Das zentrale Modell der Kugelumdrehung
- Dez. 2001
Ihr habt alle gesehen, wie ein seltsames Objekt ununterbrochen auf der linken Seite der Startseite rotiert. Worum handelt es sich dabei?
Eines Tages, wenn ich Zeit habe, werde ich auf der Website eine Beschreibung der Kugelumdrehung einrichten, wie ich sie im Januar 1979 in „Pour la Science“ illustriert hatte – also vor bereits … 22 Jahren. Dazu müsste natürlich eine ausführliche Erklärung und Einleitung folgen. Was bedeutet „eine Kugel umdrehen“? Für den Laien ist eine Kugel in einem dreidimensionalen Raum der Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt O den Abstand R haben. Ein Geometer hingegen würde weiterhin „Kugel“ nennen, was einem „verformten Ball“ entspricht, eine Art „Kartoffel“. Um diese Konzepte präziser zu erfassen, beschafft euch den CD-Lanturlu mit der Comic-Geschichte „Le Topologicon“. Doch der Mathematiker geht noch weiter. Wenn eine Fläche „glatt“ ist, kann man an jedem Punkt eine Tangentialebene definieren. Damit lässt sich bereits eine unendliche Vielzahl von Verformungen der „Ausgangskugel“ in unendlich viele „Kartoffeln“ vorstellen, wobei die Fläche dieser Oberfläche beliebig sein kann. In einer „physikalischen Welt“ stößt jedoch jemand, der diese Kugel verformt, auf die Unmöglichkeit, sie selbst zu durchdringen. Wenn solche Durchdringungen oder sogar Berührungen verboten sind, spricht man dann von
Einbettungen der Kugel S2.
Ein Mathematiker jedoch gibt sich alle Freiheiten. Für ihn ist eine Kugel ein „virtuelles“ Objekt, bei dem das Durchdringen von Flächen möglich wird. Die folgenden Zeichnungen zeigen eine Kugel, die sich „selbst durchdrungen“ hat. Man nennt eine solche Darstellung der Kugel eine
Einbettung.
Eine Einbettung besitzt eine
Menge von Selbstschnitten
oder
self-intersection
(hier eine einfache Kreislinie). Die Tangentialebene muss kontinuierlich variieren. Dennoch sieht man bei Betrachtung der Zeichnungen, dass ein Teil (durch die grüne Farbe dargestellt) des Inneren der Kugel nach außen gedreht wurde. Um eine solche Umdrehung abzuschließen, müsste man diese Art von Äquatorband „eindrücken“. Dies scheint zunächst problematisch. Dieses Eindrücken würde die Kontinuität der Tangentialebene stören. Die Operation würde also eine Phase enthalten, die keine Einbettung mehr ist.
Ein amerikanischer Mathematiker, Stephen Smale, bewies später, dass „die Kugel S2 nur eine einzige Klasse von Einbettungen besitzt“. Der Schluss aus diesem rätselhaften Satz war, dass man eine Folge von Einbettungen der Kugel durchführen konnte, um von der „standardmäßigen Kugel“ zu ihrer „antipodalen Darstellung“ zu gelangen, bei der alle Punkte durch ihre Antipoden ersetzt wurden. Kurz gesagt: eine umgedrehte Kugel, Rückseite vorne. Raoul Bott war Smales Mentor. Während die formale Beweisführung des Letzteren ohne Fehler erschien, konnte niemand nachvollziehen, wie man die Operation durchführen sollte. Bott sagte immer wieder zu Smale: „Zeigen Sie mir, wie Sie vorgehen würden“, worauf Smale mit seinem berühmten Spruch antwortete: „Ich habe keine Ahnung.“ Smale erhielt später die Fields-Medaille, die mathematische Entsprechung des Nobelpreises. Auf dem Weg dorthin fragt man sich vielleicht, warum Nobel nie einen Nobelpreis für Mathematik geschaffen hat. Die Antwort ist einfach: Seine Frau war mit einem Mathematiker durchgebrannt.
Die Dinge blieben lange unverändert, bis 1967 ein amerikanischer Mathematiker namens Anthony Phillips in „Scientific American“ eine erste, äußerst komplizierte Version dieser Umdrehung veröffentlichte. Die zweite wurde Anfang der 1970er Jahre vom französischen Mathematiker (blinden) Bernard Morin erfunden. Ich war der Erste, der diese Folge von Transformationen zeichnete, was ich bereits erwähnte, Gegenstand eines kommenden Artikels auf dieser Website, der übrigens recht umfangreich ist. Unabhängig davon führt dies zu einer Nebenbemerkung. Oberflächen können als
polyedrische Darstellungen
dargestellt werden. Ein Würfel oder ein Tetraeder können als polyedrische Darstellungen der Kugel betrachtet werden, da diese Objekte dieselbe
Topologie
haben. Dazu sei auf meine Comic-Geschichte „Le Topologicon“ verwiesen. Außerdem wird klar, dass, wenn man eine Kugel umdrehen kann, man auch einen Würfel umdrehen kann. Die von Bernard Morin erfundene Transformation (die ich im Januar 1979 in „Pour la Science“ illustriert habe) geht durch ein
zentrales Modell.
In dieser Folge gibt es eine Symmetrie. Man nennt dies „das zentrale Modell mit vier Ohren“. Auch hier antizipiere ich. Doch ebenso wie die Kugel polyedrische Darstellungen zulässt, gilt dies auch für die einzelnen Schritte dieser Transformationen. Das Objekt, das auf meiner Startseite rotiert, ist somit die polyedrische Version des zentralen Modells der Kugelumdrehung, ein Modell, das ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe. Der Vorteil solcher polyedrischer Modelle ist, dass man sie mit ebenen Flächen bauen kann. Man kann sie sogar nach Schneidevorlagen zusammensetzen. Werfen Sie einen Blick auf die folgende Zeichnung (mein Dank an meinen Freund Christophe Tardy, der die korrekt beschrifteten Elemente erstellt hat).
Dies ist eine Zeichnung, die in kleinem Format aus Ihrem Drucker kommt und nicht verwendbar ist.
Um diese Figur auf einem A4-Blatt zu drucken,
müssen Sie vier Kopien auf starkem A4-Papier erstellen, zwei Blätter in einer Farbe, zwei in einer anderen.
Dies ist eine Übersicht über den Schnittmuster. Um es jedoch zu drucken, ist es besser, Sie gehen auf die Seite
Schnittmuster.
Drucken Sie diese Seite aus. Dann nehmen Sie das ausgedruckte Blatt auf normalem Papier und bringen es zu einem Fotokopierer, wo Sie vier identische Kopien anfertigen,
zwei auf grünem Karton
und zwei auf gelbem. Mit diesem Schnittmuster können Sie nun das zentrale Modell der Würfelumdrehung bauen.
Auf den ausgeschnittenen Elementen finden Sie Buchstabenpaare: a, b, c, d, e, f usw. Sie müssen nur die Falzungen vornehmen, indem Sie die gleichen Buchstaben zusammenbringen, und die Facetten dann mit transparentem Klebeband verbinden. Die folgenden Zeichnungen zeigen, wie man eines der vier Elemente zusammenbaut. Hier zunächst, wie man die Falzung eines der vier Elemente beginnen muss:
Hier zwei dieser vier Elemente, von unterschiedlichen Winkeln gesehen.
Diese Elemente setzen sich anschließend zu einem Objekt mit vierfacher Symmetrie zusammen, wobei sich grüne und gelbe Elemente abwechseln. Um dies dreidimensional zu sehen, werfen Sie einen Blick auf die Realisierungen von Herrn Tardy in „Virtual Reality“. Das vollständig zusammengesetzte zentrale Modell ist auch in „VRML“ in dieser Sektion verfügbar. Hier das Objekt aus verschiedenen Blickwinkeln:
Man kann nicht sagen, dass eine Ansicht „oben“ und die andere „unten“ ist, da diese Bezeichnungen völlig willkürlich wären. In der linken Ansicht entspricht der „zentrale Punkt“ dem „doppelten Punkt“ (wo zwei Flächen sich kreuzen) des zentralen Modells von Morin, während der zentrale Punkt rechts dem „vierfachen Punkt“ dieses Modells entspricht (wo vier Flächen sich kreuzen). Ich habe das Objekt sorgfältig ausgerichtet, damit die linke Figur keine Kabbalasymbolik erweckt. Andernfalls hätte diese polyedrische Darstellung des zentralen Modells von Morin architektonisch gesehen ein hervorragendes Projekt für ein „Kulturhaus der nationalsozialistischen Kultur“ abgegeben.
Letzte Ansicht:
Eine letzte Bemerkung: Es gibt keine gute polyedrische Darstellung der Kugelumdrehung (auch bekannt als Würfelumdrehung). Unter „gut“ versteht man eine Folge von Modellen, die ausreichend klar sind und relativ einfach als Schneidevorlagen zusammengesetzt werden können, wie das oben gezeigte Modell. Eine solche Suche wäre sinnvoll und liegt im Bereich jeder Person, auch eines Nicht-Mathematikers oder eines Künstlers. Vor mehr als zwanzig Jahren war ich an der École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence als Lehrer für Skulptur tätig, damals noch unter der Leitung meines ausgezeichneten Freundes Jacques Boullier. In diesen Räumen entstand die erste meridionale Darstellung der Boy-Oberfläche mittels Ellipsen, die Schlüssel zur ersten impliziten Gleichung von Apéry war. Ich muss sagen, dass ich damals immer wieder von der geometrischen Fantasie der Kunststudenten beeindruckt war, die oft die der Geometer übertraf.
Zähler initialisiert am 31. Dezember 2001. Anzahl der Verbindungen
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