Wie man eine Cross Cap in eine Boy-Fläche (links oder rechts, nach Wahl) über die römische Fläche von Steiner verwandelt.
- September – 25. Oktober 2003
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Hier ist eine Cross Cap (wie Sie sie in den Bildern der virtuellen Realität entdeckt haben). Sie besitzt zwei Spitzenpunkte, die eine Linie der Selbstüberschneidung begrenzen. Man kann sie herstellen, indem man einen Ballon mit einer Lockenwicklerbürste eindrückt. Man kann aber auch polyedrische Darstellungen davon erstellen. Die untere wird uns besonders interessieren.
In dieser Tafel 4 befindet sich der schwierigste Punkt, den man zu erfassen hat. Es scheint mir praktisch unmöglich, dass ein Laie diese Figuren versteht, wenn er sie nur anhand der Zeichnungen betrachtet. Bauen Sie diese Modelle nach. Kurz gesagt, man zieht den Spitzenpunkt
C 2
in „die Innenseite der Fläche“ (was im Übrigen keinen Sinn ergibt, da Sie wahrscheinlich sofort bemerkt haben werden, dass die Cross Cap einseitig ist. Wenn man weiter drückt, durchdringt die Fläche sich selbst, und die gesamte Selbstüberschneidung ergänzt sich durch eine Kurve in Form einer Acht. Dabei entsteht ein dreifacher Punkt
T.
Die Fläche ist besser in ihrer polyedrischen Form verständlich, und unten haben wir einige Elemente vergrößert, um zu zeigen, warum wir dieses Objekt in eine römische Fläche von Steiner (siehe virtuelle Realität) verwandeln wollen, deren einfachste polyedrische Form darin besteht, vier Würfel zusammenzusetzen (hier sieht man nur drei).
Tafel 5: Links das Polyeder, rechts der „Rundouillard“. Der Pfeil nimmt einen Weg, den wir „einklemmen“ werden. Unten der Anfang der Einklemmung.
Tafel 6: Die Einklemmung erfolgt durch die Schaffung eines singulären Punktes
B. Tatsächlich, da man von beiden Seiten einklemmt, um Zeit zu sparen, entstehen zwei singuläre Punkte
S1 und
S1 sowie zwei Paare von Spitzenpunkten. Ohne Karton, Schere und Klebeband sind Sie hier schlecht dran.
Tafel 7: Wir haben lediglich die verschiedenen Spitzenpunkte verschoben. Wenn der Punkt
C2 „offensichtlich“ ist, werden Sie etwas mehr Mühe haben, die Punkte
C3 und
C 4
als Spitzenpunkte zu erkennen. Sie sind jedoch an den Enden einer Linie der Selbstüberschneidung vorhanden. Über dem Punkt
C3 befindet sich einfach das, was ich einen „Posicoin“ genannt habe, einen Punkt mit konzentrierter positiver Krümmung (ein Punkt mit konzentrierter negativer Krümmung ist ein „Negacoin“). Wenn man dieses Objekt leicht verformt, erhält man eine polyedrische Form der römischen Fläche von Steiner (eine Fläche vierten Grades, die Steiner in Rom erfunden hat).
Siehe ihre Darstellung in der virtuellen Realität.
Somit ist der Trick gelungen. Es gibt verschiedene Arten von Flächen, je nach den Regeln, die man sich auferlegt. Flächen, die sich nicht selbst schneiden, heißen Einbettungen (der Kugel, des Torus in
R3). Wenn sie sich schneiden, aber die Tangentialebene stetig variiert, nennt man sie
Immersionen
. Beispiel: die Klein’sche Flasche in ihrer klassischen Darstellung. In
R3 gibt es keine Darstellung der Klein’schen Flasche als Einbettung. Sie muss sich zwangsläufig selbst schneiden. Immersionen besitzen Selbstüberschneidungsmengen, die frei von Spitzenpunkten sind. Diese Kurven sind stetig, können sich aber an Stellen mit doppelten oder dreifachen Punkten kreuzen. Hinweis: Die Kugel kann als Immersion dargestellt werden, indem man sie einfach selbst überdeckt. Genau so gelangt man dazu, die Kugel umzudrehen (A. Phillips, 1967, mit zentraler Stufe die zweifache Überlagerung einer Boy-Fläche; B. Morin und J.P. Petit, 1979, mit zentralem Modell das vierohrige Modell von Morin, dessen polyedrische Darstellung ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe.
Plan für die Montage dieses Objekts mit einem Ausschnitt
Wenn man die Spielregel erweitert und annimmt, dass diese Objekte Spitzenpunkte besitzen, erhält man
Submersionen
(die Cross Cap, die römische Fläche von Steiner). Ich weiß nicht, ob dies das genaue Wort ist, aber da ich keinen Mathematiker gefunden habe, der mir helfen konnte, fand ich es amüsant, ein solches Wort vorläufig zu erfinden, bis ein Experte für Geometrie auftaucht. Auf diese Weise wären die Cross Cap und die römische Fläche von Steiner Submersionen der „projektiven Ebene“.
Um Ihnen die ganze Wahrheit zu sagen: Nach meinen Schwierigkeiten im Bereich der MHD über 25 Jahre hatte ich diese Arbeiten begonnen, weil sie mir so weit wie möglich von jeder militärischen Anwendung entfernt schienen. Aber, wie mein alter Freund Mihn bemerkte, könnte der Begriff Submersion missverstanden werden und der Marine Nationale suggerieren, dass ich durch diese Forschungen möglicherweise einen Durchbruch in der Unterwasserantriebstechnik verbergen würde.
Die Regel der „Schaffung-Zerstörung“ von Paaren von Spitzenpunkten ermöglicht den Übergang von einer Submersion eines Objekts zu einer anderen, und das haben wir gerade gezeigt, indem wir gezeigt haben, dass die Cross Cap und die römische Fläche von Steiner zwei Submersionen desselben Objekts, der sogenannten „projektiven Ebene“, sind.
Suchen Sie nicht danach, wie eine „projektive Ebene“ aussieht. Dieses Objekt kann nur durch seine verschiedenen Darstellungen verstanden werden. Was den Begriff „projektive Ebene“ angeht, so ist dies nur eines von Tausenden von Begriffen, die Mathematiker erfunden haben, um diejenigen zu verwirren, die in ihren Kreis eindringen wollen. Das Wörterbuch Larousse ist in der Mathematik völlig nutzlos.
Wir kommen nun zur Boy-Fläche, die eine Immersion der projektiven Ebene ist.
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