Wie man eine Crosscap in eine Boy-Oberfläche (rechts oder links, nach Wahl) über die Steiner-Römische Fläche transformiert.
- September 2003
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Nun wird das Modell aus einer anderen Perspektive präsentiert:
Platte 14: Die gleiche Operation wird wiederholt, wobei die dritte „Ohr“-Form der Selbstschnittkurve erzeugt wird. In der polyedrischen Darstellung hat diese die Form von drei Quadraten, die einen gemeinsamen Eckpunkt besitzen: dem dreifachen Punkt T.
Platte 15: Durch Drehen des Objekts erkennen Sie die polyedrische Version der Boy-Oberfläche, die ich bereits in meinem Topologicon vorgestellt und eingeführt hatte (wo ein Ausschnitt zum Bau dieser Oberfläche beigefügt ist).
Letzte Platte: Ich habe versucht, die Steiner-Fläche (4. Grades, während die Boy-Oberfläche vom sechsten Grad ist) darzustellen, wie sie sich verformt und in eine Boy-Oberfläche übergeht.
Man erkennt, dass man bei einer „rundlichen“ Darstellung eine erhebliche Übung benötigt, um das Objekt zu verstehen. Unser Auge fühlt sich sehr unwohl, wenn es versucht, ein Objekt zu begreifen, bei dem auf einer einzigen Sichtlinie mehr als zwei Blätter übereinander liegen. Daher ist die polyedrische Darstellung so wertvoll, da sie Transformationen, die in der Geometrie als hochgradig kompliziert gelten, für jedermann zugänglich macht, vorausgesetzt, dass die Menschen den Aufwand betreiben, die Modelle selbst herzustellen. Dabei fällt auf, dass je nach gewählter Paarung von Spitzenpunkten eine „rechte“ oder „linke“ Boy-Oberfläche entsteht (Begriffe, die völlig willkürlich sind). Die projektive Ebene wird in zwei „enantiomorphe“ Darstellungen, spiegelbildlich zueinander, eingebettet. Man sieht, dass man von einer rechten Boy-Oberfläche über ein zentrales Modell, die Steiner-Römische Fläche, zu einer linken Boy-Oberfläche wechseln kann.
Es wäre sicher sympathisch, wenn solche Zeichnungen in „Pour la Science“ oder „La Recherche“ veröffentlicht würden. Doch seit zwanzig Jahren bin ich in diesen Zeitschriften „verboten“, wegen „UFO-Deviationsismus“. Dankeschön, Herren Hervé This und Philippe Boulanger. Ich zähle nicht mehr, wie viele Artikel dieser Art ich diesen Zeitschriften zugesandt und höflich zurückbekommen habe. Man gewöhnt sich schließlich an seinen Status als Exkommunizierter.
Zufällig existiert in Frankreich ein „Alembert-Preis“, der Autoren von populären Mathematikbüchern ausgezeichnet werden soll. Die Geschichte wurde mir von einem Mitglied der Jury erzählt, die entscheiden sollte, wem der Preis zukommen sollte (denn es gibt tatsächlich etwas Geld dabei). Gespräch:
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Aber kann man Petit nicht den Preis geben? Er hat bemerkenswerte Werke wie den „Geometricon“, das „Schwarze Loch“ und das „Topologicon“ geschaffen.
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Ja, aber er hat auch andere Bücher geschrieben.
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Auf was deuten Sie hin?
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Er hat auch das „Mauer des Schweigens“ verfasst.
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Ah, in diesem Fall…
Ja, das „Mauer des Schweigens“, erschienen 1983, ist ein Album über die MHD. Und wie jeder weiß, ermöglicht diese umstrittene Wissenschaft den fliegenden Untertassen, mit Überschallgeschwindigkeit zu fliegen, ohne einen Knall zu verursachen.
Verstecken Sie diese Wissenschaft, damit ich sie nicht sehen kann.
Ich habe in meinen Unterlagen eine fabelhafte Version des „Umdrehens des Würfels“ mit einem zentralen Modell von höchster Schönheit, das keine polyedrische Version der Morin-Variante ist. Alles ganz allein von mir. Eines Tages…
- Oktober 2003
Die Seiten werden anscheinend nicht gerade überlaufen, so viel ich vom Zähler ablesen kann. Am Montag, dem 13. Oktober 2003, hielt ich im CMI (Zentrum für Mathematik und Informatik in Château-Gombert-Marseille) auf Einladung von Trotman einen Vortrag. Gelegenheit, eine Sammlung von etwa dreißig Papiermodellen auszustellen, die Ihnen bald die erste Präsentation gewähren werden – sie wurden von Christophe Tardy fotografiert.
Wenn man einen Vortrag hält, entsteht eine bestimmte Atmosphäre. Auf dem folgenden Foto ein Geometer, der seine Verwirrung ausdrückt.
Im Hintergrund ein Teil der ausgestellten Modelle. Zu einem Zeitpunkt stellte ich die Frage:
- Wer von Ihnen hat schon einmal eine Steiner-Römische Fläche gesehen? Heben Sie die Hand.
Niemand hatte sie je gesehen. Daher hielt ich es für notwendig, das Objekt, in Wirklichkeit virtuell, auf dem Laptop vorzuführen, den ich mitgebracht hatte. Dieses Objekt wurde mit Unterstützung von Christophe Tardy, Ingenieur, und Frédéric Descamp vom Institut Laue-Langevin in Grenoble (ILL) erstellt. Offensichtlich verwirrte diese Präsentation das Publikum, das es gewohnt ist, mathematische Oberflächen nicht frei fliegen zu sehen.
Zwei Papierplatten, die vorne sichtbar sind, ermöglichten die logische Darstellung der Folge der Modelle. Die „grün-gelben“ Modelle illustrieren in polyedrischer Form das wesentliche Werkzeug zur Erzeugung bzw. Zerstörung eines Paars von Spitzenpunkten. Das am weitesten entfernte weiße Objekt ist eine polyedrische Version der Crosscap, die zunächst in eine polyedrische Version der Steiner-Römischen Fläche übergeht, einen Meter weiter, und dann beliebig in eine „rechte“ oder „linke“ Boy-Oberfläche.
Die Analyse der Modelle löst verschiedene Bemerkungen im Publikum aus. Ein Geometer fragt:
- Wenn man die Modelle in dieser Richtung verfolgt, kann man von der Crosscap zur Boy-Oberfläche gelangen. Wenn man das Gegenteil tut, müsste man dann eine Boy-Oberfläche in eine Crosscap verwandeln können.
Ich antworte mit „Ja“. Mutig fügt mein Gesprächspartner hinzu:
- Wenn man an der Stufe der Steiner-Römischen Fläche anhält, kann man dann zurück zu einer spiegelbildlichen Boy-Oberfläche gehen.
Ich bestätige erneut. Doch leider wird niemand aufstehen, um Aufklärung über diese seltsame Welt zu geben, in der geschlossene Flächenimmersionen mit Spitzenpunkten ausgestattet werden, die paarweise erzeugt oder vernichtet werden, wobei das Ganze eine Art Erweiterung der Welt der Immersionen darstellt. Das Wort „Submersionen“ scheint mir hier passend. Falls ein Leser hierzu Aufklärung findet, ist diese herzlich willkommen.
Kurvenkonzentration im Spitzenpunkt
Sie wird berechnet, indem man die Winkel am Scheitelpunkt summiert und diese Summe mit der euklidischen Summe 2π vergleicht.
Oben links ist eine der mehrfachen polyedrischen Darstellungen des Spitzenpunkts dargestellt. Die „Demontage“ des Objekts (rechts) führt zu einer Summe, die die euklidische Summe 2π um den Betrag 2α übersteigt. Daraus folgt, dass die am Punkt C konzentrierte Winkelkrümmung –2α beträgt. Wenn der Winkel α gleich π/2 ist, dann beträgt die negative Krümmung κ (untere linke Abbildung). Tatsächlich kann die in einem Spitzenpunkt konzentrierte Krümmung unendlich viele Werte annehmen. Unten rechts wird die Winkelsumme noch stärker betont, sodass die Krümmung dann < –2α wird. Die negative Krümmung wird noch stärker betont.
Durch Umkehrung dieses Vorgangs kann man eine recht erstaunliche Situation erreichen: die (Winkel-)Krümmung im Punkt C soll … null werden:
Man kann nun von einer polyedrischen Darstellung der Crosscap ausgehen, bei der zwei Spitzenpunkte vorhanden sind, die jeweils eine negative Krümmung von –π aufweisen:
Es gibt acht „Posicoins“ mit einem Wert von +π/2. Fügen wir vier weitere „Posicoins“ mit Krümmung +π/4 und vier „Negacoins“ mit Krümmung –π/4 hinzu. Zusammen mit den beiden Spitzenpunkten mit Krümmung –π.
Gesamt: 2π.
Teilt man diese Gesamtkrümmung durch 2π, erhält man die Euler-Poincaré-Charakteristik aller Darstellungen der projektiven Ebene (wie etwa der Boy-Oberfläche).
Während meines Vortrags erwähnte ich die Kunst und Weise, die beiden Spitzenpunkte einer Crosscap durch die Umkehrung der Kugel zu vertauschen. Ob ich dies bereits irgendwo auf meiner Website veröffentlicht habe, weiß ich nicht mehr. Es ist so ein Durcheinander. Ich werde es suchen müssen, sonst werde ich es irgendwo veröffentlichen. Es ist ziemlich amüsant. Tou...