Italienisch
: Andrea Sambusetti, Universität Rom
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um das 1:1-Modellbild anzuzeigen, das ausgedruckt und ausgeschnitten werden kann.
Durch Kopieren von vier Exemplaren auf Kartonpapier in zwei verschiedenen Farben
können Sie das Modell selbst bauen,
indem Sie die Anweisungen zur Montage befolgen
Sie haben sicherlich ein seltsames Objekt gesehen, das ununterbrochen
auf der linken Seite der Startseite dieses Webseiten rotiert. Was ist das?
Eines Tages, wenn ich die Zeit finde, werde ich auf dieser Website eine Beschreibung
des Umstülpens der Kugel einfügen, wie ich es im Januar 1979 in der Ausgabe von
Pour la Science gezeigt hatte, also... vor 22 Jahren! Dies wird viele Details und eine Einleitung erfordern.
Was bedeutet „eine Kugel umstülpen“? Eine Kugel hat für den gewöhnlichen Menschen
und für den Mathematiker-Geometer unterschiedliche Bedeutungen. Für den gewöhnlichen Menschen
ist es nichts anderes als der Ort aller Punkte im Raum, die einen festgelegten Abstand R
von einem Punkt O haben. Ein Geometer wird jedoch auch ein Objekt als „Kugel“ bezeichnen,
das einer „verformten Kugel“ entspricht, wie beispielsweise eine Kartoffel. Um diese Konzepte
genauer zu verstehen, besorgen Sie sich die CD von Lanturlu mit dem Comic „Topologicon“.
Aber der Mathematiker geht noch weiter. Eine Fläche wird als „regulär“ bezeichnet,
wenn in jedem ihrer Punkte ein Tangentenplan definiert werden kann. Dies ermöglicht
schon die Vorstellung einer unendlichen Anzahl möglicher regulärer Verformungen der Kugel,
in unendlichen Formen wie einer Kartoffel, wobei die Fläche auch willkürlich vergrößert
oder verkleinert werden kann. Doch im physikalischen Universum wird eine Person, die versucht,
die Kugel umzustülpen (also ihre innere Fläche nach außen zu bringen), vor der Unmöglichkeit
stehen, ihre Fläche selbst durchzuschneiden. Wenn man diese Annahme übernimmt, also verbietet,
dass die Fläche sich selbst durchschneidet oder sogar nur berührt, spricht der Mathematiker
von einem „Einbettung“ der Kugel S2. Aber der Mathematiker erlaubt sich immer alles. Eine
Kugel ist für ihn ein „virtuelles“ Objekt und nicht materiell, bei dem das Durchschneiden
einer Fläche als möglich betrachtet wird. Die nachfolgenden Zeichnungen zeigen eine Kugel,
die sich selbst durchschneidet. Eine solche Darstellung, die also Selbstüberschneidungen
zulässt, wird als „Einbettung“ bezeichnet.
Eine Einbettung hat also eine Menge von Selbstschnittpunkten
(hier handelt es sich um eine einfache Kreislinie). Der Tangentenplan muss jedoch
kontinuierlich variieren. Unter dieser Voraussetzung, wenn man das obige Bild betrachtet,
ist gut zu erkennen, dass die Operation eine Teilfläche der inneren Fläche (in Grün dargestellt)
nach außen bringt. Um den Umstülpvorgang zu vollenden, müsste man diese Art von
Äquator-Röhre plätten. Hier scheint ein Problem zu bestehen: Dieses Plätten würde
die Kontinuität des Tangentenplans zerstören, und diese Transformation würde also
einen Schritt enthalten, der keine Einbettung ist.
Eines Tages bewies der amerikanische Mathematiker Stephen Smale,
dass „die Kugel S2 nur eine Klasse von Einbettungen besitzt“. Diese sibyllinische
Aussage hatte zur Folge, dass man durch eine Transformation, die nur echte Einbettungen
enthält, von der „standardmäßigen“ Kugel zu ihrer „antipodalen“ Darstellung übergehen
könnte, bei der jeder Punkt mit seinem Antipoden vertauscht wird: mit anderen Worten...
eine umgestülpte Kugel. Raoul Bott war Smales Chef. Obwohl die formale Beweisführung
dieses Fakts scheinbar korrekt war, schien niemand in der Lage zu sein, diesen Umstülpvorgang
konkret umzusetzen. Bott fragte Smale immer wieder: „Zeigen Sie mir, wie Sie es sich vorstellen würden.“
Smale, bekannt für seine direkte Art, antwortete: „Ich habe keine Ahnung.“
Smale erhielt später die Fields-Medaille, das Äquivalent des Nobelpreises für Mathematik.
Zur Erwähnung: Sie fragen sich vielleicht, warum es keinen Nobelpreis für Mathematik gibt.
Die Antwort ist einfach: Seine Frau ist mit einem Mathematiker durchgebrannt.
Die Dinge blieben so für viele Jahre,
bis ein amerikanischer Mathematiker namens Anthony Phillips 1967 in Scientific American
eine erste Version dieses Umstülpens veröffentlichte, sehr kompliziert. Die zweite wurde
Anfang der 70er Jahre von dem blinden französischen Mathematiker Bernard Morin erfunden.
Ich war der Erste, der die Folge der Transformationen zeichnete, die Gegenstand
eines künftigen Artikels auf dieser Website sein wird, was übrigens reichlich vorhanden ist.
Jedenfalls führt uns dies zu einer Überlegung. Flächen können in polyedrischer Form dargestellt
werden. Ein Würfel oder ein Tetraeder können als polyedrische Darstellungen der Kugel
angesehen werden, da diese Objekte die gleiche Topologie besitzen. Zu diesem Punkt
verweisen Sie auf mein Topologicon. Außerdem ist klar, dass, wenn es möglich ist,
die Kugel umzustülpen, es auch möglich ist, einen Würfel umzustülpen. Die von Bernard Morin
erfundene Transformation geht durch ein zentrales Modell. Es gibt eine Symmetrie in dieser
Folge. Das nenne ich „zentrales Modell mit vier Ohren“. Ich erzähle Ihnen etwas vor. Trotzdem,
da die Kugel polyedrische Darstellungen zulässt, gilt dasselbe für die folgenden Schritte
dieser Transformation. Was Sie auf meiner Startseite rotieren sehen, ist die polyedrische
Version des zentralen Modells des Umstülpens der Kugel, das ich vor etwa zehn Jahren
erfunden habe. Der Vorteil solcher polyedrischer Modelle besteht darin, dass sie mit
ebenen Flächen gebaut werden können. Sie können auch mit Papier und Schere gebaut werden.
Schauen Sie sich das folgende Bild an (ich danke meinem Freund Christophe Tardy, der
die richtigen Maßelemente hergestellt hat).
Groß
Es handelt sich um einen Montageplan, den Sie hier allgemein sehen können.
Aber um ihn auszudrucken, ist es besser, auf die Seite „Découpage“ zu wechseln.
Drucken Sie sie aus. Danach, mit diesem Exemplar, das Sie auf dem üblichen Papier
Ihrer Drucker ausgedruckt haben, kopieren Sie vier identische Kopien, zwei auf grünem
Kartonpapier und zwei auf gelbem. Sie können mit diesen auszuschneidenden Blättern
das zentrale Modell des Umstülpens des Würfels bauen.
Auf den auszuschneidenden Elementen gibt es Paare von Buchstaben:
a, b, c, d, e, f usw. Es reicht aus, das Blatt so zu falten, dass die gleichen Buchstaben
zusammenkommen, und dann die Flächen mit transparentem Klebeband zu befestigen.
Die nachfolgenden Zeichnungen zeigen, wie man eines der vier Teile montiert.
Zunächst zeigen sie, wie man eines der vier Elemente falten muss:
Hier sind zwei der vier Elemente, von unterschiedlichen Winkeln aus gesehen.
Sie werden dann so angeordnet, dass ein Objekt mit einer Viertel-Symmetrie entsteht,
bei dem grüne und gelbe Elemente abwechseln. Um es in 3D zu sehen, werfen Sie einen Blick
auf Tardys Realisierung im Abschnitt „virtuelle Realität“. Das zentrale Modell ist montiert
und auch in „vrml“ in diesem Abschnitt realisiert. Hier ist es aus verschiedenen Blickwinkeln
wiederholt:
Man kann nicht sagen, dass ein Blickwinkel dem „oben“ und der andere dem „unten“ entspricht,
da diese Bezeichnungen vollkommen willkürlich sind. In dem Bild auf der linken Seite
entspricht der „zentrale“ Punkt dem „doppelten Punkt“ (wo zwei Flächen sich kreuzen)
des zentralen Modells von Morin, während der zentrale Punkt des Bildes auf der rechten
Seite dem „vierfachen Punkt“ des gleichen Modells entspricht (wo vier Flächen sich kreuzen).
Ich musste das Objekt sehr sorgfältig ausrichten, damit das linke Bild nicht an eine Hakenkreuz
erinnert. Abgesehen davon, aus architektonischer Sicht, ist diese polyedrische Darstellung
des zentralen Modells...