Die Umkehrung der Kugel
8
Dezember
2004
Seite 2
Vertauschung der Spitzenpunkte einer Crosscap
Dies wird ein kleiner Zwischenakt,
im Ton „Wozu kann die Umkehrung der Kugel gut sein?“. Hier: zur Vertauschung der beiden Spitzenpunkte einer Crosscap,
was zunächst unmöglich erschien. Ich habe diesen kleinen Trick vor etwa einer Dutzend Jahren erfunden. Er wurde nie veröffentlicht.
Aber wo könnte man so etwas veröffentlichen? Man weiß es nicht genau. Es handelt sich nicht um einen „wichtigen mathematischen Satz“,
aber es ist doch eine ziemlich reizvolle Übung. In dem Folgenden werden wir polyedrische Darstellungen verwenden. Rechts die „runde“ Crosscap,
links eine ihrer möglichen polyedrischen Darstellungen.
Die Crosscap mit einer ihrer mehrfachen polyedrischen Darstellungen.
In der Abbildung unten rechts
haben wir dafür gesorgt, dass die beiden Spitzenpunkte C1 und C2, die sich an den Enden ihrer Selbstschnittlinie befinden,
in einem Bereich untergebracht sind, den man als einen Teil einer Kugel betrachten kann. Wir wissen, dass wir eine Kugel umkehren können.
Daher können wir diesem Objekt dieselbe Behandlung zuteilen, ohne uns um die einzelnen Schritte dieser Transformation zu kümmern.
In polyedrischer Form bedeutet dies, den Würfel umzukehren.
Als Ergebnis wissen wir nur, dass am Ende zwei Arten von Einbuchtungen auftreten,
wie sie ein Beobachter wahrnehmen würde, der sich „innerhalb“ der ursprünglichen Crosscap befinden würde (was eine unpassende Ausdrucksweise ist,
da diese Fläche einseitig ist).
Nach der Umkehrung, vom Würfel links,
von der Kugel rechts
Die polyedrische Darstellung ist dennoch äußerst praktisch, um den Überblick über diese Operationen nicht zu verlieren.
Es bleibt nur noch, zwei Finger in diese Einbuchtungen einzuführen und alles nach außen zu ziehen:
Ziehen des spitzen Punktes C2 „nach außen“
Sollten Sie Spaß daran haben, können Sie die polyedrischen Modelle aus Pappe basteln.
Oder jemand Mutiger könnte diese Modelle in VRML erstellen, damit man sie interaktiv bewegen kann.
Es bleibt nur noch, die Operation abzuschließen.
Übergang zu einer Immersion, die der Ausgangsposition entspricht,
jedoch mit vertauschten Spitzenpunkten.
Ich hatte einmal versprochen, ein Dokument zu verfassen,
das von meinen Begegnungen mit dem Psychoanalytiker Jacques Lacan erzählt.
Für ihn diente die Crosscap als Modell für den „grundlegenden Wunsch“.
Er hatte sich auf den „zentralen spitzen Punkt“ konzentriert und den zweiten einfach ignoriert.
In diesem zentralen Bereich lokalisierte Lacan den „sprachlichen Phallus“ oder das „kleine a“.
Ich erzähle Ihnen den Rest ein anderes Mal. Tatsache ist, dass Lacan nicht erwartet hatte,
dass diese Punkte „Papa-mutiert“ werden könnten.
Als er mir von dieser linguistisch-geometrisch-psychoanalytischen Modellierung erzählte,
runzelte ich die Stirn und stellte mir vor, dass in dieser Crosscap die beiden spitzen Punkte unterschiedliche Rollen spielen könnten.
Und im nächsten Moment, nachdem ich mir die Frage gestellt hatte, wusste ich bereits, wie man sie vertauschen kann.
Lacan war ziemlich überrascht, ich erinnere mich. Sein grundlegender Wunsch hatte nun zwei sprachliche Phallen anstelle einer einzigen.
Alles, was er aufgebaut hatte, war um dieses Objekt herum organisiert.
Aber ich schlug ihm sofort eine Alternative vor, indem ich den sprachlichen Phallus an den (einzigen) Pol einer Boy-Fläche platzierte.
So kehrte alles in Ordnung zurück, was ihm große Zufriedenheit bereitete.
Dieses Ereignis fand kurz vor seinem Tod statt.
Nach meinem Eindruck hat sich diese psychoanalytisch-geometrische Neuausrichtung
bislang anscheinend noch nicht innerhalb der Gemeinschaft der lacanischen Psychoanalytiker verbreitet.
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