Oberflächen, die sich nicht selbst schneiden, heißen „Einbettungen“ (der Kugel oder des Torus in
R3). Wenn sie sich jedoch selbst schneiden, aber der Tangentialraum stetig variiert, ohne zu degenerieren, heißen sie „Immersionen“. Zum Beispiel: die klassische Darstellung der Kleinflasche. In
R3 gibt es keine Darstellung der Kleinflasche als Einbettung: sie muss sich zwangsläufig selbst schneiden. Immersionen besitzen Selbstschnittmengen ohne Spitzenpunkte. Diese Mengen sind stetige Kurven, können aber an doppelten oder dreifachen Punkten miteinander kreuzen. Beobachtung: Die Kugel kann als Immersion (die keine Einbettung ist) realisiert werden, indem man sie selbst schneidet. Genau dies ist der Weg, um sie umzudrehen (vgl. die Methode von A. Phillips, 1967, deren zentraler Schritt die doppelte Überlagerung einer Boy-Oberfläche ist; siehe auch B. Morin und J.P. Petit, 1979, in der das zentrale Modell das „Vier-Ohr-Modell“ von Morin ist, dessen polyedrische Darstellung ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe).
Montageplan für dieses Objekt aus Papier und Schere
Wenn man die Spielregeln erweitert und zulässt, dass diese Objekte auch Spitzenpunkte besitzen dürfen, erhält man sogenannte „Summersionen“ (die Cross-Cap-Oberfläche, die Steinersche Romische Fläche). Ich weiß nicht, ob „Summersion“ der richtige Begriff ist, aber da ich keinen Mathematiker gefunden habe, der mir diesbezüglich Klarheit verschafft hat, fand ich es amüsant, einen solchen Begriff vorläufig zu erfinden, bis ein erfahrener Geometer auftaucht. Damit wären die Cross-Cap-Oberfläche und die Steinersche Romische Fläche Summersionen der „projektiven Ebene“.
Um ehrlich zu sein: Nach fünfundzwanzig Jahren Tätigkeit und meinen Enttäuschungen im Bereich der Magneto-Hydrodynamik hatte ich diese Arbeiten begonnen, weil sie mir die am weitesten entfernten von jeder militärischen Anwendung zu sein schienen. Aber wie mein alter Freund Mihn mir bemerkte, könnte der Begriff „Summersion“ zu Verwirrung führen und der Marine suggerieren, dass ich durch diese Forschungen versuchen würde, Fortschritte in der Unterwasserantriebstechnik zu verbergen.
Die Regel der „Erzeugung-Aufhebung“ von Paaren von Spitzenpunkten ermöglicht den Übergang von einer Summersion eines Objekts zu einer anderen, und das haben wir gerade getan, indem wir gezeigt haben, dass die Cross-Cap-Oberfläche und die Steinersche Romische Fläche zwei Summersionen desselben Objekts, der sogenannten „projektiven Ebene“, sind.
Versuchen Sie nicht, sich eine „projektive Ebene“ vorzustellen. Dieses Objekt kann nur durch verschiedene Darstellungen verstanden werden. Was den Begriff „projektiv“ betrifft, so ist er nur einer von Tausenden, die Mathematiker erfunden haben, um diejenigen abzuschrecken, die in ihren geschlossenen Kreis eindringen wollen. Zanichelli wird Ihnen in der Mathematik keinerlei Hilfe leisten.
Es bleibt uns nun noch, zu sehen, wie man zur Boy-Oberfläche gelangt, die eine Immersion der projektiven Ebene ist.
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